如图15.3 - 18,在△ABC中,点D在BC边上,点B关于直线AD的对称点B'落在AC的延长线上,若BC垂直平分AB',则$\frac{BD}{CD}$的值为。

2

设AC=CB'=a，由BC垂直平分AB'得AB'=2a，BC⊥AB'，CA=CB'。点B与B'关于AD对称，故AB=AB'=2a，BD=B'D。在Rt△ACB中，AC=a，AB=2a，∠ACB=90°，则∠BAC=60°，∠ABC=30°。AD平分∠BAC，∠BAD=∠B'AD=30°。在△ABD中，∠BAD=∠ABD=30°，∠ADB=120°，∠ADC=60°。由BC垂直平分AB'得DA=DB'，△DAB'中∠DAB'=∠DB'A=30°。Rt△DCB'中，∠DB'C=30°，则DC=DB'/2=BD/2，故BD/CD=2。

1. 如图是屋架设计图的一部分,立柱BC垂直于横梁AD,AB = 6 m,∠A = 30°,则立柱BC的长度为m。

$3$

本题可根据直角三角形的性质来求解立柱$BC$的长度。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$AB = 6m$。
根据在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle A$所对的直角边是$BC$，斜边是$AB$，所以$BC=\frac{1}{2}AB$。
将$AB = 6m$代入可得$BC = 3m$。

2. 如图,在△ABC中,∠C = 90°,∠B = 30°,AB的垂直平分线ED交AB于点E,交BC于点D,若CD = 3,则BD的长为,DE的长为。

6，3

∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD（垂直平分线性质），∠BAD=∠B=30°。
在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，则∠CAD=∠BAC-∠BAD=60°-30°=30°。
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，CD=3，∴AD=2CD=6（30°角所对直角边等于斜边一半），故BD=AD=6。
在Rt△BED中，∠B=30°，BD=6，∴DE=1/2 BD=3（30°角所对直角边等于斜边一半）。

3. 如图,△ABC是等边三角形,D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F。若BC = 4,则BE + CF = 。

$2$

$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle B =\angle C = 60^{\circ}$，
$\because DE \perp AB$，$DF\perp AC$，
$\therefore \angle BED = \angle CFD = 90^{\circ}$，
在$Rt \triangle BED$中，
$\because \angle B = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE = 30^{\circ}$，
$\therefore BD = 2BE$（在直角三角形中，$30^{\circ}$角对应的直角边等于斜边的一半），
在$Rt \triangle CFD$中，
$\because \angle C = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle CDF = 30^{\circ}$，
$\therefore CD = 2CF$，
又$\because BC = BD + CD = 4$，
$\therefore 4= 2BE + 2CF$，
$\therefore BE + CF = 2$。