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7. 新角度 用1套积木可拼8个正方体模型或24个长方体模型，2个正方体模型与6个长方体模型组成一个组合造型。现用42套积木拼搭，列出方程$2×24x=6×8(42-x)$，则x代表的实际意义是
拼长方体模型的积木套数
。答案
7.拼长方体模型的积木套数
解析
【分析】
这是一元一次方程配套问题的逆推类题目，解题思路如下：首先明确配套问题的核心等量关系：本题中2个正方体和6个长方体组成一个组合，说明所有成品中，长方体总个数÷6 = 正方体总个数÷2，交叉相乘可得：长方体总个数×2 = 正方体总个数×6。接下来对应方程的各项分析含义：方程左边的24是1套积木可拼的长方体数量，因此24x是x套积木做出的长方体总个数；方程右边的8是1套积木可拼的正方体数量，42是总积木套数，因此42-x是拼正方体用的积木套数，8(42-x)是做出的正方体总个数。将两个含义代入等量关系刚好匹配给出的方程，就能推出x的实际意义。
【解析】
首先推导配套的等量关系：
因为1个组合造型需要2个正方体、6个长方体，要让拼出的模型刚好配套，需满足：
$\frac{\mathrm{长方体总个数}}{6} = \frac{\mathrm{正方体总个数}}{2}$，交叉相乘得：$2×\mathrm{长方体总个数}=6×\mathrm{正方体总个数}$
接下来分析方程中各项的意义：
已知1套积木可拼24个长方体，因此$24x$表示x套积木拼出的长方体总个数；
1套积木可拼8个正方体，总积木共42套，因此$(42-x)$是拼正方体所用的积木套数，$8(42-x)$表示$(42-x)$套积木拼出的正方体总个数。
代入等量关系刚好得到题目给出的方程$2×24x=6×8(42-x)$，因此x代表拼长方体模型的积木套数。
【答案】
拼长方体模型的积木套数
【知识点】
一元一次方程的实际应用；配套问题
【点评】
本题考查配套问题中未知数意义的推导，解题核心是先找准配套对应的等量关系，再结合已知条件对应方程中各项的含义，即可反推出未知数的实际意义，熟练掌握配套问题的等量关系推导是解题的关键。
【难度系数】
0.7
这是一元一次方程配套问题的逆推类题目，解题思路如下：首先明确配套问题的核心等量关系：本题中2个正方体和6个长方体组成一个组合，说明所有成品中，长方体总个数÷6 = 正方体总个数÷2，交叉相乘可得：长方体总个数×2 = 正方体总个数×6。接下来对应方程的各项分析含义：方程左边的24是1套积木可拼的长方体数量，因此24x是x套积木做出的长方体总个数；方程右边的8是1套积木可拼的正方体数量，42是总积木套数，因此42-x是拼正方体用的积木套数，8(42-x)是做出的正方体总个数。将两个含义代入等量关系刚好匹配给出的方程，就能推出x的实际意义。
【解析】
首先推导配套的等量关系：
因为1个组合造型需要2个正方体、6个长方体，要让拼出的模型刚好配套，需满足：
$\frac{\mathrm{长方体总个数}}{6} = \frac{\mathrm{正方体总个数}}{2}$，交叉相乘得：$2×\mathrm{长方体总个数}=6×\mathrm{正方体总个数}$
接下来分析方程中各项的意义：
已知1套积木可拼24个长方体，因此$24x$表示x套积木拼出的长方体总个数；
1套积木可拼8个正方体，总积木共42套，因此$(42-x)$是拼正方体所用的积木套数，$8(42-x)$表示$(42-x)$套积木拼出的正方体总个数。
代入等量关系刚好得到题目给出的方程$2×24x=6×8(42-x)$，因此x代表拼长方体模型的积木套数。
【答案】
拼长方体模型的积木套数
【知识点】
一元一次方程的实际应用；配套问题
【点评】
本题考查配套问题中未知数意义的推导，解题核心是先找准配套对应的等量关系，再结合已知条件对应方程中各项的含义，即可反推出未知数的实际意义，熟练掌握配套问题的等量关系推导是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8.甲、乙两个工程队完成一项工程，每天完成的工作量始终保持不变.甲队先干了3天，然后乙队加入，合作完成剩下的工程，设工作总量为1.下面是未记录完整的工程进度表.根据表中的数据，可知m的值为
$\frac{1}{4}$
，n的值为9
.答案
8.$\frac{1}{4}$;9
解析
【分析】
本题属于工程问题，核心用到“工作量=工作效率×工作时间”的关系。解题思路如下：第一步，先根据甲队单独工作3天的条件，结合甲队的工作效率求出m的值；第二步，计算甲乙两队合作的工作效率，再用剩余工作量除以合作效率得到后续需要的工作时间，最终求出总天数n。解题时要注意区分单独工作和合作工作两个阶段的效率、时间与工作量的对应关系。
【解析】
解：根据工程问题基本公式$\mathrm{工作量}=\mathrm{工作效率}×\mathrm{工作时间}$计算：
1. 求$m$的值：
已知甲队每天的工作效率为$\frac{1}{12}$，甲队先单独工作3天，因此3天完成的工作量为：
$m=3×\frac{1}{12}=\frac{1}{4}$
2. 求$n$的值：
第3天结束后乙队加入，到第5天结束时总工作量为$\frac{1}{2}$，这2天甲乙合作完成的工作量为：
$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
因此甲乙两队合作的工作效率为：
$\frac{1}{4}÷2=\frac{1}{8}$
第5天结束后剩余工作量为$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，完成剩余工作量需要的时间为：
$\frac{1}{2}÷\frac{1}{8}=4$（天）
则完成全部工程的总天数$n=5+4=9$。
【答案】
$\frac{1}{4}$；$9$
【知识点】
工程问题，工作效率计算，工作量计算
【点评】
本题是工程问题的常规应用，解题关键是梳理清楚不同工作阶段的主体、时长和对应完成的工作量，结合基本公式逐步推导即可，难度不大，注意合作工作效率为各参与方效率之和。
【难度系数】
0.7
本题属于工程问题，核心用到“工作量=工作效率×工作时间”的关系。解题思路如下：第一步，先根据甲队单独工作3天的条件，结合甲队的工作效率求出m的值；第二步，计算甲乙两队合作的工作效率，再用剩余工作量除以合作效率得到后续需要的工作时间，最终求出总天数n。解题时要注意区分单独工作和合作工作两个阶段的效率、时间与工作量的对应关系。
【解析】
解：根据工程问题基本公式$\mathrm{工作量}=\mathrm{工作效率}×\mathrm{工作时间}$计算：
1. 求$m$的值：
已知甲队每天的工作效率为$\frac{1}{12}$，甲队先单独工作3天，因此3天完成的工作量为：
$m=3×\frac{1}{12}=\frac{1}{4}$
2. 求$n$的值：
第3天结束后乙队加入，到第5天结束时总工作量为$\frac{1}{2}$，这2天甲乙合作完成的工作量为：
$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
因此甲乙两队合作的工作效率为：
$\frac{1}{4}÷2=\frac{1}{8}$
第5天结束后剩余工作量为$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，完成剩余工作量需要的时间为：
$\frac{1}{2}÷\frac{1}{8}=4$（天）
则完成全部工程的总天数$n=5+4=9$。
【答案】
$\frac{1}{4}$；$9$
【知识点】
工程问题，工作效率计算，工作量计算
【点评】
本题是工程问题的常规应用，解题关键是梳理清楚不同工作阶段的主体、时长和对应完成的工作量，结合基本公式逐步推导即可，难度不大，注意合作工作效率为各参与方效率之和。
【难度系数】
0.7
9.用长方形硬纸板做如图所示的长方体盒子，底面为正方形.
(1)每个长方体盒子有
(2)长方形硬纸板有两种裁剪方法(如图).A方法:剪3个侧面;B方法:剪2个侧面和2个底面.现有35张硬纸板,裁剪时,x张用A方法,其余用B方法.
①用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,能做多少个盒子？
(1)每个长方体盒子有
4
个侧面，有2
个底面.(2)长方形硬纸板有两种裁剪方法(如图).A方法:剪3个侧面;B方法:剪2个侧面和2个底面.现有35张硬纸板,裁剪时,x张用A方法,其余用B方法.
①用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,能做多少个盒子？
答案
9.解：(1)4;2
(2)①A方法裁剪出3x个侧面，B方法裁剪出2(35−x)个侧面和2(35−x)个底面.
3x+2(35−x)=x+70,2(35−x)=70−2x，
所以裁剪出的侧面为(x+70)个，底面为(70−2x)个.
②根据题意得$\frac{x+70}{4}=\frac{70−2x}{2}$，解得x=14.
$\frac{14+70}{4}=21$(个).
答：能做21个盒子.
(2)①A方法裁剪出3x个侧面，B方法裁剪出2(35−x)个侧面和2(35−x)个底面.
3x+2(35−x)=x+70,2(35−x)=70−2x，
所以裁剪出的侧面为(x+70)个，底面为(70−2x)个.
②根据题意得$\frac{x+70}{4}=\frac{70−2x}{2}$，解得x=14.
$\frac{14+70}{4}=21$(个).
答：能做21个盒子.
解析
【分析】
第(1)问结合长方体的结构特征分析：底面为正方形的长方体，四周有4个长方形侧面，上下各1个正方形底面，共2个底面。第(2)问①先明确裁剪方案：x张用A方法，剩余(35-x)张用B方法，分别计算两种方法裁剪出的侧面、底面数量，再求和即可得到总数量。第(2)问②的核心是配套关系：每个盒子需要4个侧面、2个底面，当侧面和底面恰好用完时，侧面总个数÷4=底面总个数÷2=盒子总个数，据此列方程求解即可。
【解析】
(1) 根据长方体的结构特征，底面为正方形的长方体有4个侧面，2个底面。
(2) ① 已知x张硬纸板用A方法，每张A方法可剪3个侧面，因此A方法共裁剪出3x个侧面；剩余(35-x)张用B方法，每张B方法可剪2个侧面和2个底面，因此B方法裁剪出侧面2(35-x)个，裁剪出底面2(35-x)个。
侧面总个数：$3x+2(35-x)=x+70$（个）
底面总个数：$2(35-x)=70-2x$（个）
即裁剪出的侧面为$(x+70)$个，底面为$(70-2x)$个。
② 每个盒子需要4个侧面、2个底面，裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，因此盒子的数量相等，列方程得：
$\frac{x+70}{4}=\frac{70-2x}{2}$
去分母得：$x+70=2(70-2x)$
展开得：$x+70=140-4x$
移项合并同类项得：$5x=70$
解得：$x=14$
则盒子的数量为$\frac{14+70}{4}=21$（个）
答：能做21个盒子。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；$\boxed{2}$
(2) ① 侧面$\boxed{(x+70)}$个，底面$\boxed{(70-2x)}$个；② $\boxed{21}$个
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；配套问题
【点评】
本题是典型的配套类应用题，解题关键是理清两种裁剪方式的产出数量，以及侧面和底面的配套比例关系，根据“盒子总数相等”建立等量关系列方程求解即可，考查了学生的数量分析能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问结合长方体的结构特征分析：底面为正方形的长方体，四周有4个长方形侧面，上下各1个正方形底面，共2个底面。第(2)问①先明确裁剪方案：x张用A方法，剩余(35-x)张用B方法，分别计算两种方法裁剪出的侧面、底面数量，再求和即可得到总数量。第(2)问②的核心是配套关系：每个盒子需要4个侧面、2个底面，当侧面和底面恰好用完时，侧面总个数÷4=底面总个数÷2=盒子总个数，据此列方程求解即可。
【解析】
(1) 根据长方体的结构特征，底面为正方形的长方体有4个侧面，2个底面。
(2) ① 已知x张硬纸板用A方法，每张A方法可剪3个侧面，因此A方法共裁剪出3x个侧面；剩余(35-x)张用B方法，每张B方法可剪2个侧面和2个底面，因此B方法裁剪出侧面2(35-x)个，裁剪出底面2(35-x)个。
侧面总个数：$3x+2(35-x)=x+70$（个）
底面总个数：$2(35-x)=70-2x$（个）
即裁剪出的侧面为$(x+70)$个，底面为$(70-2x)$个。
② 每个盒子需要4个侧面、2个底面，裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，因此盒子的数量相等，列方程得：
$\frac{x+70}{4}=\frac{70-2x}{2}$
去分母得：$x+70=2(70-2x)$
展开得：$x+70=140-4x$
移项合并同类项得：$5x=70$
解得：$x=14$
则盒子的数量为$\frac{14+70}{4}=21$（个）
答：能做21个盒子。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；$\boxed{2}$
(2) ① 侧面$\boxed{(x+70)}$个，底面$\boxed{(70-2x)}$个；② $\boxed{21}$个
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；配套问题
【点评】
本题是典型的配套类应用题，解题关键是理清两种裁剪方式的产出数量，以及侧面和底面的配套比例关系，根据“盒子总数相等”建立等量关系列方程求解即可，考查了学生的数量分析能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 新设问 [2026合肥期末]为建设文明城市，某社区计划将社区内一条东西走向的水泥道路铺设成柏油路，俗称“白改黑”.甲工程队负责这条道路的铺设，他们从西头开始铺，计划6天内完成.第一天铺了全长的6%，第二天铺的比第一天的2倍少60 m，此时还剩下全长的87%没铺.
(1)若用线段图1表示前两天甲工程队的进度情况，请写出图1中①处应填写的内容，并写出图1中x所表示的实际意义，再求出它的值；
(2)为按时完成铺路任务，从第三天开始，甲工程队加快速度，同时乙工程队加入铺路，从东头开始铺.两队的进展情况如线段图2所示，请根据线段图2提出一个问题并进行解答.
(1)若用线段图1表示前两天甲工程队的进度情况，请写出图1中①处应填写的内容，并写出图1中x所表示的实际意义，再求出它的值；
(2)为按时完成铺路任务，从第三天开始，甲工程队加快速度，同时乙工程队加入铺路，从东头开始铺.两队的进展情况如线段图2所示，请根据线段图2提出一个问题并进行解答.
答案
10.解：(1) ①处应填写2×6%x−60，x表示这条道路的全长.
根据题意，得6%x+2×6%x−60+87%x=x，
解得x=1 200.
(2)(答案不唯一)
提出的问题:加速后，甲工程队每天铺多少米?
甲工程队前两天共铺路6%×1 200+2×6%×1 200−60=156(m).
根据题意，得156+(6−2)y+(6−2)(y+75)=1 200，
解得y=93.
答：加速后，甲工程队每天铺93 m.
根据题意，得6%x+2×6%x−60+87%x=x，
解得x=1 200.
(2)(答案不唯一)
提出的问题:加速后，甲工程队每天铺多少米?
甲工程队前两天共铺路6%×1 200+2×6%×1 200−60=156(m).
根据题意，得156+(6−2)y+(6−2)(y+75)=1 200，
解得y=93.
答：加速后，甲工程队每天铺93 m.
解析
【分析】
(1) 解决第一问的核心是找准等量关系：前两天铺设的总长度+剩余未铺设的长度=道路总长度。先设道路全长为x m，根据题干描述分别表示出第一天、第二天的铺设长度，再结合等量关系列一元一次方程求解即可，其中①对应第二天的铺设长度，根据“第二天铺的比第一天的2倍少60 m”即可写出对应表达式。
(2) 第二问为开放性设问，结合工程问题“工作量=工作效率×工作时间”的基本关系，针对剩余工作量、两队工作效率等提出合理问题，再结合第一问求出的总长度列式解答即可。
【解析】
(1) 图中①表示第二天铺设的道路长度，因此①处应填写$2×6\%x - 60$，其中x表示这条道路的全长。
根据等量关系列方程：
$6\%x + (2×6\%x - 60) + 87\%x = x$
整理方程：
$0.06x + 0.12x - 60 + 0.87x = x$
$1.05x - 60 = x$
移项合并同类项：
$0.05x = 60$
系数化为1得：
$x = 1200$
(2) （答案不唯一，示例如下）
提出问题：加速后，甲工程队每天铺多少米？
先计算甲工程队前两天铺设的总长度：
$6\%×1200 + 2×6\%×1200 - 60 = 156(\mathrm{m})$
设加速后甲工程队每天铺y m，结合线段图信息可知乙工程队每天铺$(y+75)\mathrm{m}$，剩余施工时间为$6-2=4$天，列方程：
$156 + 4y + 4(y+75) = 1200$
整理得：
$8y + 456 = 1200$
解得：
$y = 93$
答：加速后，甲工程队每天铺93 m。
【答案】
(1) ①处填$2×6\%x - 60$，x表示这条道路的全长，x的值为1200；
(2) 示例：加速后甲工程队每天铺93米（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题，线段图分析数量关系
【点评】
本题结合城市建设的实际场景命题，既考查了学生提取信息、寻找等量关系列方程求解的能力，又通过开放性设问培养学生的问题意识和知识灵活应用能力，难度分层合理，兼具实践性和综合性。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问的核心是找准等量关系：前两天铺设的总长度+剩余未铺设的长度=道路总长度。先设道路全长为x m，根据题干描述分别表示出第一天、第二天的铺设长度，再结合等量关系列一元一次方程求解即可，其中①对应第二天的铺设长度，根据“第二天铺的比第一天的2倍少60 m”即可写出对应表达式。
(2) 第二问为开放性设问，结合工程问题“工作量=工作效率×工作时间”的基本关系，针对剩余工作量、两队工作效率等提出合理问题，再结合第一问求出的总长度列式解答即可。
【解析】
(1) 图中①表示第二天铺设的道路长度，因此①处应填写$2×6\%x - 60$，其中x表示这条道路的全长。
根据等量关系列方程：
$6\%x + (2×6\%x - 60) + 87\%x = x$
整理方程：
$0.06x + 0.12x - 60 + 0.87x = x$
$1.05x - 60 = x$
移项合并同类项：
$0.05x = 60$
系数化为1得：
$x = 1200$
(2) （答案不唯一，示例如下）
提出问题：加速后，甲工程队每天铺多少米？
先计算甲工程队前两天铺设的总长度：
$6\%×1200 + 2×6\%×1200 - 60 = 156(\mathrm{m})$
设加速后甲工程队每天铺y m，结合线段图信息可知乙工程队每天铺$(y+75)\mathrm{m}$，剩余施工时间为$6-2=4$天，列方程：
$156 + 4y + 4(y+75) = 1200$
整理得：
$8y + 456 = 1200$
解得：
$y = 93$
答：加速后，甲工程队每天铺93 m。
【答案】
(1) ①处填$2×6\%x - 60$，x表示这条道路的全长，x的值为1200；
(2) 示例：加速后甲工程队每天铺93米（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题，线段图分析数量关系
【点评】
本题结合城市建设的实际场景命题，既考查了学生提取信息、寻找等量关系列方程求解的能力，又通过开放性设问培养学生的问题意识和知识灵活应用能力，难度分层合理，兼具实践性和综合性。
【难度系数】
0.7
