20. (8 分)如图,已知双曲线$y = \frac{k}{x}(x＞0)的图象经过点A(\frac{1}{2},4)$,直线$y = \frac{1}{2}x与双曲线交于B$点,过$A$,$B分别作y$轴、$x$轴的垂线,两线交于$P$点,垂足分别为点$C$,$D$。
(1)求双曲线的表达式；
(2)求证：$\triangle ABP\backsim\triangle BOD$。

(1) 解：∵双曲线$ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $经过点$ A(\frac{1}{2}, 4) $，
∴将$ x = \frac{1}{2} $，$ y = 4 $代入$ y = \frac{k}{x} $，得$ 4 = \frac{k}{\frac{1}{2}} $，
解得$ k = 2 $，
∴双曲线的表达式为$ y = \frac{2}{x} $。
(2) 证明：联立$ y = \frac{1}{2}x $与$ y = \frac{2}{x} $，
得$ \frac{1}{2}x = \frac{2}{x} $，解得$ x = 2 $（$ x ＞ 0 $），
将$ x = 2 $代入$ y = \frac{1}{2}x $，得$ y = 1 $，∴$ B(2, 1) $。
∵过$ A $作$ y $轴垂线，过$ B $作$ x $轴垂线交于$ P $，
$ A(\frac{1}{2}, 4) $，∴$ AP $所在直线为$ y = 4 $，
$ B(2, 1) $，∴$ BP $所在直线为$ x = 2 $，
∴$ P(2, 4) $。
∵$ AP \perp y $轴，$ BP \perp x $轴，∴$ \angle APB = 90° $。
∵$ D $为$ B $到$ x $轴的垂足，∴$ D(2, 0) $，$ BD \perp OD $，∴$ \angle BDO = 90° $。
$ AP = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $，$ BP = 4 - 1 = 3 $，
$ BD = 1 - 0 = 1 $，$ OD = 2 - 0 = 2 $，
∴$ \frac{AP}{BD} = \frac{\frac{3}{2}}{1} = \frac{3}{2} $，$ \frac{BP}{OD} = \frac{3}{2} $，
∴$ \frac{AP}{BD} = \frac{BP}{OD} $。
又∵$ \angle APB = \angle BDO = 90° $，
∴$ \triangle ABP \backsim \triangle BOD $。

21. (10 分)已知一次函数$y = kx + b的图象经过( - 4, - 2)$,$(1,8)$两点。
(1)求该一次函数的表达式；
(2)如图,该一次函数的图象与反比例函数$y = \frac{m}{x}的图象交于点A$,$B$,与$y轴交于点C$,且$AB = BC$,求$m$的值。

(1)$y=2x+6$；(2)$m=-4$

(1) 将点$(-4,-2)$、$(1,8)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-4k+b=-2 \\ k+b=8\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2 \\ b=6\end{cases}$，
$\therefore$一次函数表达式为$y=2x+6$。
(2) 令$x=0$，则$y=6$，$\therefore C(0,6)$。
联立$\begin{cases}y=2x+6 \\ y=\frac{m}{x}\end{cases}$，得$2x^2+6x-m=0$。
设$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，则$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-\frac{m}{2}$。
$\because AB=BC$，$BC=\sqrt{x_2^2+(y_2-6)^2}=\sqrt{x_2^2+(2x_2)^2}=\sqrt{5}|x_2|$，
$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{5}|x_2-x_1|$，
$\therefore |x_2-x_1|=|x_2|$，解得$x_1=2x_2$（$x_1=0$舍去）。
$\because x_1+x_2=-3$，$\therefore 2x_2+x_2=-3\Rightarrow x_2=-1$，$x_1=-2$。
$\therefore x_1x_2=(-2)×(-1)=2=-\frac{m}{2}\Rightarrow m=-4$。