【例题】如图,在平面直角坐标系中,若点A,B的坐标分别为(-3,2),(-4,0),试判断△ABC与△OB'C'的关系.
【思路点拨】由点的坐标、网格可求这两个三角形的各边的长,再由"大比大、中比中、小比小"的方法可判断它们比值是否相等,从而判定这两个三角形是否相似.
【解答】

【学法点睛】"三边对应成比例,两三角形相似"与全等三角形的"边边边"定理类似,当相似比k= 1时为"SSS"定理,相似三角形的判定定理3可表示为:
∵$\frac{AB}{A'B'}= \frac{AC}{A'C'}= \frac{BC}{B'C'}$,
∴△ABC∽△A'B'C'.

∵点A(-3,2)，B(-4,0)，C(-1,0)，O(0,0)，B'(1,-2)，C'(3,0)
∴AB=√[(-3+4)²+(2-0)²]=√5，BC=|-1-(-4)|=3，AC=√[(-3+1)²+(2-0)²]=2√2
OB'=√[(1-0)²+(-2-0)²]=√5，OC'=|3-0|=3，B'C'=√[(3-1)²+(0+2)²]=2√2
∵AB/OB'=√5/√5=1，BC/OC'=3/3=1，AC/B'C'=2√2/2√2=1
∴AB/OB'=BC/OC'=AC/B'C'
∴△ABC∽△OB'C'（三边对应成比例，两三角形相似）

1. 如图,在△ABC中,AB= AC,∠A= 36°,BD平分∠ABC,DE//BC,那么图中相似三角形有 ()

A.4对
B.3对
C.2对
D.1对

A

在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle A=36^\circ$，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=\angle C=\frac{180^{\circ}-36^{\circ}}{2}=72^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 36^{\circ}$。
由于$\angle A=\angle ABD = 36^{\circ}$，且$\angle A$是$\triangle ABD$与$\triangle ABD$的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABD\sim\triangle ABC$。
因为$DE// BC$，所以$\angle AED=\angle ABC$，$\angle ADE=\angle C$（两直线平行，同位角相等），又$\angle A$是公共角，所以$\triangle AED\sim\triangle ABC$。
由$\triangle ABD\sim\triangle ABC$，$\triangle AED\sim\triangle ABC$，可得$\triangle AED\sim\triangle ABD$。
因为$DE// BC$，所以$\angle EDB=\angle DBC$（两直线平行，内错角相等），又$\angle ABD=\angle DBC$，所以$\angle EDB=\angle ABD$，且$\angle EBD=\angle DBC$（公共角），所以$\triangle BDE\sim\triangle BCD$。
综上，图中相似三角形有$\triangle ABD\sim\triangle ABC$，$\triangle AED\sim\triangle ABC$，$\triangle AED\sim\triangle ABD$，$\triangle BDE\sim\triangle BCD$，共$4$对。

2. 已知△ABC的三边分别为6 cm,7.5 cm,9 cm,△DEF的一边长为4 cm,当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似 ()
A.2 cm,3 cm
B.4 cm,5 cm
C.5 cm,6 cm
D.6 cm,7 cm

C

设△DEF的另两边长分别为$x$ cm和$y$ cm。
根据相似三角形的性质，两个三角形相似，那么它们的对应边之间的比例应该相等。
我们分别考虑△DEF的4 cm边与△ABC的各个边相对应的情况。
若△DEF的4 cm边与△ABC的6 cm边相对应，则有：
$\frac{4}{6} = \frac{x}{7.5} = \frac{y}{9}$，
解得：$x = 5$，$y = 6$。
若△DEF的4 cm边与△ABC的7.5 cm边相对应，则有：
$\frac{4}{7.5} = \frac{x}{6} = \frac{y}{9}$，
这个比例解出的$x$和$y$并不是整数或题目给出的选项，所以这种情况可以排除。
若△DEF的4 cm边与△ABC的9 cm边相对应，则有：
$\frac{4}{9} = \frac{x}{6} = \frac{y}{7.5}$，
这个比例解出的$x$和$y$也并不是整数或题目给出的选项，所以这种情况也可以排除。
综合以上情况，只有当△DEF的4 cm边与△ABC的6 cm边相对应时，解出的$x$和$y$是题目给出的选项，即$x = 5$ cm，$y = 6$ cm。

3. 如图,当x= 时$,△ABC∽△A_1B_1C_1.$

36

根据相似三角形的性质，对应边成比例。
设$\triangle ABC$和$\triangle A_1B_1C_1$相似，则有：
$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$。
已知$AB=15$，$A_1B_1=27$，$BC=25$，$B_1C_1=45$，$AC=20$，$A_1C_1=x$。
先计算$\frac{AB}{A_1B_1}$和$\frac{BC}{B_1C_1}$的比值：
$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{15}{27}=\frac{5}{9}$，
$\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{25}{45}=\frac{5}{9}$。
因为$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}$，所以$\frac{AC}{A_1C_1}$也等于$\frac{5}{9}$。
即：$\frac{20}{x}=\frac{5}{9}$。
解这个比例方程：
$20×9=5× x$，
$180=5x$，
$x=36$。

4. 如图,在△ABC中,P是AC上一点,连接BP,当$\frac{AP}{AB}= \frac{BP}{BC}$=时,△ABP∽△ACB.

要使△ABP∽△ACB，已知∠A为公共角，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”（SAS），需夹∠A的两边成比例，即$\frac{AP}{AB}=\frac{AB}{AC}$。设$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{BC}=k$，则$AP = k\cdot AB$，$AB = k\cdot AC$，可得$AC=\frac{AB}{k}$。由相似三角形对应边成比例，$\frac{AB}{AC}=k$，即$AB = k\cdot AC$，代入$AC=\frac{AB}{k}$得$AB = k\cdot\frac{AB}{k}$，恒成立。此比例为黄金分割比，解得$k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

5. 已知一个三角形的三边长分别为6 cm、9 cm、7.5 cm,另一个三角形的三边长分别为12 cm、15 cm、时,这两个三角形相似.

18

设另一个三角形的第三边长为$x$cm。
第一个三角形三边按从小到大排列为：6cm、7.5cm、9cm。
情况1：第二个三角形三边从小到大排列为12cm、15cm、$x$cm（$x＞15$）
此时对应比例为$\frac{6}{12}=\frac{7.5}{15}=\frac{9}{x}$。
$\frac{6}{12}=0.5$，$\frac{7.5}{15}=0.5$，则$\frac{9}{x}=0.5$，解得$x=18$。
情况2：第二个三角形三边从小到大排列为12cm、$x$cm、15cm（$12＜x＜15$）
若$\frac{6}{12}=\frac{7.5}{x}=\frac{9}{15}$，$\frac{6}{12}=0.5$，$\frac{9}{15}=0.6$，比例不相等；
若$\frac{6}{x}=\frac{7.5}{12}=\frac{9}{15}$，$\frac{7.5}{12}=0.625$，$\frac{9}{15}=0.6$，比例不相等，无解。
情况3：第二个三角形三边从小到大排列为$x$cm、12cm、15cm（$x＜12$）
对应比例均不成立，无解。
综上，$x=18$。