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变式训练 如图,点C在点A的北偏东35°方向,点C在点B的北偏西75°方向,∠CAB= 20°,则∠ABC的度数为
50°
.答案
50°
解析
1. 如图是一块三角形木板的残余部分,量得∠A= 100°,∠B= 40°,这块三角形木板另外一个角C的度数为(
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
B
)A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
答案
B
解析
因为三角形内角和为180°，∠A=100°，∠B=40°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°。
2. 如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE//AB交AC于点E,∠DEC= 100°,则∠ADE的度数为(
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
C
)A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
答案
C
解析
∵ DE//AB，
∴ ∠DEC=∠BAC=100°（两直线平行，同位角相等）。
∵ AD是角平分线，
∴ ∠BAD=∠BAC/2=50°。
∵ DE//AB，
∴ ∠ADE=∠BAD=50°（两直线平行，内错角相等）。
3. 已知在△ABC中,∠A是∠B的3倍,∠C比∠B小20°,则∠A的度数为
120°
.答案
$120^{\circ}$（这里按题目要求应填数值，若以选项形式一般题目会给如A.100° B.110° C.120° D.130° ，答案选C ）
解析
设$\angle B = x$，则$\angle A = 3x$，根据$\angle C$比$\angle B$小$20^{\circ}$，可得$\angle C=x - 20^{\circ}$。
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$x + 3x+(x - 20^{\circ})=180^{\circ}$，
即$5x-20^{\circ}=180^{\circ}$，
$5x=200^{\circ}$，
解得$x = 40^{\circ}$。
所以$\angle A=3x = 120^{\circ}$。
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$x + 3x+(x - 20^{\circ})=180^{\circ}$，
即$5x-20^{\circ}=180^{\circ}$，
$5x=200^{\circ}$，
解得$x = 40^{\circ}$。
所以$\angle A=3x = 120^{\circ}$。
4. 如图,已知∠1= 20°,∠2= 25°,∠A= 65°,求∠BDC的度数.
答案
在△ABC中，∠A=65°，由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=115°。
∵∠ABC=∠1+∠DBC，∠ACB=∠2+∠DCB，∠1=20°，∠2=25°，
∴∠1+∠DBC+∠2+∠DCB=115°，即20°+∠DBC+25°+∠DCB=115°，
∴∠DBC+∠DCB=115°-20°-25°=70°。
在△DBC中，由三角形内角和定理得∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-70°=110°。
∠BDC=110°
∵∠ABC=∠1+∠DBC，∠ACB=∠2+∠DCB，∠1=20°，∠2=25°，
∴∠1+∠DBC+∠2+∠DCB=115°，即20°+∠DBC+25°+∠DCB=115°，
∴∠DBC+∠DCB=115°-20°-25°=70°。
在△DBC中，由三角形内角和定理得∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-70°=110°。
∠BDC=110°
5. 如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,∠B= 50°,∠BAD= 28°,将△ABD沿AD折叠得到△AED,AE与BC交于点F.
(1)∠AFC=
(2)求∠EDF的度数.
(1)∠AFC=
106
度；(2)求∠EDF的度数.
(2)由(1)知∠ADE = 102°，∠ADF = 78°，且∠ADE=∠ADF+∠EDF，所以∠EDF=∠ADE-∠ADF=102°-78°=24°。
答案
(1)
在$\triangle ABD$中，$\angle B = 50^{\circ}$，$\angle BAD = 28^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ADB=180^{\circ}-\angle B - \angle BAD=180^{\circ}-50^{\circ}-28^{\circ}=102^{\circ}$。
因为$\triangle ABD$沿$AD$折叠得到$\triangle AED$，所以$\angle ADE=\angle ADB = 102^{\circ}$。
$\angle ADF = 180^{\circ}-\angle ADE=180^{\circ}-102^{\circ}=78^{\circ}$。
在$\triangle ADF$中，$\angle DAF = 28^{\circ}$，$\angle ADF = 78^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle AFC=\angle DAF+\angle ADF=28^{\circ}+78^{\circ}=78 + 28=106^{\circ}$（外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，$\angle AFC$是$\triangle ADF$的一个外角）。
(2)
由(1)知$\angle ADE = 102^{\circ}$，$\angle ADF = 78^{\circ}$，且$\angle ADE=\angle ADF+\angle EDF$，所以$\angle EDF=\angle ADE-\angle ADF=102^{\circ}-78^{\circ}=24^{\circ}$。
故答案为：(1)$106$；(2)$24$。
在$\triangle ABD$中，$\angle B = 50^{\circ}$，$\angle BAD = 28^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ADB=180^{\circ}-\angle B - \angle BAD=180^{\circ}-50^{\circ}-28^{\circ}=102^{\circ}$。
因为$\triangle ABD$沿$AD$折叠得到$\triangle AED$，所以$\angle ADE=\angle ADB = 102^{\circ}$。
$\angle ADF = 180^{\circ}-\angle ADE=180^{\circ}-102^{\circ}=78^{\circ}$。
在$\triangle ADF$中，$\angle DAF = 28^{\circ}$，$\angle ADF = 78^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle AFC=\angle DAF+\angle ADF=28^{\circ}+78^{\circ}=78 + 28=106^{\circ}$（外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，$\angle AFC$是$\triangle ADF$的一个外角）。
(2)
由(1)知$\angle ADE = 102^{\circ}$，$\angle ADF = 78^{\circ}$，且$\angle ADE=\angle ADF+\angle EDF$，所以$\angle EDF=\angle ADE-\angle ADF=102^{\circ}-78^{\circ}=24^{\circ}$。
故答案为：(1)$106$；(2)$24$。
6. 如图,在A处观测灯塔C位于南偏东70°方向,轮船从A处沿南偏东30°方向航行至B处,在B处观测灯塔C位于北偏东55°方向,求∠C的度数.
答案
∠C=55°。
步骤如下：
1. 求∠CAB：
在A处，灯塔C在南偏东70°方向，轮船航行方向（AB）为南偏东30°，故∠CAB=70°-30°=40°。
2. 求∠ABC：
在B处，灯塔C在北偏东55°方向（即BC与正北方向夹角55°）；AB方向为南偏东30°，故BA方向为北偏西30°（即BA与正北方向夹角30°）。因此，∠ABC=30°+55°=85°。
3. 求∠C：
由三角形内角和定理，∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-40°-85°=55°。
结论：∠C的度数为55°。
步骤如下：
1. 求∠CAB：
在A处，灯塔C在南偏东70°方向，轮船航行方向（AB）为南偏东30°，故∠CAB=70°-30°=40°。
2. 求∠ABC：
在B处，灯塔C在北偏东55°方向（即BC与正北方向夹角55°）；AB方向为南偏东30°，故BA方向为北偏西30°（即BA与正北方向夹角30°）。因此，∠ABC=30°+55°=85°。
3. 求∠C：
由三角形内角和定理，∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-40°-85°=55°。
结论：∠C的度数为55°。
7.(分类讨论)如图,BD为△ABC的角平分线,若∠ABC= 60°,∠CDB= 110°,E为线段BC上一点.当△DCE为直角三角形时,求∠BDE的度数.
答案
情况1：直角顶点为D（∠CDE=90°）
在△BDC中，∠DBC=30°（BD平分∠ABC），∠CDB=110°，
∠C=180°-∠CDB-∠DBC=180°-110°-30°=40°。
∠BDE=∠CDB-∠CDE=110°-90°=20°。
情况2：直角顶点为E（∠DEC=90°）
在△DCE中，∠C=40°，∠DEC=90°，
∠CDE=180°-∠DEC-∠C=180°-90°-40°=50°。
∠BDE=∠CDB-∠CDE=110°-50°=60°。
结论：∠BDE的度数为20°或60°。
在△BDC中，∠DBC=30°（BD平分∠ABC），∠CDB=110°，
∠C=180°-∠CDB-∠DBC=180°-110°-30°=40°。
∠BDE=∠CDB-∠CDE=110°-90°=20°。
情况2：直角顶点为E（∠DEC=90°）
在△DCE中，∠C=40°，∠DEC=90°，
∠CDE=180°-∠DEC-∠C=180°-90°-40°=50°。
∠BDE=∠CDB-∠CDE=110°-50°=60°。
结论：∠BDE的度数为20°或60°。
变式训练 如图,点C在点A的北偏东35°方向,点C在点B的北偏西75°方向,∠CAB= 20°,则∠ABC的度数为______.
答案
90°
解析
过点A作正北方向射线AD，过点B作正北方向射线BE，
∴AD//BE。
∵点C在点A北偏东35°方向，
∴∠CAD=35°。
∵∠CAB=20°，
∴∠DAB=∠CAD - ∠CAB=35° - 20°=15°。
∵AD//BE，
∴∠ABE=∠DAB=15°（内错角相等）。
∵点C在点B北偏西75°方向，
∴∠CBE=75°。
∴∠ABC=∠ABE + ∠CBE=15° + 75°=90°。
∴AD//BE。
∵点C在点A北偏东35°方向，
∴∠CAD=35°。
∵∠CAB=20°，
∴∠DAB=∠CAD - ∠CAB=35° - 20°=15°。
∵AD//BE，
∴∠ABE=∠DAB=15°（内错角相等）。
∵点C在点B北偏西75°方向，
∴∠CBE=75°。
∴∠ABC=∠ABE + ∠CBE=15° + 75°=90°。
1. 如图是一块三角形木板的残余部分,量得∠A= 100°,∠B= 40°,这块三角形木板另外一个角C的度数为( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
答案
B
解析
因为三角形内角和为180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°
2. 如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE//AB交AC于点E,∠DEC= 100°,则∠ADE的度数为( )
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
答案
C
解析
∵DE//AB，∠DEC=100°
∴∠A=∠DEC=100°（两直线平行，同位角相等）
∵AD是角平分线
∴∠BAD=∠A/2=50°
∵DE//AB
∴∠ADE=∠BAD=50°（两直线平行，内错角相等）
∴∠A=∠DEC=100°（两直线平行，同位角相等）
∵AD是角平分线
∴∠BAD=∠A/2=50°
∵DE//AB
∴∠ADE=∠BAD=50°（两直线平行，内错角相等）
3. 已知在△ABC中,∠A是∠B的3倍,∠C比∠B小20°,则∠A的度数为______.
答案
120°
解析
设∠B的度数为x，则∠A=3x，∠C=x-20°。由三角形内角和定理得，3x+x+(x-20°)=180°，解得x=40°，则∠A=3x=120°。
4. 如图,已知∠1= 20°,∠2= 25°,∠A= 65°,求∠BDC的度数.
答案
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°。
∵∠1=20°，∠2=25°，
∴∠DBC + ∠DCB = (∠ABC + ∠ACB) - (∠1 + ∠2) = 115° - (20° + 25°) = 70°。
在△DBC中，∠BDC = 180° - (∠DBC + ∠DCB) = 180° - 70° = 110°。
∠BDC的度数为110°。
∵∠1=20°，∠2=25°，
∴∠DBC + ∠DCB = (∠ABC + ∠ACB) - (∠1 + ∠2) = 115° - (20° + 25°) = 70°。
在△DBC中，∠BDC = 180° - (∠DBC + ∠DCB) = 180° - 70° = 110°。
∠BDC的度数为110°。
5. 如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,∠B= 50°,∠BAD= 28°,将△ABD沿AD折叠得到△AED,AE与BC交于点F.
(1)∠AFC= ______度；
(2)求∠EDF的度数.
(1)∠AFC= ______度；
(2)求∠EDF的度数.
答案
(1) 106
(2) 在△ABD中，∠B=50°，∠BAD=28°，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-28°=102°。
由折叠性质得∠ADE=∠ADB=102°。
∠BAE=∠BAD+∠EAD=28°+28°=56°。
在△ABF中，∠AFB=180°-∠B-∠BAE=180°-50°-56°=74°，
∠AFD=∠AFB=74°（F在BD上）。
在△AFD中，∠ADF=180°-∠FAD-∠AFD=180°-28°-74°=78°。
∠EDF=∠ADE-∠ADF=102°-78°=24°。
答：∠EDF的度数为24°。
(2) 在△ABD中，∠B=50°，∠BAD=28°，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-28°=102°。
由折叠性质得∠ADE=∠ADB=102°。
∠BAE=∠BAD+∠EAD=28°+28°=56°。
在△ABF中，∠AFB=180°-∠B-∠BAE=180°-50°-56°=74°，
∠AFD=∠AFB=74°（F在BD上）。
在△AFD中，∠ADF=180°-∠FAD-∠AFD=180°-28°-74°=78°。
∠EDF=∠ADE-∠ADF=102°-78°=24°。
答：∠EDF的度数为24°。
6. 如图,在A处观测灯塔C位于南偏东70°方向,轮船从A处沿南偏东30°方向航行至B处,在B处观测灯塔C位于北偏东55°方向,求∠C的度数.
答案
解：由题意得，在点A处，灯塔C位于南偏东70°方向，轮船航行方向为南偏东30°方向，故∠BAC=70°-30°=40°。
轮船从A沿南偏东30°方向航行至B，则BA方向为北偏西30°方向。在点B处，灯塔C位于北偏东55°方向，故∠ABC=30°+55°=85°。
在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-40°-85°=55°。
答：∠C的度数为55°。
轮船从A沿南偏东30°方向航行至B，则BA方向为北偏西30°方向。在点B处，灯塔C位于北偏东55°方向，故∠ABC=30°+55°=85°。
在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-40°-85°=55°。
答：∠C的度数为55°。
7.(分类讨论)如图,BD为△ABC的角平分线,若∠ABC= 60°,∠CDB= 110°,E为线段BC上一点.当△DCE为直角三角形时,求∠BDE的度数.
答案
答题卡：
由题知 $BD$ 为 $\triangle ABC$ 的角平分线，$\angle ABC = 60^{\circ}$，
根据角平分线性质，得 $\angle DBC = \frac{1}{2} \angle ABC = 30^{\circ}$。
已知 $\angle CDB = 110^{\circ}$，
根据三角形内角和为 $180^{\circ}$，
在$\triangle BCD$中，
可得 $\angle C = 180^{\circ} - \angle DBC - \angle CDB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 110^{\circ} = 40^{\circ}$。
当 $\angle CED = 90^{\circ}$ 时：
根据直角三角形 $DCE$ 的性质，
可得 $\angle CDE = 90^{\circ} - \angle C = 50^{\circ}$。
因此，$\angle BDE = \angle CDB - \angle CDE = 110^{\circ} - 50^{\circ} = 60^{\circ}$。
当 $\angle CDE = 90^{\circ}$ 时：
直接得出 $\angle BDE = \angle CDB - \angle CDE = 110^{\circ} - 90^{\circ} = 20^{\circ}$。
综上，$\angle BDE$ 的度数为 $60^{\circ}$ 或 $20^{\circ}$。
由题知 $BD$ 为 $\triangle ABC$ 的角平分线，$\angle ABC = 60^{\circ}$，
根据角平分线性质，得 $\angle DBC = \frac{1}{2} \angle ABC = 30^{\circ}$。
已知 $\angle CDB = 110^{\circ}$，
根据三角形内角和为 $180^{\circ}$，
在$\triangle BCD$中，
可得 $\angle C = 180^{\circ} - \angle DBC - \angle CDB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 110^{\circ} = 40^{\circ}$。
当 $\angle CED = 90^{\circ}$ 时：
根据直角三角形 $DCE$ 的性质，
可得 $\angle CDE = 90^{\circ} - \angle C = 50^{\circ}$。
因此，$\angle BDE = \angle CDB - \angle CDE = 110^{\circ} - 50^{\circ} = 60^{\circ}$。
当 $\angle CDE = 90^{\circ}$ 时：
直接得出 $\angle BDE = \angle CDB - \angle CDE = 110^{\circ} - 90^{\circ} = 20^{\circ}$。
综上，$\angle BDE$ 的度数为 $60^{\circ}$ 或 $20^{\circ}$。
1. 直角三角形的两个锐角
2. 有两个角互余的三角形是
思考
①在一个三角形中,如果有一个角是直角,另外两个角有什么关系? ②有两个角互余的三角形是直角三角形吗?
练习
(1)若直角三角形的一个锐角为$50^{\circ}$,则另一个锐角的度数是
(2)在$\triangle ABC$中,若$∠A - ∠B = ∠C$,则此三角形是
互余
.2. 有两个角互余的三角形是
直角
三角形.思考
①在一个三角形中,如果有一个角是直角,另外两个角有什么关系? ②有两个角互余的三角形是直角三角形吗?
练习
(1)若直角三角形的一个锐角为$50^{\circ}$,则另一个锐角的度数是
$40^{\circ}$
.(2)在$\triangle ABC$中,若$∠A - ∠B = ∠C$,则此三角形是
直角
三角形.答案
1. 互余；
2. 直角；
练习(1)$40^{\circ}$；(2)直角。
2. 直角；
练习(1)$40^{\circ}$；(2)直角。
解析
1. 直角三角形的两个锐角和为$90°$（或互余或相加等于$90°$ ）。
因为三角形内角和为$180°$，直角为$90°$，所以两个锐角和为$180° - 90° = 90°$。
2. 有两个角互余的三角形是直角三角形。
设三角形的三个角分别为$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$，若$\angle A+\angle B = 90°$，根据三角形内角和为$180°$，则$\angle C=180° - (\angle A+\angle B)=90°$，所以是直角三角形。
思考：
①在一个三角形中，如果有一个角是直角，因为三角形内角和是$180°$，所以另外两个角和为$180° - 90° = 90°$，即另外两个角互余。
②由前面分析，有两个角互余的三角形是直角三角形。
练习：
(1)因为直角三角形两锐角互余，一个锐角为$50^{\circ}$，则另一个锐角的度数是$90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
(2)已知$\angle A - \angle B = \angle C$，即$\angle A=\angle B + \angle C$，又因为$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，把$\angle A=\angle B + \angle C$代入可得$\angle A+\angle A = 180^{\circ}$，$2\angle A=180^{\circ}$，解得$\angle A = 90^{\circ}$，所以此三角形是直角三角形。
因为三角形内角和为$180°$，直角为$90°$，所以两个锐角和为$180° - 90° = 90°$。
2. 有两个角互余的三角形是直角三角形。
设三角形的三个角分别为$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$，若$\angle A+\angle B = 90°$，根据三角形内角和为$180°$，则$\angle C=180° - (\angle A+\angle B)=90°$，所以是直角三角形。
思考：
①在一个三角形中，如果有一个角是直角，因为三角形内角和是$180°$，所以另外两个角和为$180° - 90° = 90°$，即另外两个角互余。
②由前面分析，有两个角互余的三角形是直角三角形。
练习：
(1)因为直角三角形两锐角互余，一个锐角为$50^{\circ}$，则另一个锐角的度数是$90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
(2)已知$\angle A - \angle B = \angle C$，即$\angle A=\angle B + \angle C$，又因为$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，把$\angle A=\angle B + \angle C$代入可得$\angle A+\angle A = 180^{\circ}$，$2\angle A=180^{\circ}$，解得$\angle A = 90^{\circ}$，所以此三角形是直角三角形。
