20. (7分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y = kx + b$的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,且$A(-8,0),∠BAO = 45^{\circ}$,同时交反比例函数$y = \frac{m}{x}$在第一象限的图象于点$C(2,a)$,反比例函数图象上的点P的纵坐标$n(0 ＜ n ＜ 10),PQ// x$轴交直线AB于点Q,D是x轴上任意一点,连接PD,QD.
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式;
(2) 求$\triangle PDQ$面积的最大值.

(1)一次函数$y=x+8$，反比例函数$y=\frac{20}{x}$；(2)$18$。

(1) ∵一次函数$y=kx+b$与x轴交于$A(-8,0)$，与y轴交于$B$，$\angle BAO=45°$，
在$Rt\triangle ABO$中，$\angle BAO=45°$，$\therefore OA=OB$，
$OA=8$，$\therefore OB=8$，则$B(0,8)$，
将$A(-8,0)$，$B(0,8)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}-8k+b=0\\b=8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=8\end{cases}$，
$\therefore$一次函数表达式为$y=x+8$。
$\because$点$C(2,a)$在直线$AB$上，$\therefore a=2+8=10$，即$C(2,10)$，
又$C$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$上，$\therefore 10=\frac{m}{2}$，$m=20$，
$\therefore$反比例函数表达式为$y=\frac{20}{x}$。
(2) 设$P\left(\frac{20}{n},n\right)(0＜n＜10)$，$\because PQ// x$轴，$\therefore Q$纵坐标为$n$，
又$Q$在直线$AB$上，由$n=x+8$得$x=n-8$，$\therefore Q(n-8,n)$，
$PQ=\left|\frac{20}{n}-(n-8)\right|=\left|\frac{20}{n}-n+8\right|$，
$\triangle PDQ$的高为$n$（$PQ$到$x$轴距离），
$\therefore S_{\triangle PDQ}=\frac{1}{2}×\left|\frac{20}{n}-n+8\right|× n=\frac{1}{2}\left|-n^2+8n+20\right|$，
$\because 0＜n＜10$，$-n^2+8n+20＞0$，$\therefore S=\frac{1}{2}(-n^2+8n+20)=-\frac{1}{2}(n-4)^2+18$，
当$n=4$时，$S$最大值为$18$。