1. 如图,平面上的直线$a$,$b分别过线段OK$的两端点,则$a$,$b$相交所成的锐角是.

$30^{\circ}$

本题可利用三角形外角性质求出$\angle OKB$，$\angle OKB$即为直线$a$，$b$相交所成的锐角（或其邻补角），再根据邻补角性质求出该锐角。
步骤一：根据三角形外角性质求出$\angle OKB$的度数
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
在$\triangle OKM$（假设$KM$为过$K$点与$a$相交的线段，$M$在$a$上）中，$\angle OKB$是$\triangle OKM$的一个外角，$\angle O = 100^{\circ}$，与$\angle OKB$不相邻的内角为$70^{\circ}$，则$\angle OKB=100^{\circ}-70^{\circ}=30^{\circ}$。
步骤二：明确直线$a$，$b$相交所成的锐角
由图可知，直线$a$，$b$相交所成的锐角就是$\angle OKB$的邻补角中较小的角，因为$\angle OKB = 30^{\circ}$，根据邻补角之和为$180^{\circ}$，则其邻补角为$180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$，$30^{\circ}\lt150^{\circ}$，所以直线$a$，$b$相交所成的锐角是$30^{\circ}$。

2. 如图,写出$\angle \alpha$的度数.
(1)$\angle \alpha =$； (2)$\angle \alpha =$； (3)$\angle \alpha =$.

65°；70°；48°

3. 如图,直线$AB$,$CD被BC$所截,若$AB // CD$,$\angle 1 = 45^{\circ}$,$\angle 2 = 35^{\circ}$,则$\angle 3 = $.

80°

因为AB//CD，所以∠1=∠C=45°（两直线平行，内错角相等）。在△CDE中，∠3是外角，所以∠3=∠C+∠2=45°+35°=80°。

4. 如图,$CE是\triangle ABC的外角\angle ACD$的平分线. 若$\angle B = 35^{\circ}$,$\angle ACE = 60^{\circ}$,则$\angle A$的大小是()

A.$35^{\circ}$
B.$95^{\circ}$
C.$85^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

C

∵CE是∠ACD的平分线，∠ACE=60°，
∴∠ACD=2∠ACE=120°.
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B.
∵∠B=35°，
∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°.

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$BP是\angle ABC$的平分线,$CP是\angle ACB$的外角的平分线. 若$\angle ABP = 20^{\circ}$,$\angle ACP = 50^{\circ}$,则$\angle A + \angle P = $()

A.$70^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$100^{\circ}$

C

∵BP平分∠ABC，∠ABP=20°，∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠PBC=∠ABP=20°．
∵CP平分∠ACB的外角∠ACM，∠ACP=50°，∴∠ACM=2∠ACP=100°．
∵∠ACM是△ABC的外角，∴∠ACM=∠A+∠ABC，即100°=∠A+40°，解得∠A=60°．
∵∠PCM=∠ACP=50°，∠PCM是△PBC的外角，∴∠PCM=∠P+∠PBC，即50°=∠P+20°，解得∠P=30°．
∴∠A+∠P=60°+30°=90°．

6. 如图,这是一台起重机的工作简图,前后两次吊杆位置$OP_1$,$OP_2与吊绳的夹角分别是30^{\circ}和70^{\circ}$,则吊杆前后两次的夹角$\angle P_1OP_2 = $()

A.$60^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

C

根据题意，$\angle 1 = 30^\circ$，$\angle 2 = 70^\circ$，这两个角分别是吊绳与吊杆$OP_1$和$OP_2$的夹角。
吊杆与吊绳的夹角和一个虚垂线构成的直角三角形中，可得出$\angle P_1OP_2$的计算方法：
$\angle P_1OP_2 = \angle 2 - \angle 1 = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ$。

7. 一副三角尺如图所示摆放,若$\angle 1 = 80^{\circ}$,则$\angle 2$的度数是()

A.$80^{\circ}$
B.$95^{\circ}$
C.$100^{\circ}$
D.$110^{\circ}$

B

1. 左边30°三角尺的另一个锐角为：180°-90°-30°=60°；
2. 设∠1与60°角所在三角形的第三个内角为∠β，则∠β=180°-∠1-60°=180°-80°-60°=40°；
3. ∠β的对顶角∠γ=40°；
4. 右边45°三角尺中，含∠γ和直角的三角形第三个内角∠ε=180°-90°-40°=50°；
5. ∠2为含45°角与∠ε的三角形的外角，故∠2=45°+∠ε=45°+50°=95°。

8. 如图,在锐角三角形$ABC$中,$CD$,$BE分别是AB$,$AC$边上的高,且$CD$,$BE交于点P$,若$\angle A = 50^{\circ}$,求$\angle BPC$的度数.

∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，
∴∠ADC=∠AEB=90°。
在四边形ADPE中，∠A=50°，∠ADC=∠AEB=90°，
∵四边形内角和为360°，
∴∠DPE=360°-∠A-∠ADC-∠AEB=360°-50°-90°-90°=130°。
∵∠BPC与∠DPE是对顶角，
∴∠BPC=∠DPE=130°。
答：∠BPC的度数为130°。

9. 如图,试说明：(1)$\angle BDC ＞ \angle A$；(2)$\angle BDC = \angle B + \angle C + \angle A$.

(1)延长BD交AC于点F。
在△DFC中，∠BDC是外角，∴∠BDC＞∠DFC。
在△AFB中，∠DFC是外角，∴∠DFC＞∠A。
∴∠BDC＞∠A。
(2)延长BD交AC于点F。
在△AFB中，∠DFC是外角，∴∠DFC=∠A+∠B。
在△DFC中，∠BDC是外角，∴∠BDC=∠DFC+∠C。
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C，即∠BDC=∠B+∠C+∠A。