1. 如图,直线$ l_{1}// l_{2}// l_{3} $,直线 AC 交$ l_{1},l_{2},l_{3} $于点 A,B,C,直线 DF 交$ l_{1},l_{2},l_{3} $于点 D,E,F,已知$ \frac{AB}{AC}= \frac{1}{3} $,则$ \frac{EF}{DE}= $.

2

∵直线$ l_{1}// l_{2}// l_{3} $
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
$\because \frac{AB}{AC}= \frac{1}{3}$
$\therefore AC = 3AB$
$\because AC = AB + BC$
$\therefore BC = AC - AB = 3AB - AB = 2AB$
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{AB}{2AB}=\frac{1}{2}$
$\therefore \frac{DE}{EF}=\frac{1}{2}$
$\therefore \frac{EF}{DE}=2$
2

2. 如图,已知$ DE// BC $,且$ AB= 5,AD= 2,AC= 7 $,则$ AE= $.

14/5

∵DE//BC，
∴∠D=∠B，∠E=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∵AB=5，AD=2，AC=7，
∴$\frac{2}{5}=\frac{AE}{7}$，
∴AE=$\frac{14}{5}$。

3. 如图,AB 与 CD 交于点 O,若要$ AC// DB $,只需添加条件()

A.$ \frac{AC}{BD}= \frac{OC}{OD} $
B.$ \frac{AC}{BD}= \frac{OA}{OB} $
C.$ \frac{OA}{OB}= \frac{OC}{OD} $
D.$ \frac{OA}{OB}= \frac{OD}{OC} $

C

根据平行线分线段成比例定理的逆定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
在$\triangle AOC$和$\triangle BOD$中，若$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$，根据上述定理可知$AC// DB$。
逐一分析选项：
选项A：$\frac{AC}{BD}=\frac{OC}{OD}$，不能直接得出$AC// DB$，所以该选项错误。
选项B：$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$，不能直接得出$AC// DB$，所以该选项错误。
选项C：$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$，符合平行线分线段成比例定理的逆定理，能得出$AC// DB$，所以该选项正确。
选项D：$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$，不能直接得出$AC// DB$，所以该选项错误。

4. 如图,在$ \triangle ABC $中,$ DE// BC $,若$ AD:DB= 2:3 $,则下列结论中正确的是()

A.$ \frac{DE}{BC}= \frac{2}{3} $
B.$ \frac{DE}{BC}= \frac{2}{5} $
C.$ \frac{AE}{AC}= \frac{2}{3} $
D.$ \frac{AE}{EC}= \frac{2}{5} $

B

∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD:DB=2:3，
∴AD:AB=2:(2+3)=2:5，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，$\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$，
结论正确的是B.

5. 如图,点 D,E 分别在$ \triangle ABC $的 AB,AC 边上,且$ DE// BC $,$ AB= 6 $,$ AE= 3 $,$ CE= 2 $,求 BD 的长.

∵DE//BC，
∴AD/AB = AE/AC（平行线分线段成比例定理推论）。
∵AE=3，CE=2，
∴AC=AE+CE=3+2=5。
∵AB=6，
∴AD/6 = 3/5，
∴AD=18/5=3.6。
∵BD=AB-AD，
∴BD=6-3.6=2.4。
答：BD的长为2.4。