【例题】用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}-4\sqrt {3}x+10= 0;$
(2)$\sqrt {3}x= \sqrt {2}(x+1)(x-1).$
【思路点拨】用求根公式法解一元二次方程的关键是将方程整理成一般形式,找出a,b,c的值,再代入求根公式.
【解答】

(1) $x = 2\sqrt{3} \pm \sqrt{2}$；
(2) $x = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{22}}{4}$。

(1) 方程 $x^2 - 4\sqrt{3}x + 10 = 0$ 的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a = 1$，$b = -4\sqrt{3}$，$c = 10$。
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 48 - 40 = 8$。
代入求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4\sqrt{3} \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{3} \pm \sqrt{2}$
故解为 $x = 2\sqrt{3} + \sqrt{2}$ 或 $x = 2\sqrt{3} - \sqrt{2}$。
(2) 将方程 $\sqrt{3}x = \sqrt{2}(x+1)(x-1)$ 整理为一般形式：
右边展开得 $\sqrt{2}(x^2 - 1)$，移项后为：
$\sqrt{2}x^2 - \sqrt{3}x - \sqrt{2} = 0$
其中 $a = \sqrt{2}$，$b = -\sqrt{3}$，$c = -\sqrt{2}$。
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = 3 + 8 = 11$。
代入求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{11}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{22}}{4}$
故解为 $x = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{22}}{4}$ 或 $x = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{22}}{4}$。

1. 用公式法解方程$4x^{2}-12x= 3$,得到()
A.$x= \frac {-3\pm \sqrt {6}}{2}$
B.$x= \frac {3\pm \sqrt {6}}{2}$
C.$x= \frac {-3\pm 2\sqrt {3}}{2}$
D.$x= \frac {3\pm 2\sqrt {3}}{2}$

1. 首先将原方程 $4x^2 - 12x = 3$ 化为标准形式：
$4x^2 - 12x - 3 = 0$
其中，$a = 4, b = -12, c = -3$。
2. 计算判别式 $\Delta$：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 × 4 × (-3) = 144 + 48 = 192$
3. 使用求根公式求解 $x$：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{192}}{8} = \frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{8} = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
故答案为：D. $x = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

2. 若$2x+1与x-2$互为倒数,则实数x等于()
A.$\frac {3\pm \sqrt {33}}{2}$
B.$\frac {3-\sqrt {33}}{2}$
C.$\frac {3+\sqrt {33}}{2}$
D.$\frac {3\pm \sqrt {33}}{4}$

由题意，有：
$(2x + 1)(x - 2) = 1$，
展开得：
$2x^2 - 4x + x - 2 = 1$，
整理得：
$2x^2 - 3x - 3 = 0$，
使用公式法，对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其解为：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，
在此题中，$a = 2, b = -3, c = -3$，
代入公式得：
$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 × 2 × (-3)}}{2 × 2}$
$= \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{4}$
$= \frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}$
故答案为：D. $\frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}$。

3. 用公式法解方程$\sqrt {2}x^{2}+4\sqrt {3}x= 2\sqrt {2}$,其中求得Δ的值是()
A.16
B.±4
C.8
D.64

D

首先，将方程 $\sqrt{2}x^2 + 4\sqrt{3}x = 2\sqrt{2}$ 化为标准形式 $ax^2 + bx + c = 0$。
移项得：$\sqrt{2}x^2 + 4\sqrt{3}x - 2\sqrt{2} = 0$，
其中，$a = \sqrt{2}$，$b = 4\sqrt{3}$，$c = -2\sqrt{2}$。
根据判别式的定义，有 $\Delta = b^2 - 4ac$。
代入 $a$，$b$，$c$ 的值，计算得：
$\Delta = (4\sqrt{3})^2 - 4 × \sqrt{2} × (-2\sqrt{2})$
$= 48 + 16$
$= 64 - 0$
$= 64 - (4 × \sqrt{2} × -2\sqrt{2} 中负负得正抵消的0)$
$= 64$（注意，这里$b^2$计算得出48，$4ac$计算得出16，两者相减即得$\Delta$）

4. 当$x= $时,代数式$x^{2}-8x+12$的值是-4.

4

根据题意可列出方程$x^{2}-8x+12 = - 4$。
移项可得$x^{2}-8x + 12 + 4 = 0$，即$x^{2}-8x + 16 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b = - 8$，$c = 16$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×1×16=64 - 64 = 0$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得$x=\frac{8\pm\sqrt{0}}{2×1}=\frac{8}{2}=4$。

5. 若$2(x+y)^{2}-3(x+y)-2= 0$,则$x+y$=.

设 $x+y = z$，则原方程可化为：
$2z^{2} - 3z - 2 = 0$
利用求根公式，对于一元二次方程 $az^{2} + bz + c = 0$，其解为：
$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
在此方程中，$a = 2$，$b = -3$，$c = -2$。
代入求根公式，得到：
$z = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^{2}-4 × 2 × (-2)}}{2 × 2}$
$z = \frac{3 \pm \sqrt{9+16}}{4}$
$z = \frac{3 \pm 5}{4}$
解得：
$z_{1} = 2$
$z_{2} = -\frac{1}{2}$
将 $z$ 的值代回 $x+y = z$，得到：
$x+y = 2$ 或 $x+y = -\frac{1}{2}$
故答案为 $x+y = 2$ 或 $x+y = -\frac{1}{2}$。

6. 若一个等腰三角形的三边长均满足方程$x^{2}-6x+8= 0$,则此三角形的周长为.

由于本题为填空题，且涉及多个可能答案，故在此说明答案应为三角形的可能周长，即$6$或$12$或$10$，选择对应选项即可（若以选择题形式出现）。若单独问此题，则填写所有可能的周长值。

首先解方程$x^{2} - 6x + 8 = 0$。
该方程可以因式分解为$(x - 2)(x - 4) = 0$，
解得$x_{1} = 2$，$x_{2} = 4$。
接下来考虑等腰三角形的可能边长组合：
当三角形的三边长都是$2$时，周长为$2 + 2 + 2 = 6$；
当三角形的三边长都是$4$时，周长为$4 + 4 + 4 = 12$；
当三角形的两边长为$4$，另一边长为$2$时（考虑等腰三角形的性质，两边长度相等），需要检验是否满足三角形的三边关系。
根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，这里$4 + 4 ＞ 2$，$4 + 2 ＞ 4$，$2 + 4 ＞ 4$，满足条件。
因此，周长为$4 + 4 + 2 = 10$。
当三角形的两边长为$2$，另一边长为$4$时，由于$2 + 2 = 4$，不满足三角形的三边关系（任意两边之和应大于第三边），所以这种情况应舍去。
综上，此等腰三角形的周长可能为$6$，$12$或$10$。