24. (14 分)如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx - 4 $($ a \neq 0 $)与 $ x $ 轴交于 $ A(2, 0) $，$ B(-4, 0) $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，矩形 $ DEFG $ 的一条边 $ DE $ 在线段 $ AB $ 上，顶点 $ F $，$ G $ 分别在线段 $ BC $，$ AC $ 上。
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 若点 $ D $ 的坐标为 $ (m, 0) $，矩形 $ DEFG $ 的面积为 $ S $，求 $ S $ 与 $ m $ 的函数关系式，并指出 $ m $ 的取值范围；
(3) 当矩形 $ DEFG $ 的面积 $ S $ 取最大值时，连接 $ DF $ 并延长至点 $ M $，使 $ FM = k \cdot DF $，若点 $ M $ 在抛物线上，求 $ k $ 的值。

(1) 抛物线与x轴交于$ A(2,0) $，$ B(-4,0) $，设交点式$ y=a(x-2)(x+4) $。展开得$ y=a(x^2+2x-8)=ax^2+2ax-8a $。由常数项$-8a=-4$，解得$ a=\frac{1}{2} $，则$ b=2a=1 $。抛物线表达式为$ y=\frac{1}{2}x^2+x-4 $。
(2) 抛物线与y轴交于$ C(0,-4) $。直线$ AC $：过$ A(2,0) $，$ C(0,-4) $，斜率$ k_{AC}=2 $，方程$ y=2x-4 $。直线$ BC $：过$ B(-4,0) $，$ C(0,-4) $，斜率$ k_{BC}=-1 $，方程$ y=-x-4 $。
设$ D(m,0) $，$ G(m,h) $在$ AC $上，$ h=2m-4 $；$ F(e,h) $在$ BC $上，$ h=-e-4 $。由$ 2m-4=-e-4 $得$ e=-2m $。$ DE=m-e=3m $，高$ |h|=4-2m $。面积$ S=3m(4-2m)=-6m^2+12m $，$ m \in [0,2] $。
(3) $ S=-6m^2+12m $对称轴$ m=1 $，最大值时$ m=1 $。此时$ D(1,0) $，$ F(-2,-2) $。设$ M(x,y) $，$ \overrightarrow{FM}=k\overrightarrow{DF} $，$ \overrightarrow{DF}=(-3,-2) $，则$ M=(-2-3k,-2-2k) $。代入抛物线方程：$ -2-2k=\frac{1}{2}(-2-3k)^2+(-2-3k)-4 $。化简得$ 9k^2+10k-4=0 $，解得$ k=\frac{-5+\sqrt{61}}{9} $（舍负）。
(1) $ y=\frac{1}{2}x^2+x-4 $；(2) $ S=-6m^2+12m(0\leq m\leq2) $；(3) $ k=\frac{-5+\sqrt{61}}{9} $。