学习任务 反比例函数的图象和性质 从具体到抽象
|情境探究|
画出反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 和 $y=-\frac{3}{x}$ 的图象.
问题1:利用描点法画函数图象的一般步骤有哪些？
问题2:填表并在图中画出两个反比例函数的图象.
| $x$ | $···$ | $-2$ | $-1.5$ | $-1$ | $-0.5$ | $0.5$ | $1$ | $1.5$ | $2$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{2}{x}$ | $···$ | | | | | | | | | $···$ |
| $x$ | $···$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $···$ |
| $y=-\frac{3}{x}$ | $···$ | | | | | | | | | $···$ |

问题3:这两个反比例函数的图象与$x$轴、$y$轴相交吗？它们自变量的取值范围分别是什么？
问题4:这两个反比例函数的图象分别位于哪些象限？在每一个象限内，$y$随$x$的增大如何变化？
|探究归纳|
反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象特征和性质
(1)反比例函数的图象由两条曲线组成，它是.
(2)当$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第、第象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而.
当$k＜0$时，双曲线的两支分别位于第、第象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而.

问题1:列表、描点、连线.
问题2:
| $x$ | $···$ | $-2$ | $-1.5$ | $-1$ | $-0.5$ | $0.5$ | $1$ | $1.5$ | $2$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{2}{x}$ | $···$ | $-1$ | $-\frac{4}{3}$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $\frac{4}{3}$ | $1$ | $···$ |
| $x$ | $···$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $···$ |
| $y=-\frac{3}{x}$ | $···$ | $\frac{3}{4}$ | $1$ | $\frac{3}{2}$ | $3$ | $-3$ | $-\frac{3}{2}$ | $-1$ | $-\frac{3}{4}$ | $···$ |

问题3:这两个反比例函数的图象都不与$x$轴、$y$轴相交.因此,它们自变量的取值范围都是$x≠0$.
问题4:函数$y=\frac{2}{x}$的图象的两支分别位于第一、第三象限,在每一个象限内,$y$随$x$的增大而减小;函数$y=-\frac{3}{x}$的图象的两支分别位于第二、第四象限,在每一个象限内,$y$随$x$的增大而增大.
探究归纳
(1)双曲线
(2)一 三 减小 二 四 增大

【分析】
1. 问题1属于基础概念题，回忆描点法画函数图象的通用步骤即可作答。
2. 问题2为计算类问题，将表格中给出的x值分别代入对应的反比例函数解析式，注意符号运算，计算得到y值填入表格即可，之后按照描点法步骤画出图象。
3. 问题3从分式有意义的条件分析：反比例函数解析式分母含x，分母不能为0即可得到自变量取值范围；再结合解析式中分子为非零常数，可知y不可能为0，即可判断图象与坐标轴无交点。
4. 问题4结合k值正负判断：k＞0时x、y同号，图象在一、三象限，观察图象可得增减性；k＜0时x、y异号，图象在二、四象限，同理可得增减性。
5. 探究归纳部分将前面得到的结论整理总结，填入对应横线即可。
【解析】
问题1：描点法画函数图象的步骤为列表、描点、连线，依次完成三个步骤即可画出函数图象。
问题2：将x值分别代入两个函数解析式计算：
对于$y=\frac{2}{x}$，分别代入$x=-2、-1.5、-1、-0.5、0.5、1、1.5、2$，计算得到对应y值为$-1、-\frac{4}{3}、-2、-4、4、2、\frac{4}{3}、1$；
对于$y=-\frac{3}{x}$，分别代入$x=-4、-3、-2、-1、1、2、3、4$，计算得到对应y值为$\frac{3}{4}、1、\frac{3}{2}、3、-3、-\frac{3}{2}、-1、-\frac{3}{4}$。
将结果填入表格后，依次完成描点、连线步骤即可画出两个函数的图象。
问题3：要使反比例函数有意义，分母$x≠0$，因此自变量取值范围为$x≠0$；又因为解析式中分子为非零常数，因此y不可能为0，所以两个函数的图象都不与x轴、y轴相交。
问题4：观察图象可得：$y=\frac{2}{x}$中$k=2＞0$，图象位于第一、第三象限，每个象限内y随x的增大而减小；$y=-\frac{3}{x}$中$k=-3＜0$，图象位于第二、第四象限，每个象限内y随x的增大而增大。
探究归纳：(1)反比例函数图象是双曲线；(2)根据k的正负分类填写对应象限和增减性即可。
【答案】
问题1:列表、描点、连线.
问题2:
| $x$ | $···$ | $-2$ | $-1.5$ | $-1$ | $-0.5$ | $0.5$ | $1$ | $1.5$ | $2$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{2}{x}$ | $···$ | $-1$ | $-\frac{4}{3}$ | $-2$ | $-4$ | $4$ | $2$ | $\frac{4}{3}$ | $1$ | $···$ |
| $x$ | $···$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $···$ |
| $y=-\frac{3}{x}$ | $···$ | $\frac{3}{4}$ | $1$ | $\frac{3}{2}$ | $3$ | $-3$ | $-\frac{3}{2}$ | $-1$ | $-\frac{3}{4}$ | $···$ |

问题3:这两个反比例函数的图象都不与$x$轴、$y$轴相交.因此,它们自变量的取值范围都是$x≠0$.
问题4:函数$y=\frac{2}{x}$的图象的两支分别位于第一、第三象限,在每一个象限内,$y$随$x$的增大而减小;函数$y=-\frac{3}{x}$的图象的两支分别位于第二、第四象限,在每一个象限内,$y$随$x$的增大而增大.
探究归纳
(1)双曲线
(2)一 三 减小 二 四 增大
【知识点】
描点法画图象；反比例函数图象；反比例函数性质
【点评】
本题从基础操作入手，引导学生通过代入计算、观察图象自主总结反比例函数的特征与性质，符合从具体到抽象的认知规律，能帮助学生牢固掌握相关基础知识点。
【难度系数】
0.8