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22. 某厂生产A,B两种产品,其单价随市场变化而做出相应调整,营销人员根据前四次单价变化的情况绘制了如下统计表：
|次序|第一次|第二次|第三次|第四次|
|A产品单价/(元/件)|6|5.2|6.5|5.9|
|B产品单价/(元/件)|3.5|4|3|3.5|
并求得了A产品四次单价的平均数和方差：
$\overline{x}_{A}= 5.9$,$s^{2}_{A}= \frac{1}{4}×[(6-5.9)^{2}+(5.2-5.9)^{2}+(6.5-5.9)^{2}+(5.9-5.9)^{2}]= \frac{43}{200}$.
(1)B产品第四次的单价比第二次的单价减少了______%；
(2)A产品四次单价的中位数是______；B产品四次单价的众数是______；
(3)求B产品四次单价的方差,并比较哪种产品的单价波动小.
(1)B产品第四次的单价比第二次的单价减少了
(2)A产品四次单价的中位数是
(3)求B产品四次单价的方差,并比较哪种产品的单价波动小.
|次序|第一次|第二次|第三次|第四次|
|A产品单价/(元/件)|6|5.2|6.5|5.9|
|B产品单价/(元/件)|3.5|4|3|3.5|
并求得了A产品四次单价的平均数和方差：
$\overline{x}_{A}= 5.9$,$s^{2}_{A}= \frac{1}{4}×[(6-5.9)^{2}+(5.2-5.9)^{2}+(6.5-5.9)^{2}+(5.9-5.9)^{2}]= \frac{43}{200}$.
(1)B产品第四次的单价比第二次的单价减少了______%；
(2)A产品四次单价的中位数是______；B产品四次单价的众数是______；
(3)求B产品四次单价的方差,并比较哪种产品的单价波动小.
(1)B产品第四次的单价比第二次的单价减少了
12.5
%；(2)A产品四次单价的中位数是
5.95
；B产品四次单价的众数是3.5
；(3)求B产品四次单价的方差,并比较哪种产品的单价波动小.
B产品四次单价的平均数为：$\overline{x}_{B} = \frac{3.5 + 4 + 3 + 3.5}{4} = 3.5$。方差为：$s_{B}^{2} = \frac{1}{4} × \left[ (3.5 - 3.5)^{2} + (4 - 3.5)^{2} + (3 - 3.5)^{2} + (3.5 - 3.5)^{2} \right] = \frac{1}{4} × [0 + 0.25 + 0.25 + 0] = \frac{1}{4} × 0.5 = \frac{1}{8} = 0.125$。已知$s_{A}^{2} = \frac{43}{200} = 0.215$。因为$s_{B}^{2} ＜ s_{A}^{2}$，所以B产品的单价波动小。
答案
（1）B产品第四次的单价为$3.5$元/件，第二次的单价为$4$元/件。
减少的百分比为：
$\frac{4 - 3.5}{4} × 100\% = \frac{0.5}{4} × 100\% = 12.5\%$。
故答案为：$12.5$。
（2）A产品四次单价从小到大排序为：$5.2, 5.9, 6, 6.5$。
中位数为：$\frac{5.9 + 6}{2} = 5.95$。
B产品四次单价中，$3.5$元/件出现了两次，其他价格只出现了一次。
因此，众数为$3.5$元/件。
故答案为：$5.95$；$3.5$。
（3）B产品四次单价的平均数为：
$\overline{x}_{B} = \frac{3.5 + 4 + 3 + 3.5}{4} = 3.5$。
方差为：
$s_{B}^{2} = \frac{1}{4} × \left[ (3.5 - 3.5)^{2} + (4 - 3.5)^{2} + (3 - 3.5)^{2} + (3.5 - 3.5)^{2} \right]$
$= \frac{1}{4} × [0 + 0.25 + 0.25 + 0]$
$= \frac{1}{4} × 0.5$
$= \frac{1}{8}$
$=0.125$
已知$s_{A}^{2} = \frac{43}{200} = 0.215$。
因为$s_{B}^{2} ＜ s_{A}^{2}$，
所以B产品的单价波动小。
减少的百分比为：
$\frac{4 - 3.5}{4} × 100\% = \frac{0.5}{4} × 100\% = 12.5\%$。
故答案为：$12.5$。
（2）A产品四次单价从小到大排序为：$5.2, 5.9, 6, 6.5$。
中位数为：$\frac{5.9 + 6}{2} = 5.95$。
B产品四次单价中，$3.5$元/件出现了两次，其他价格只出现了一次。
因此，众数为$3.5$元/件。
故答案为：$5.95$；$3.5$。
（3）B产品四次单价的平均数为：
$\overline{x}_{B} = \frac{3.5 + 4 + 3 + 3.5}{4} = 3.5$。
方差为：
$s_{B}^{2} = \frac{1}{4} × \left[ (3.5 - 3.5)^{2} + (4 - 3.5)^{2} + (3 - 3.5)^{2} + (3.5 - 3.5)^{2} \right]$
$= \frac{1}{4} × [0 + 0.25 + 0.25 + 0]$
$= \frac{1}{4} × 0.5$
$= \frac{1}{8}$
$=0.125$
已知$s_{A}^{2} = \frac{43}{200} = 0.215$。
因为$s_{B}^{2} ＜ s_{A}^{2}$，
所以B产品的单价波动小。
23. 为了解学生线上学习期间居家劳动的开展情况,某中学对该校1200名七年级学生和1500名八年级学生平均每天居家劳动时间进行了调查,现从中各随机抽取20名学生的平均每天居家劳动时间t(单位:min)进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息.
七年级20名学生平均每天的居家劳动时间：
30,30,35,40,40,40,40,40,40,40,45,45,50,55,55,55,55,60,60,60.
八年级20名学生平均每天居家劳动时间的统计图如下：
七、八年级抽取的学生平均每天居家劳动时间的平均数、众数、中位数如下表所示：
|年级|平均数|众数|中位数|
|七年级|45|a|40|
|八年级|45|45|b|
根据以上信息,解答下列问题：
(1)$m= $
(2)如果学校要从中选取一个年级进行居家劳动活动的经验和心得分享,根据以上数据,你认为选择哪个年级较好？请说明理由(写出一条理由即可).
(3)平均每天居家劳动时间大于或等于50 min的学生会被授予“劳动达人”的称号,请估计此次七、八年级的学生中被授予此称号的人数共有多少.
七年级20名学生平均每天的居家劳动时间：
30,30,35,40,40,40,40,40,40,40,45,45,50,55,55,55,55,60,60,60.
八年级20名学生平均每天居家劳动时间的统计图如下：
七、八年级抽取的学生平均每天居家劳动时间的平均数、众数、中位数如下表所示：
|年级|平均数|众数|中位数|
|七年级|45|a|40|
|八年级|45|45|b|
根据以上信息,解答下列问题：
(1)$m= $
6
,$a= $40
,$b= $47.5
.(2)如果学校要从中选取一个年级进行居家劳动活动的经验和心得分享,根据以上数据,你认为选择哪个年级较好？请说明理由(写出一条理由即可).
（2）选择八年级较好。理由：八年级抽取学生平均每天居家劳动时间的中位数47.5大于七年级的40，说明八年级一半以上学生居家劳动时间大于47.5min，整体劳动时间表现更好。
(3)平均每天居家劳动时间大于或等于50 min的学生会被授予“劳动达人”的称号,请估计此次七、八年级的学生中被授予此称号的人数共有多少.
（3）七年级抽取的20名学生中，平均每天居家劳动时间大于或等于50min的有8人，占比为$\frac{8}{20}$。
七年级1200名学生中，估计被授予“劳动达人”称号的人数为$1200×\frac{8}{20} = 480$（人）。
八年级抽取的20名学生中，平均每天居家劳动时间大于或等于50min的有7人，占比为$\frac{7}{20}$。
八年级1500名学生中，估计被授予“劳动达人”称号的人数为$1500×\frac{7}{20} = 525$（人）。
所以，七、八年级学生中被授予“劳动达人”称号的总人数估计为$480 + 525 = 1005$（人）。
七年级1200名学生中，估计被授予“劳动达人”称号的人数为$1200×\frac{8}{20} = 480$（人）。
八年级抽取的20名学生中，平均每天居家劳动时间大于或等于50min的有7人，占比为$\frac{7}{20}$。
八年级1500名学生中，估计被授予“劳动达人”称号的人数为$1500×\frac{7}{20} = 525$（人）。
所以，七、八年级学生中被授予“劳动达人”称号的总人数估计为$480 + 525 = 1005$（人）。
答案
$6$；$40$；$47.5$。
（2）选择八年级较好。理由：八年级抽取学生平均每天居家劳动时间的中位数$47.5$大于七年级的$40$，说明八年级一半以上学生居家劳动时间大于$47.5min$，整体劳动时间表现更好。
（3）七年级抽取的$20$名学生中，平均每天居家劳动时间大于或等于$50min$的有$8$人，占比为$\frac{8}{20}$。
七年级$1200$名学生中，估计被授予“劳动达人”称号的人数为$1200×\frac{8}{20} = 480$（人）。
八年级抽取的$20$名学生中，平均每天居家劳动时间大于或等于$50min$的有$7$人，占比为$\frac{7}{20}$。
八年级$1500$名学生中，估计被授予“劳动达人”称号的人数为$1500×\frac{7}{20} = 525$（人）。
所以，七、八年级学生中被授予“劳动达人”称号的总人数估计为$480 + 525 = 1005$（人）。
（2）选择八年级较好。理由：八年级抽取学生平均每天居家劳动时间的中位数$47.5$大于七年级的$40$，说明八年级一半以上学生居家劳动时间大于$47.5min$，整体劳动时间表现更好。
（3）七年级抽取的$20$名学生中，平均每天居家劳动时间大于或等于$50min$的有$8$人，占比为$\frac{8}{20}$。
七年级$1200$名学生中，估计被授予“劳动达人”称号的人数为$1200×\frac{8}{20} = 480$（人）。
八年级抽取的$20$名学生中，平均每天居家劳动时间大于或等于$50min$的有$7$人，占比为$\frac{7}{20}$。
八年级$1500$名学生中，估计被授予“劳动达人”称号的人数为$1500×\frac{7}{20} = 525$（人）。
所以，七、八年级学生中被授予“劳动达人”称号的总人数估计为$480 + 525 = 1005$（人）。
解析
（1）
假设统计图中，八年级$40min$到$50min$之间的频数为$m$，总人数为$20$人，已知其他区间频数之和为$14$，则$m = 20 - 14 = 6$的占比为$30\%$，符合题意。
七年级数据中$40$出现$7$次，出现次数最多，所以众数$a = 40$。
八年级$20$个数据，按大小顺序排列后，第$10$、$11$个数据的平均数为中位数，即$b=(45 + 50)÷2 = 47.5$。
假设统计图中，八年级$40min$到$50min$之间的频数为$m$，总人数为$20$人，已知其他区间频数之和为$14$，则$m = 20 - 14 = 6$的占比为$30\%$，符合题意。
七年级数据中$40$出现$7$次，出现次数最多，所以众数$a = 40$。
八年级$20$个数据，按大小顺序排列后，第$10$、$11$个数据的平均数为中位数，即$b=(45 + 50)÷2 = 47.5$。
