例2 代数式$-3x$的意义可以是()
A.$-3与x$的和
B.$-3与x$的差
C.$-3与x$的积
D.$-3与x$的商

C

代数式$-3x$表示的是$-3$与$x$的乘积，即$-3$和$x$的积。
选项A表示的是$-3 + x$，选项B表示的是$-3 - x$，选项C表示的是$-3 × x$，选项D表示的是$\frac{-3}{x}$。
因此，正确选项是C。

变式训练 下列数量关系不能用“$8m$”表示的是()
A.$8的m$倍
B.$m的8$倍
C.$8个m$相加
D.$8个m$相乘

D

对于选项A，$8$的$m$倍可表示为$8 × m = 8m$；对于选项B，$m$的$8$倍可表示为$m × 8 = 8m$；对于选项C，$8$个$m$相加，根据乘法的定义可表示为$m + m + \cdots + m$（$8$个）$= 8 × m = 8m$；对于选项D，$8$个$m$相乘可表示为$m× m×\cdots× m$（$8$个）$= m^8$，不能用$8m$表示。

1. 下列式子中符合代数式书写规则的是()
A.$ab÷ c$
B.$1\frac{1}{2}ab^{2}$
C.$a + 3$
D.$a\cdot3$

C

A选项：$ab ÷ c$应写成$\frac{ab}{c}$，不符合代数式书写规则。
B选项：$1\frac{1}{2}ab^{2}$应写成$\frac{3}{2}ab^{2}$，不符合代数式书写规则。
C选项：$a + 3$符合代数式书写规则。
D选项：$a\cdot3$应写成$3a$，不符合代数式书写规则。
所以只有C选项符合代数式书写规则。

2. 下列关于“代数式$4x + 2y$”的意义叙述正确的有()
①$x的4倍与y的2倍的和是4x + 2y$；
②小明以$x$米/分的速度跑了$4$分钟,再以$y$米/分的速度步行了$2$分钟,小明一共走了$(4x + 2y)$米；
③苹果每千克$x$元,橘子每千克$y$元,买$4$千克橘子、$2千克苹果一共花费(4x + 2y)$元。
A.$3$个
B.$2$个
C.$1$个
D.$0$个

B

①$x$的4倍是$4x$，$y$的2倍是$2y$，和为$4x + 2y$，正确；②路程=速度×时间，跑的路程$4x$米，步行路程$2y$米，总路程$(4x + 2y)$米，正确；③买4千克橘子花费$4y$元，2千克苹果花费$2x$元，总花费$(2x + 4y)$元，错误。正确的有①②，共2个。

3. (跨学科融合)数学知识广泛应用于化学领域,是研究化学的重要工具。比如在学习醇类化学式时了解到,甲醇的化学式为$CH_{3}OH$,乙醇的化学式为$C_{2}H_{5}OH$,丙醇的化学式为$C_{3}H_{7}OH$,按此规律,碳原子数目为$n$($n$为正整数)的醇类的化学式通式是。

$C_nH_{2n + 1}OH$

根据题目中给出的甲醇、乙醇、丙醇的化学式，可以观察到以下规律：
甲醇（$n=1$）：$CH_{3}OH=C_1H_{3+2}OH=C_1H_{2×1+1}OH$，
乙醇（$n=2$）：$C_{2}H_{5}OH=C_2H_{2×2+1}OH$，
丙醇（$n=3$）：$C_{3}H_{7}OH=C_3H_{2×3+1}OH$，
通过观察，可以发现醇类化学式中，氢原子的数目总是碳原子数目的两倍再加一再加两个氢（来自羟基$OH$），但更简洁的表达方式是将其表示为$C_nH_{2n+1}OH$，其中$n$为碳原子的数目。
因此，碳原子数目为$n$（$n$为正整数）的醇类的化学式通式是$C_nH_{2n + 1}OH$，也可以写成$C_nH_{2n+2}O$（将$OH$的氢也计算在内），但按照题目中的表示方式，应保留$OH$形式。

4. 某商品的零售价为$a$元,若顾客以八折的优惠价购买此商品,需付款元；若顾客以$x$折的优惠价购买此商品,需付款元。

$0.8a$；$0.1xa$

题中给定零售价为$a$元，顾客以八折的优惠价购买，即按原价的$80\%$付款，因此需付款$0.8a$元。
若顾客以$x$折的优惠价购买，即按原价的$\frac{x}{10}$付款，因此需付款$\frac{x}{10}a$元，也可以写成$0.1xa$元。

5. 填空：
(1)“$a与b$的和的平方”用式子表示为；
(2)“$a$,$b$的平方和”用式子表示为；
(3)“$a与b$的差的平方”用式子表示为；
(4)“$a$,$b$的平方差”用式子表示为。

(1)$(a+b)^2$；(2)$a^2 + b^2$；(3)$(a - b)^2$；(4)$a^2 - b^2$

(1)“a与b的和的平方”，先算a与b的和，即a+b，再平方，所以式子为$(a+b)^2$；
(2)“a,b的平方和”，先分别算a的平方和b的平方，即$a^2$和$b^2$，再求和，所以式子为$a^2 + b^2$；
(3)“a与b的差的平方”，先算a与b的差，即a - b，再平方，所以式子为$(a - b)^2$；
(4)“a,b的平方差”，先分别算a的平方和b的平方，即$a^2$和$b^2$，再求差，所以式子为$a^2 - b^2$。

6. 下列图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成,图$1中有3$个正方形,图$2中有5$个正方形,图$3中有7$个正方形,图$4中有9$个正方形,……按照此规律,图$n$中有个正方形。(用含$n$的代数式表示)

$\begin{array}{c}\begin{tikzpicture}[scale= 0.5]\draw (0,0) -- (1,0) -- (1,1) -- (0,1) -- cycle;\draw (0.5,0) -- (0.5,1);\draw (0,0.5) -- (1,0.5);\fill[black] (0,0) rectangle (0.5,0.5);\fill[black] (0.5,0) rectangle (1,0.5);\fill[black] (0,0.5) rectangle (0.5,1);\end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[scale= 0.5]\draw (0,0) -- (2,0) -- (2,1) -- (0,1) -- cycle;\draw (0.5,0) -- (0.5,1);\draw (1.5,0) -- (1.5,1);\draw (0,0.5) -- (2,0.5);\fill[black] (0,0) rectangle (0.5,0.5);\fill[black] (0.5,0) rectangle (1,0.5);\fill[black] (1,0) rectangle (1.5,0.5);\fill[black] (1.5,0) rectangle (2,0.5);\fill[black] (0,0.5) rectangle (0.5,1);\fill[black] (1.5,0.5) rectangle (2,1);\end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[scale= 0.5]\draw (0,0) -- (3,0) -- (3,1) -- (0,1) -- cycle;\draw (0.5,0) -- (0.5,1);\draw (1.5,0) -- (1.5,1);\draw (2.5,0) -- (2.5,1);\draw (0,0.5) -- (3,0.5);\fill[black] (0,0) rectangle (0.5,0.5);\fill[black] (0.5,0) rectangle (1,0.5);\fill[black] (1,0) rectangle (1.5,0.5);\fill[black] (1.5,0) rectangle (2,0.5);\fill[black] (2,0) rectangle (2.5,0.5);\fill[black] (2.5,0) rectangle (3,0.5);\fill[black] (0,0.5) rectangle (0.5,1);\fill[black] (2.5,0.5) rectangle (3,1);\end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[scale= 0.5]\draw (0,0) -- (4,0) -- (4,1) -- (0,1) -- cycle;\draw (0.5,0) -- (0.5,1);\draw (1.5,0) -- (1.5,1);\draw (2.5,0) -- (2.5,1);\draw (3.5,0) -- (3.5,1);\draw (0,0.5) -- (4,0.5);\fill[black] (0,0) rectangle (0.5,0.5);\fill[black] (0.5,0) rectangle (1,0.5);\fill[black] (1,0) rectangle (1.5,0.5);\fill[black] (1.5,0) rectangle (2,0.5);\fill[black] (2,0) rectangle (2.5,0.5);\fill[black] (2.5,0) rectangle (3,0.5);\fill[black] (3,0) rectangle (3.5,0.5);\fill[black] (3.5,0) rectangle (4,0.5);\fill[black] (0,0.5) rectangle (0.5,1);\fill[black] (3.5,0.5) rectangle (4,1);\end{tikzpicture} …\end{array}$

$2n + 1$

观察给出的图形序列，可以发现每个图形中的正方形数量形成了一个数列：
图1中有3个正方形，
图2中有5个正方形，
图3中有7个正方形，
图4中有9个正方形。
可以看出，每个图形中的正方形数量比前一个图形多2个，这是一个等差数列，首项为3，公差为2。
因此，第n个图形中的正方形数量可以表示为：
$3 + (n - 1) × 2 = 2n + 1$，
所以，图n中有$2n + 1$个正方形。

7. 某同学家中的两个矩形窗户的窗帘(图1和图2中的阴影部分)不一样。图1中的窗帘是由半径相同的两个四分之一圆组成的,图2中的窗帘是由半径相同的一个半圆和两个四分之一圆组成的。图1和图2中非阴影部分的面积分别为$S_{1}$和$S_{2}。$

(1)请用含a,b的代数式表示$S_{1},$并求出当a = 3,b = 2时$,S_{1}$的值(结果保留$\pi)；$
(2)请用含a,b的代数式表示$S_{2},$并比较$S_{1}$与$S_{2}$的大小。
$\begin{array}{c}\begin{tikzpicture}[scale= 0.5]\draw (0,0) rectangle (b,a);\draw (0,0) arc (180:270:b/2);\draw (b,0) arc (0:90:b/2);\fill[gray] (0,0) -- (b/2,0) arc (180:270:b/2) -- (0,0);\fill[gray] (b/2,0) -- (b,0) arc (0:90:b/2) -- (b/2,0);\node at (b/2,a/2) {S_{1}};\end{tikzpicture}$};

$\begin{tikzpicture}[scale= 0.5]$
$\draw (0,0) rectangle (b,a);$
$\draw (0,0) arc (180:270:b/4);$
$\draw (b/2,0) arc (180:90:b/4);$
$\draw (b,0) arc (0:90:b/4);$
$\fill[gray] (0,0) -- (b/4,0) arc (180:270:b/4) -- (0,0);$
$\fill[gray] (b/4,0) -- (b/2,0) arc (180:90:b/4) -- (b/4,0);$
$\fill[gray] (b/2,0) -- (3b/4,0) arc (0:90:b/4) -- (b/2,0);$
$\node at (b/2,a/2) {S_{2}};$
$\end{tikzpicture} $
$\end{array}$

(1) $S_1 = ab - \frac{\pi b^2}{8}$，$6 - \frac{\pi}{2}$；(2) $S_2 = ab - \frac{3\pi b^2}{64}$，$S_1 ＜ S_2$。

(1) 由题意，矩形面积为 $ab$。图1中阴影部分为2个半径为 $\frac{b}{2}$ 的四分之一圆，其面积和为 $\frac{1}{2}\pi\left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{\pi b^2}{8}$。
$\therefore S_1 = ab - \frac{\pi b^2}{8}$。
当 $a=3$，$b=2$ 时，$S_1 = 3×2 - \frac{\pi×2^2}{8} = 6 - \frac{\pi}{2}$。
(2) 图2中阴影部分为3个半径为 $\frac{b}{4}$ 的四分之一圆，其面积和为 $3×\frac{1}{4}\pi\left(\frac{b}{4}\right)^2 = \frac{3\pi b^2}{64}$。
$\therefore S_2 = ab - \frac{3\pi b^2}{64}$。
比较 $S_1$ 与 $S_2$：
$\because \frac{\pi b^2}{8} = \frac{8\pi b^2}{64} ＞ \frac{3\pi b^2}{64}$，
$\therefore ab - \frac{8\pi b^2}{64} ＜ ab - \frac{3\pi b^2}{64}$，即 $S_1 ＜ S_2$。