19. (8分)如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12 m,宽是4 m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用$y = -\frac{1}{6}x^2 + bx + c$表示,且抛物线的点$C$到墙面$OB$的水平距离为3 m时,到地面$OA$的距离为$\frac{17}{2} \, m$.
(1) 求该抛物线的函数关系式,并计算出拱顶$D$到地面$OA$的距离.
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m,宽为4 m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?

(1) 抛物线关系式为$y=-\frac{1}{6}x²+2x+4$，拱顶距离10m；(2) 能安全通过。

(1) 由题意知，长方形长12m，宽4m，故B(0,4)，B₁(12,4)在抛物线上，点C(3, 17/2)也在抛物线上。
将B(0,4)代入$y=-\frac{1}{6}x²+bx+c$，得$c=4$。
将C(3, 17/2)代入$y=-\frac{1}{6}x²+bx+4$，得：
$\frac{17}{2}=-\frac{1}{6}×3²+3b+4$，解得$b=2$。
∴抛物线关系式为$y=-\frac{1}{6}x²+2x+4$。
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-\frac{1}{6})}=6$，
将$x=6$代入，得$y=-\frac{1}{6}×6²+2×6+4=10$。
∴拱顶D到地面OA的距离为10m。
(2) 隧道双向车道，每个车道宽6m，货车宽4m，高6m。
货车在车道内行驶，需在宽度4m范围内抛物线高度≥6m。
令$y=6$，则$-\frac{1}{6}x²+2x+4=6$，解得$x=6±2\sqrt{6}$（$\sqrt{6}≈2.45$），
即$x≈1.1$或$x≈10.9$。在车道内取$x∈[6,10]$（货车右边缘x=10），
此时$y=-\frac{1}{6}×10²+2×10+4≈7.33＞6$。
∴货车能安全通过。