8. 如图①②,结合函数的图像解决下列问题.
(1)将函数$y= x^{2}+2的图像沿x$轴对折后得到的函数表达式是,将函数$y= x^{2}+2的图像沿y$轴对折后得到的函数表达式是;
(2)将函数$y= 3(x-4)^{2}的图像沿x$轴对折后得到的函数表达式是,将函数$y= 3(x-4)^{2}的图像绕原点旋转180^{\circ}$后得到的函数表达式是.

(1)
沿$x$轴对折：
对于函数$y = f(x)$，沿$x$轴对折后的函数为$y = -f(x)$。
所以，将函数$y = x^{2} + 2$沿$x$轴对折后，得到的函数表达式是$y = - (x^{2} + 2) = - x^{2} - 2$。
沿$y$轴对折：
对于函数$y = f(x)$，沿$y$轴对折后的函数为$y = f(-x)$。
所以，将函数$y = x^{2} + 2$沿$y$轴对折后，得到的函数表达式是$y = (-x)^{2} + 2 = x^{2} + 2$（因为$(-x)^2 = x^2$，所以表达式不变）。
(2)
沿$x$轴对折：
对于函数$y = f(x-h)^{2}$，沿$x$轴对折后的函数为$y = -f(x-h)^{2}$。
所以，将函数$y = 3(x - 4)^{2}$沿$x$轴对折后，得到的函数表达式是$y = - 3(x - 4)^{2}$。
绕原点旋转$180^{\circ}$：
对于函数$y = f(x)$，绕原点旋转$180^{\circ}$后的函数为$y = -f(-x)$。
所以，将函数$y = 3(x - 4)^{2}$绕原点旋转$180^{\circ}$后，得到的函数表达式是$y = - 3(-x - 4)^{2} = - 3(x + 4)^{2}$。
故答案为：
(1) $y = - x^{2} - 2$；$y = x^{2} + 2$
(2) $y = - 3(x - 4)^{2}$；$y = - 3(x + 4)^{2}$

9. 能否适当地向左或向右平移函数$y= -\dfrac{1}{2}x^{2}$的图像,使得到的新的图像经过点$(-9,-8)$?若能,请说出平移的方向和距离;若不能,请说明理由.

能，向左平移5个单位或向右平移13个单位。
设平移后的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-h)^2$。
因为新图像经过点$(-9,-8)$，所以将$x=-9$，$y=-8$代入解析式得：
$-8=-\dfrac{1}{2}(-9 - h)^2$
等式两边同时乘以$-2$：$16=(-9 - h)^2$
开平方得：$-9 - h = \pm 4$
当$-9 - h = 4$时，$h=-13$；当$-9 - h = -4$时，$h=-5$。
当$h=-5$时，图像向左平移5个单位；当$h=-13$时，图像向右平移13个单位。

10. 如图,已知$\odot P$的半径为2,圆心$P在二次函数y= \dfrac{1}{2}x^{2}-1$的图像上运动,当$\odot P$与坐标轴相切时,求圆心$P$的坐标.

1. 设圆心$ P $的坐标为$(x,y)$，因$ P $在二次函数$ y=\dfrac{1}{2}x^{2}-1 $上，故$ y=\dfrac{1}{2}x^{2}-1 $。
2. 当$\odot P$与$x$轴相切时，圆心到$x$轴距离等于半径，即$|y|=2$。
二次函数$ y=\dfrac{1}{2}x^{2}-1 $最小值为$-1$，则$ y=2 $。
代入$ y=\dfrac{1}{2}x^{2}-1 $得：$ 2=\dfrac{1}{2}x^{2}-1 $，解得$ x^{2}=6 $，$ x=\pm\sqrt{6} $。
此时$ P $坐标为$(\sqrt{6},2)$，$(-\sqrt{6},2)$。
3. 当$\odot P$与$y$轴相切时，圆心到$y$轴距离等于半径，即$|x|=2$，则$ x=\pm2 $。
当$ x=2 $时，$ y=\dfrac{1}{2}×2^{2}-1=1 $；当$ x=-2 $时，$ y=\dfrac{1}{2}×(-2)^{2}-1=1 $。
此时$ P $坐标为$(2,1)$，$(-2,1)$。
4. 综上，圆心$ P $的坐标为$(\sqrt{6},2)$，$(-\sqrt{6},2)$，$(2,1)$，$(-2,1)$。