3. 若$(x + a)(x - 2) = x^{2} - 3x + b$,则实数$b$等于()
A.$-2$
B.$2$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

B

首先将左边展开：
$(x + a)(x - 2) = x^2 - 2x + ax - 2a = x^2 + (a - 2)x - 2a$
与右边的$x^2 - 3x + b$对比，得到：
$a - 2 = -3 \quad \Rightarrow \quad a = -1$
$-2a = b \quad \Rightarrow \quad b = -2 × (-1) = 2$

4. 计算与化简：
(1)$(a + 2)(2a - 1) - 2a(a - 1)$；
(2)$m(m + 2) - (m - 1)(m + 5)$；
(3)$(5x + 2y)(5x - 2y) - 5x(5x - 2y)$.

(1) 原式$=a\cdot2a + a\cdot(-1) + 2\cdot2a + 2\cdot(-1) - (2a\cdot a - 2a\cdot1)$
$=2a^2 - a + 4a - 2 - (2a^2 - 2a)$
$=2a^2 + 3a - 2 - 2a^2 + 2a$
$=5a - 2$
(2) 原式$=m^2 + 2m - [m\cdot m + m\cdot5 - 1\cdot m - 1\cdot5]$
$=m^2 + 2m - (m^2 + 5m - m - 5)$
$=m^2 + 2m - (m^2 + 4m - 5)$
$=m^2 + 2m - m^2 - 4m + 5$
$=-2m + 5$
(3) 原式$=(5x)^2 - (2y)^2 - (5x\cdot5x - 5x\cdot2y)$
$=25x^2 - 4y^2 - (25x^2 - 10xy)$
$=25x^2 - 4y^2 - 25x^2 + 10xy$
$=10xy - 4y^2$

5. 如果$(mx + 8)(2 - 3x)$的展开式中不含$x$的一次项,则$m = $.

12

$(mx + 8)(2 - 3x) = 2mx - 3mx^2 + 16 - 24x = -3mx^2 + (2m - 24)x + 16$，因为展开式中不含$x$的一次项，所以$2m - 24 = 0$，解得$m = 12$。

6. 如图,在某住宅小区的建设中,为了提高业主居住的舒适性,建设方准备在一个长为$(4a + 3b)$米,宽为$(2a + 3b)米的长方形草坪上修建两条宽为b$米的通道.
(1)剩余草坪的面积是多少？
(2)当$a = 3$,$b = 2$时,求剩余草坪的面积.

(1) 剩余草坪的长为$(4a + 3b - b) = (4a + 2b)$米，宽为$(2a + 3b - b) = (2a + 2b)$米，面积为$(4a + 2b)(2a + 2b)$。
展开计算：
$\begin{aligned}(4a + 2b)(2a + 2b)&=4a \cdot 2a + 4a \cdot 2b + 2b \cdot 2a + 2b \cdot 2b\\&=8a^2 + 8ab + 4ab + 4b^2\\&=8a^2 + 12ab + 4b^2\end{aligned}$
(2) 当$a = 3$，$b = 2$时，
剩余草坪面积为$(4a + 2b)(2a + 2b) = (4 × 3 + 2 × 2)(2 × 3 + 2 × 2) = (12 + 4)(6 + 4) = 16 × 10 = 160$。
(1) $8a^2 + 12ab + 4b^2$平方米
(2) 160平方米

7. 我们在学习代数式求值时,遇到这样一类题：代数式$ax - y + 6 + 3x - 5y - 1的值与x$的取值无关,求$a$的值.
通常的解题思路是：把$x$,$y$看作字母,$a$看作系数,合并同类项. 因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x的项的系数为0$. 具体解题过程是：原式$ = (a + 3)x - 6y + 5$,$\because$ 代数式的值与$x$的取值无关,$\therefore a + 3 = 0$,解得$a = -3$.
【理解应用】
(1)若关于$x的代数式mx - 4x + 3的值与x$的取值无关,则$m$的值为______.
【能力提升】
(3)7张如图1的小长方形,长为$a$,宽为$b$,按照图2的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中未被覆盖的两部分都是长方形. 设右上长方形的面积为$S_{1}$,左下长方形的面积为$S_{2}$,当$AB$的长变化时,$S_{1} - S_{2}$的值始终保持不变,求$a与b$的等量关系.

(1)原式$=(m - 4)x + 3$，
$\because$代数式的值与$x$的取值无关，
$\therefore m - 4 = 0$，
解得$m = 4$。
(2)$\because A=(2x + 1)(x - 2)=2x^{2}-4x+x - 2=2x^{2}-3x - 2$，
$B = x(m - x)=mx - x^{2}$，
$\therefore A + 2B=2x^{2}-3x - 2+2(mx - x^{2})$
$=2x^{2}-3x - 2 + 2mx - 2x^{2}$
$=(2m - 3)x - 2$。
$\because A + 2B$的值与$x$的取值无关，
$\therefore 2m - 3 = 0$，
解得$m=\frac{3}{2}$。
(3)由图可知$AB = a + 3b$，
$S_{1}=(a + 3b - b - 2b)(a - b)=(a - b)(a - b)=a^{2}-2ab + b^{2}$，
$S_{2}=(a - b - b)(a + 3b - a - b)=(a - 2b)(2b)=2ab - 4b^{2}$，
$\therefore S_{1}-S_{2}=a^{2}-2ab + b^{2}-(2ab - 4b^{2})$
$=a^{2}-2ab + b^{2}-2ab + 4b^{2}$
$=a^{2}-4ab + 5b^{2}$。
$\because$当$AB$的长变化时，$S_{1}-S_{2}$的值始终保持不变，
含$(a - 2b)$（$AB$变化量相关）的项系数为$0$，
因为$AB$变化量相关为$a$相关变化，要使结果与$a$变化无关，
则$a = 2b$时，$S_{1}-S_{2}$的值与$AB$长（即$a$的变化）无关。
综上，答案依次为：(1)$4$；(2)$m=\frac{3}{2}$；(3)$a = 2b$。

(1)4
(2)$A=(2x+1)(x-2)=2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2$，$B=x(m-x)=mx-x^2$，$A+2B=2x^2-3x-2+2(mx-x^2)=2x^2-3x-2+2mx-2x^2=(2m-3)x-2$，因为$A+2B$的值与$x$的取值无关，所以$2m-3=0$，解得$m=\frac{3}{2}$
(3)设$AB=x$，由图可知$BC=3b+a$，$S_1=(x-3b)a$，$S_2=(x-a)b$，$S_1 - S_2=(x-3b)a-(x-a)b=ax-3ab-bx+ab=(a-b)x-2ab$，因为当$AB$的长变化时，$S_1 - S_2$的值始终保持不变，所以$a-b=0$，即$a=b$

1. $ a^{m} ÷ a^{n} = $($ a \neq 0 $,$ m $,$ n $都是正整数,$ m ＞ n $)；$ a^{0} = $($ a \neq 0 $)。
2. $ (am + bm) ÷ m = $。
思考 ①底数为什么不能是0？②多项式除以单项式,其实是将其转化为什么运算？
填空 (1)$ 8x^{3}y^{4} ÷ (-2x^{2}y) = $；
(2)$ a^{5} ÷ a^{2} = $,$ a^{3} ÷ (-a)^{3} = $。

1. $a^{m - n}$；$1$
2. $a + b$
思考答案：①避免出现$0÷0$的无意义情况；②单项式除以单项式
(1)$-4xy^{3}$；
(2)$a^{3}$；$-1$

1. 根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n$都是正整数，$m\gt n)$；根据同底数幂除法法则，当指数为$0$时，$a^{0}=1(a\neq0)$。
2. $(am + bm)÷ m$可根据乘法分配律将$(am + bm)$看作$m(a + b)$，再根据单项式除以单项式法则，$(am + bm)÷ m=m(a + b)÷ m=a + b$。
思考：
①如果底数$a = 0$，当$m=n$时，$a^{m}÷ a^{n}$会出现$0÷0$的形式，而$0÷0$是没有意义的；当$m\gt n$时，$a^{m}=0$，$a^{n}=0$，同样会出现$0÷0$这种无意义的情况，所以底数不能为$0$。
②多项式除以单项式，其实是将其转化为单项式除以单项式的运算，即把多项式的每一项分别除以这个单项式，再将所得的商相加。
(1)根据单项式除以单项式法则，系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除，$8x^{3}y^{4}÷(-2x^{2}y)=[8÷(-2)]×(x^{3}÷ x^{2})×(y^{4}÷ y)= - 4xy^{3}$。
(2)根据同底数幂的除法法则，$a^{5}÷ a^{2}=a^{5 - 2}=a^{3}$；$a^{3}÷(-a)^{3}=a^{3}÷(-a^{3})=-1$。