7. 有理数$x,y满足条件(2x - 3y + 1)^{2}+|x + 3y + 5| = 0$,求$(-2y)^{2}(-x^{2}y^{2})\cdot \frac{3}{2}xy^{2}$的值.

因为(2x - 3y + 1)² + |x + 3y + 5| = 0，且(2x - 3y + 1)²≥0，|x + 3y + 5|≥0，所以：
$\begin{cases}2x - 3y + 1 = 0 \\x + 3y + 5 = 0\end{cases}$
解方程组：
两式相加得：3x + 6 = 0，解得x = -2。
将x = -2代入x + 3y + 5 = 0，得-2 + 3y + 5 = 0，解得y = -1。
化简代数式(-2y)²(-x²y²)·$\frac{3}{2}xy²$：
$\begin{aligned}&(-2y)^2(-x^2y^2)\cdot\frac{3}{2}xy^2\\=&4y^2(-x^2y^2)\cdot\frac{3}{2}xy^2\\=&4×(-1)×\frac{3}{2}\cdot x^2\cdot x\cdot y^2\cdot y^2\cdot y^2\\=&-6x^3y^6\end{aligned}$
将x = -2，y = -1代入得：
$-6×(-2)^3×(-1)^6 = -6×(-8)×1 = 48$
48

8. (1)已知$x^{m + n}= 3,y^{m + 2}= 2$,求$(-\frac{1}{3}x^{m}\cdot y^{2})\cdot (-\frac{1}{2}x^{n}\cdot y^{m})$的值.
(2)已知$\frac{1}{4}(x^{2}y^{3})^{m}\cdot (2xy^{n + 1})^{2}= x^{4}y^{9}$,求$m,n$的值.

(1)1；(2)$m=1$，$n=2$

(1)原式$=(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{2})\cdot x^{m}\cdot x^{n}\cdot y^{2}\cdot y^{m}$
$=\frac{1}{6}x^{m + n}y^{m + 2}$
$\because x^{m + n}=3,y^{m + 2}=2$
$\therefore$原式$=\frac{1}{6}×3×2=1$
(2)左边$=\frac{1}{4}(x^{2m}y^{3m})\cdot(4x^{2}y^{2n + 2})$
$=\frac{1}{4}×4\cdot x^{2m + 2}y^{3m + 2n + 2}$
$=x^{2m + 2}y^{3m + 2n + 2}$
$\because$左边$=x^{4}y^{9}$
$\therefore\begin{cases}2m + 2 = 4\\3m + 2n + 2 = 9\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = 1\\n = 2\end{cases}$

单项式乘多项式：$p(a + b + c) = $.
思考 ①单项式与多项式相乘法则依据的是什么运算律？②单项式与多项式相乘,结果的项数与原多项式有何关系？
填空 (1)$3a(5 - 4b) = $；
(2)$(\frac{2}{3}ab - 2)\cdot\frac{3}{4}a^{2}b = $.

$pa + pb + pc$；
(1) $15a - 12ab$；
(2) $\frac{1}{2}a^{3}b^{2} - \frac{3}{2}a^{2}b$。

根据单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
1. $p(a + b + c)$
将$p$乘以$a$，$b$，$c$：
$p × a = pa$
$p × b = pb$
$p × c = pc$
将上述三个积相加得：
$p(a + b + c) = pa + pb + pc$
思考：
①单项式与多项式相乘法则依据的是乘法分配律。
②单项式与多项式相乘，结果的项数与原多项式的项数相同。
2.(1) $3a(5 - 4b)$
将$3a$分别乘以$5$和$-4b$：
$3a × 5 = 15a$
$3a × (-4b) = -12ab$
将上述两个积相加得：
$3a(5 - 4b) = 15a - 12ab$
(2) $(\frac{2}{3}ab - 2)\cdot\frac{3}{4}a^{2}b$
将$\frac{2}{3}ab$乘以$\frac{3}{4}a^{2}b$得：
$\frac{2}{3} × \frac{3}{4} × a × a^{2} × b × b = \frac{1}{2}a^{3}b^{2}$
将$-2$乘以$\frac{3}{4}a^{2}b$得：
$-2 × \frac{3}{4} × a^{2} × b = -\frac{3}{2}a^{2}b$
将上述两个积相加得：
$(\frac{2}{3}ab - 2)\cdot\frac{3}{4}a^{2}b = \frac{1}{2}a^{3}b^{2} - \frac{3}{2}a^{2}b$

例1 计算：
(1)$2m(3m - 2)$； (2)$(3m^{2}n - 2m)\cdot\frac{5}{6}n^{2}$；
(3)$2ab(3a - \frac{3}{4}b + 1)$；(4)$-2ab(3a - \frac{3}{4}b - 1)$.
名师导引 单项式乘多项式,先转化为单项式相乘,再将所得的积相加. 在乘的过程中,先确定积的符号再计算,注意不要漏乘.

(1)
$2m(3m - 2)$
$=2m×3m-2m×2$
$=6m^{2}-4m$
(2)
$(3m^{2}n - 2m)\cdot\frac{5}{6}n^{2}$
$=3m^{2}n×\frac{5}{6}n^{2}-2m×\frac{5}{6}n^{2}$
$=\frac{5}{2}m^{2}n^{3}-\frac{5}{3}mn^{2}$
(3)
$2ab(3a - \frac{3}{4}b + 1)$
$=2ab×3a-2ab×\frac{3}{4}b + 2ab×1$
$=6a^{2}b-\frac{3}{2}ab^{2}+2ab$
(4)
$-2ab(3a - \frac{3}{4}b - 1)$
$=-2ab×3a+2ab×\frac{3}{4}b + 2ab×1$
$=-6a^{2}b+\frac{3}{2}ab^{2}+2ab$

变式训练 计算：
(1)$2x(3x + 1)$； (2)$-2x(3x - 1)$.

(1)$6x^{2}+2x$；
(2)$-6x^{2}+2x$。

(1)
根据单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
$2x(3x + 1)=2x×3x+2x×1 = 6x^{2}+2x$
(2)
同样根据单项式乘多项式法则：
$-2x(3x - 1)=(-2x)×3x+(-2x)×(-1)=-6x^{2}+2x$

例2 先化简,再求值：$3a(2a^{2} - 3a) - 3a^{2}(2a - 1)$,其中$a = -2$.
名师导引 整式的化简求值,遇到混合运算时要注意运算的顺序,结果有同类项的需要先合并,然后再代值计算.

化简过程：
$\begin{aligned}&3a(2a^{2} - 3a) - 3a^{2}(2a - 1)\\=&6a^{3} - 9a^{2} - (6a^{3} - 3a^{2})\\=&6a^{3} - 9a^{2} - 6a^{3} + 3a^{2}\\=&(6a^{3} - 6a^{3}) + (-9a^{2} + 3a^{2})\\=&-6a^{2}\end{aligned}$
代入求值：
当 $a = -2$ 时，
原式 $= -6×(-2)^{2} = -6×4 = -24$
最终结论：$-24$

变式训练 若$x^{2} = 2 - 2y$,求$2x(x + y) - y(2x - 4)$的值.

首先，对表达式$2x(x + y) - y(2x - 4)$进行展开：
$2x(x + y) - y(2x - 4)$
$= 2x^{2} + 2xy - 2xy + 4y$
$= 2x^{2} + 4y$
根据题目给定的条件$x^{2} = 2 - 2y$，可以将其代入上述表达式中：
$2x^{2} + 4y $
$= 2(2 - 2y) + 4y$
$ = 4 - 4y + 4y$
$ = 4$
所以，$2x(x + y) - y(2x - 4) = 4$。