【例题】不解方程,判断下列方程的根的情况：
(1)$2x^{2}+3x-4= 0;$
(2)$16y^{2}+9= 24y.$

(1) 对于方程 $2x^{2} + 3x - 4 = 0$：
首先，确定系数 $a = 2, b = 3, c = -4$。
接着，计算判别式 $\Delta$：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4 × 2 × (-4) = 9 + 32 = 41$
由于 $\Delta ＞ 0$，根据根的判别式，方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程 $16y^{2} + 9 = 24y$：
首先，将方程化为标准形式 $16y^{2} - 24y + 9 = 0$。
接着，确定系数 $a = 16, b = -24, c = 9$。
然后，计算判别式 $\Delta$：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-24)^{2} - 4 × 16 × 9 = 576 - 576 = 0$
由于 $\Delta = 0$，根据根的判别式，方程有两个相等的实数根。

1. 下列方程,有实数根的是 ()
A.$2x^{2}+x+1= 0$
B.$x^{2}+3x+21= 0$
C.$x^{2}-0.1x-1= 0$
D.$x^{2}-2\sqrt{2}x+3= 0$

C

对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$，其判别式为 $\Delta=b^{2}-4ac$。当 $\Delta＞0$ 时，方程有两个不相等的实数根；当 $\Delta=0$ 时，方程有两个相等的实数根；当 $\Delta＜0$ 时，方程没有实数根。
选项A：对于方程 $2x^{2}+x+1=0$，其中 $a = 2$，$b = 1$，$c = 1$，则 $\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4×2×1=1 - 8=-7＜0$，所以该方程没有实数根。
选项B：对于方程 $x^{2}+3x + 21 = 0$，其中 $a = 1$，$b = 3$，$c = 21$，则 $\Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4×1×21=9 - 84=-75＜0$，所以该方程没有实数根。
选项C：对于方程 $x^{2}-0.1x - 1 = 0$，其中 $a = 1$，$b=-0.1$，$c = -1$，则 $\Delta=b^{2}-4ac=(-0.1)^{2}-4×1×(-1)=0.01 + 4=4.01＞0$，所以该方程有实数根。
选项D：对于方程 $x^{2}-2\sqrt{2}x + 3 = 0$，其中 $a = 1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c = 3$，则 $\Delta=b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4×1×3=8 - 12=-4＜0$，所以该方程没有实数根。

2. 关于x的方程$mx^{2}+2x+1= 0$无实数根,则m的取值范围为 ()
A.$m≠0$
B.$m＞1$
C.$m＜1且m≠0$
D.$m＞-1$

B

要使方程$mx^{2}+2x + 1=0$无实数根，需分情况讨论：
情况一：当$m = 0$时
方程化为$2x+1=0$，这是一元一次方程，解得$x=-\frac{1}{2}$，有实数根，不符合题意，故$m\neq0$。
情况二：当$m\neq0$时
方程为一元二次方程，其根的判别式为$\Delta=b^{2}-4ac$，其中$a = m$，$b = 2$，$c=1$。
计算得$\Delta=2^{2}-4× m×1=4 - 4m$。
因为方程无实数根，所以$\Delta＜0$，即：
$4-4m＜0$
解得$m＞1$。
综上，$m$的取值范围为$m＞1$。

3. 下列方程有两个不相等实数根的是 ()
A.$x^{2}= 3x-8$
B.$x^{2}+5x= -10$
C.$7x^{2}-14x+7= 0$
D.$x^{2}-7x= -5x+3$

D

A. 对于方程 $x^{2}=3x-8$，移项得 $x^{2}-3x+8=0$。
其判别式为：
$\Delta = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4×1×8 = 9-32 = -23$
因为 $\Delta ＜ 0$，所以方程无实数根。
B. 对于方程 $x^{2}+5x=-10$，移项得 $x^{2}+5x+10=0$。
其判别式为：
$\Delta = b^{2}-4ac = 5^{2}-4×1×10 = 25-40 = -15$
因为 $\Delta ＜ 0$，所以方程无实数根。
C. 对于方程 $7x^{2}-14x+7=0$，其判别式为：
$\Delta = b^{2}-4ac = (-14)^{2}-4×7×7 = 196-196 = 0$
因为 $\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根。
D. 对于方程 $x^{2}-7x=-5x+3$，移项得 $x^{2}-2x-3=0$。
其判别式为：
$\Delta = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4×1×(-3) = 4+12 = 16$
因为 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。

4. 关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+m= 0$有两个实数根,则m的取值范围是.

m的取值范围是$m\leqslant1$，本题无选项内容，若为填空题答案填$m\leqslant1$。

对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$，其判别式为$\Delta=b^{2}-4ac$。
当$\Delta＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta= 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜ 0$时，方程没有实数根。
已知方程$x^{2}-2x + m = 0$有两个实数根，则$\Delta\geqslant0$。
在方程$x^{2}-2x + m = 0$中，$a = 1$，$b = -2$，$c = m$，所以$\Delta=(-2)^{2}-4×1× m\geqslant0$，
即$4 - 4m\geqslant0$，
移项可得$4\geqslant4m$，
两边同时除以$4$，解得$m\leqslant1$。

5. 已知关于x的方程$\frac{1}{4}x^{2}-(m-3)x+m^{2}= 0$有两个不相等的实数根,那么m的最大整数值是.

答题卡：
解：
1. 根据题意，方程$\frac{1}{4}x^{2}-(m-3)x+m^{2}= 0$有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta$必须大于0。
2. 计算判别式$\Delta$：
$\Delta = (m-3)^{2} - 4 × \frac{1}{4} × m^{2} = m^{2} - 6m + 9 - m^{2} = -6m + 9$
3. 根据$\Delta ＞ 0$，解不等式：
$-6m + 9 ＞ 0 \Rightarrow m ＜ \frac{3}{2}$
4. 由于$m$需要是整数，所以$m$的最大整数值是$1$。
故答案为：$1$。

6. 不解方程判断下列方程根的情况：
(1)$x^{2}+10x+26= 0;$
(2)$x^{2}-x-\frac{3}{4}= 0;$
(3)$x^{2}-\sqrt{3}x-\frac{1}{4}= 0;$
(4)$4x^{2}-x+\frac{1}{16}= 0.$

(1) 对于方程 $x^{2} + 10x + 26 = 0$，
$a = 1, b = 10, c = 26$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = 10^{2} - 4 × 1 × 26 = 100 - 104 = -4 \lt 0$，
所以方程没有实数根。
(2) 对于方程 $x^{2} - x - \frac{3}{4} = 0$，
$a = 1, b = -1, c = -\frac{3}{4}$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 × 1 × (-\frac{3}{4}) = 1 + 3 = 4 \gt 0$，
所以方程有两个不相等的实数根。
(3) 对于方程 $x^{2} - \sqrt{3}x - \frac{1}{4} = 0$，
$a = 1, b = -\sqrt{3}, c = -\frac{1}{4}$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-\sqrt{3})^{2} - 4 × 1 × (-\frac{1}{4}) = 3 + 1 = 4 \gt 0$，
所以方程有两个不相等的实数根。
(4) 对于方程 $4x^{2} - x + \frac{1}{16} = 0$，
$a = 4, b = -1, c = \frac{1}{16}$，
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 × 4 × \frac{1}{16} = 1 - 1 = 0$，
所以方程有两个相等的实数根。