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11. 如图,在平面内将$\triangle ABC绕点A逆时针旋转至\triangle AB_1C_1$,使$CC_1// AB$,如果$\angle BAC = 70^{\circ}$,那么旋转角$\angle B_1AB= $
40
度。答案
40
解析
由旋转性质得AC=AC₁，∠B₁AB=∠C₁AC（旋转角）。
∵CC₁//AB，∠BAC=70°，
∴∠ACC₁=∠BAC=70°（两直线平行，内错角相等）。
在△ACC₁中，AC=AC₁，
∴∠AC₁C=∠ACC₁=70°（等边对等角）。
∴∠C₁AC=180°-∠ACC₁-∠AC₁C=180°-70°-70°=40°。
即∠B₁AB=40°。
∵CC₁//AB，∠BAC=70°，
∴∠ACC₁=∠BAC=70°（两直线平行，内错角相等）。
在△ACC₁中，AC=AC₁，
∴∠AC₁C=∠ACC₁=70°（等边对等角）。
∴∠C₁AC=180°-∠ACC₁-∠AC₁C=180°-70°-70°=40°。
即∠B₁AB=40°。
12. 如图,将$\triangle ABC绕点A$顺时针旋转,得到$\triangle AED$,点$D正好落在BC$边上。已知$\angle C = 80^{\circ}$,则$\angle EAB= $
20
°。答案
20
解析
由旋转性质得：△ABC≌△AED，∴AC=AD，∠BAC=∠EAD。
∵AC=AD，∴△ADC为等腰三角形，∠C=80°，∴∠ADC=∠C=80°。
在△ADC中，∠CAD=180°-∠C-∠ADC=180°-80°-80°=20°。
∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD，即∠CAD=∠EAB。
∴∠EAB=∠CAD=20°。
∵AC=AD，∴△ADC为等腰三角形，∠C=80°，∴∠ADC=∠C=80°。
在△ADC中，∠CAD=180°-∠C-∠ADC=180°-80°-80°=20°。
∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD，即∠CAD=∠EAB。
∴∠EAB=∠CAD=20°。
13. 如图,在正方形网格中,格点$\triangle ABC绕某点顺时针旋转角\alpha(0\lt\alpha\lt180^{\circ})得到格点\triangle A_1B_1C_1$,点$A与点A_1$,点$B与点B_1$,点$C与点C_1$是对应点,则$\alpha=$
90°
。答案
90°
解析
连接对应点AA₁、BB₁，分别作AA₁、BB₁的垂直平分线，交点O为旋转中心。连接OA、OA₁，由网格特点知OA=OA₁，且OA⊥OA₁，故旋转角α=90°。
14. 等边三角形绕着它的中心至少旋转
120
度后能与自身重合。答案
$120$
解析
等边三角形是具有3条对称轴的图形，其旋转对称性的最小旋转角度可以通过计算$360°$除以对称操作的次数（即边数）得到。
对于等边三角形，边数$n=3$，
因此，最小旋转角度为：
$\frac{360°}{3} = 120°$
所以等边三角形绕着它的中心至少旋转$120$度后能与自身重合。
对于等边三角形，边数$n=3$，
因此，最小旋转角度为：
$\frac{360°}{3} = 120°$
所以等边三角形绕着它的中心至少旋转$120$度后能与自身重合。
15. 如图,在平面直角坐标系中,点$A的坐标为(0,3)$,$\triangle OAB沿x轴向右平移后得到\triangle O'A'B'$,且点$A的对应点A'在直线y= \frac{3}{2}x$上一点,则点$B与其对应点B'$间的距离是
2
。答案
2
解析
设平移距离为$a$，点$A(0,3)$平移后$A'(a,3)$。
因为$A'$在$y=\frac{3}{2}x$上，所以$3=\frac{3}{2}a$，解得$a=2$。
平移中对应点距离等于平移距离，故$BB'=2$。
因为$A'$在$y=\frac{3}{2}x$上，所以$3=\frac{3}{2}a$，解得$a=2$。
平移中对应点距离等于平移距离，故$BB'=2$。
16. 如图,在平面直角坐标系中,动点$P从原点O$出发,水平向左平移$1$个单位长度,再竖直向下平移$1个单位长度得点P_1(-1,-1)$；接着水平向右平移$2$个单位长度,再竖直向上平移$2个单位长度得到点P_2$；接着水平向左平移$3$个单位长度,再竖直向下平移$3个单位长度得到点P_3$；接着水平向右平移$4$个单位长度,再竖直向上平移$4个单位长度得到点P_4$；……按此作法进行下去,则点$P_{2022}$的坐标为
(1011,1011)
。答案
(1011,1011)
解析
观察点的平移规律：从原点O出发，每次平移方向和距离交替变化。
当n为偶数时，$P_n$坐标为$(\frac{n}{2}, \frac{n}{2})$；
当n为奇数时，$P_n$坐标为$(-\frac{n+1}{2}, -\frac{n+1}{2})$。
因为2022是偶数，所以$P_{2022}$的坐标为$(\frac{2022}{2}, \frac{2022}{2})=(1011, 1011)$。
当n为偶数时，$P_n$坐标为$(\frac{n}{2}, \frac{n}{2})$；
当n为奇数时，$P_n$坐标为$(-\frac{n+1}{2}, -\frac{n+1}{2})$。
因为2022是偶数，所以$P_{2022}$的坐标为$(\frac{2022}{2}, \frac{2022}{2})=(1011, 1011)$。
