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12. 正式乒乓球比赛对所用乒乓球大小有严格的规定。现有四个乒乓球，超过规定的尺寸记为正数，不足规定的尺寸记为负数，为选用一个乒乓球进行比赛，裁判对四个乒乓球进行测量，得到结果如下：
你认为应选哪个乒乓球用于比赛？为什么？
你认为应选哪个乒乓球用于比赛？为什么？
答案
应选B球用于比赛，因为根据绝对值的意义，绝对值越小，说明它与规定的尺寸偏差越小，所以选绝对值最小的B球
解析
【分析】
要选出适合比赛的乒乓球，本质是找与规定尺寸偏差最小的球。题目中正数表示超过规定尺寸，负数表示不足规定尺寸，偏差的大小和超出/不足的属性无关，仅和偏离规定的程度有关，因此可以利用绝对值的意义求解：绝对值表示数轴上数到原点的距离，本题中每个测量值的绝对值就对应球和规定尺寸的偏差大小，所以我们只需要计算四个测量值的绝对值，比较大小后选择绝对值最小的球即可。
【解析】
解：先分别计算四个乒乓球测量值的绝对值：
$\vert +0.2\ \mathrm{mm}\vert =0.2\ \mathrm{mm}$，
$\vert -0.1\ \mathrm{mm}\vert =0.1\ \mathrm{mm}$，
$\vert +0.3\ \mathrm{mm}\vert =0.3\ \mathrm{mm}$，
$\vert -0.2\ \mathrm{mm}\vert =0.2\ \mathrm{mm}$，
比较绝对值大小可得：$0.1＜0.2=0.2＜0.3$，
即B球的测量值的绝对值最小，说明它与规定尺寸的偏差最小，最符合比赛要求。
【答案】
应选B球用于比赛，因为根据绝对值的意义，绝对值越小，说明它与规定的尺寸偏差越小，所以选绝对值最小的B球
【知识点】
绝对值的意义，绝对值的计算，正负数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查绝对值的应用，解题的核心是理解偏差大小与测量值的符号无关，仅由绝对值的大小决定，这类题目能很好地锻炼学生将数学知识应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.9
要选出适合比赛的乒乓球，本质是找与规定尺寸偏差最小的球。题目中正数表示超过规定尺寸，负数表示不足规定尺寸，偏差的大小和超出/不足的属性无关，仅和偏离规定的程度有关，因此可以利用绝对值的意义求解：绝对值表示数轴上数到原点的距离，本题中每个测量值的绝对值就对应球和规定尺寸的偏差大小，所以我们只需要计算四个测量值的绝对值，比较大小后选择绝对值最小的球即可。
【解析】
解：先分别计算四个乒乓球测量值的绝对值：
$\vert +0.2\ \mathrm{mm}\vert =0.2\ \mathrm{mm}$，
$\vert -0.1\ \mathrm{mm}\vert =0.1\ \mathrm{mm}$，
$\vert +0.3\ \mathrm{mm}\vert =0.3\ \mathrm{mm}$，
$\vert -0.2\ \mathrm{mm}\vert =0.2\ \mathrm{mm}$，
比较绝对值大小可得：$0.1＜0.2=0.2＜0.3$，
即B球的测量值的绝对值最小，说明它与规定尺寸的偏差最小，最符合比赛要求。
【答案】
应选B球用于比赛，因为根据绝对值的意义，绝对值越小，说明它与规定的尺寸偏差越小，所以选绝对值最小的B球
【知识点】
绝对值的意义，绝对值的计算，正负数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查绝对值的应用，解题的核心是理解偏差大小与测量值的符号无关，仅由绝对值的大小决定，这类题目能很好地锻炼学生将数学知识应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.9
13.某检修小组开一辆汽车沿公路检修线路,约定向北为正。某天从A地出发到收工时,行走记录为(单位:千米):+1.8,-0.9,+0.7,-1.4,-0.7。
(1)收工时,检修小组在A地哪边?距A地多远?
(2)若汽车行驶每千米耗油0.2升,则从出发到收工共耗油多少升?
(1)收工时,检修小组在A地哪边?距A地多远?
(2)若汽车行驶每千米耗油0.2升,则从出发到收工共耗油多少升?
答案
(1)位于A地南面500米处；(2)1.1升
解析
【分析】
（1）要确定收工时检修小组相对A地的位置和距离，需将所有行走记录的数值相加：约定向北为正，若计算结果为正，说明在A地北方；结果为负则在A地南方，结果的绝对值就是距A地的距离，最后注意单位换算（1千米=1000米）。
（2）汽车耗油量仅和行驶总路程有关，与行驶方向无关，因此需要先计算所有行走记录的绝对值之和得到总行驶路程，再乘以每千米的耗油量，即可求出总耗油量。
【解析】
解：（1）计算所有行走记录的和：
$\begin{aligned}&+1.8 + (-0.9) + 0.7 + (-1.4) + (-0.7)\\=&1.8 - 0.9 + 0.7 - 1.4 - 0.7\\=&-0.5 \mathrm{（千米）}\end{aligned}$
结果为负，说明收工时在A地南面，0.5千米=500米，即距A地500米。
（2）先计算总行驶路程，即所有行走记录的绝对值之和：
$\begin{aligned}&|+1.8| + |-0.9| + |+0.7| + |-1.4| + |-0.7|\\=&1.8 + 0.9 + 0.7 + 1.4 + 0.7\\=&5.5 \mathrm{（千米）}\end{aligned}$
总耗油量：$5.5 × 0.2 = 1.1$（升）
【答案】
（1）位于A地南面500米处；（2）1.1升
【知识点】
正负数的实际应用，绝对值的应用，有理数加减运算
【点评】
本题结合实际场景考查有理数相关知识，解题核心是明确正负数代表的相反意义的量，注意区分位移和总路程的计算逻辑：总路程与方向无关，需取各段路程的绝对值求和，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.8
（1）要确定收工时检修小组相对A地的位置和距离，需将所有行走记录的数值相加：约定向北为正，若计算结果为正，说明在A地北方；结果为负则在A地南方，结果的绝对值就是距A地的距离，最后注意单位换算（1千米=1000米）。
（2）汽车耗油量仅和行驶总路程有关，与行驶方向无关，因此需要先计算所有行走记录的绝对值之和得到总行驶路程，再乘以每千米的耗油量，即可求出总耗油量。
【解析】
解：（1）计算所有行走记录的和：
$\begin{aligned}&+1.8 + (-0.9) + 0.7 + (-1.4) + (-0.7)\\=&1.8 - 0.9 + 0.7 - 1.4 - 0.7\\=&-0.5 \mathrm{（千米）}\end{aligned}$
结果为负，说明收工时在A地南面，0.5千米=500米，即距A地500米。
（2）先计算总行驶路程，即所有行走记录的绝对值之和：
$\begin{aligned}&|+1.8| + |-0.9| + |+0.7| + |-1.4| + |-0.7|\\=&1.8 + 0.9 + 0.7 + 1.4 + 0.7\\=&5.5 \mathrm{（千米）}\end{aligned}$
总耗油量：$5.5 × 0.2 = 1.1$（升）
【答案】
（1）位于A地南面500米处；（2）1.1升
【知识点】
正负数的实际应用，绝对值的应用，有理数加减运算
【点评】
本题结合实际场景考查有理数相关知识，解题核心是明确正负数代表的相反意义的量，注意区分位移和总路程的计算逻辑：总路程与方向无关，需取各段路程的绝对值求和，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.8
14. 一个数在数轴上对应的点到原点的距离是这个数的绝对值，如数轴上表示3的点到原点的距离为$|3|$，数轴上表示－3的点到原点的距离为$|-3|$；数轴上表示$x$的点到原点的距离为$|x|$，则$|x-3|$表示的意义是数轴上表示数$x$的点与表示数3的点之间的距离。
(1)$|x-2|$的意义是
(2)若数轴上表示$x$的点与表示8的点之间的距离是4，则$x$为
(1)$|x-2|$的意义是
数轴上表示x的点与表示数2的点之间的距离
；(2)若数轴上表示$x$的点与表示8的点之间的距离是4，则$x$为
4或12
。答案
(1)数轴上表示x的点与表示数2的点之间的距离；(2)4或12
解析
【分析】
本题考查绝对值几何意义的应用，解题思路如下：(1) 直接对照题目给出的|x-3|的意义的例子，类比推导|x-2|的含义即可；(2) 先把数轴上两点距离的文字描述转化为绝对值方程，再根据绝对值的性质求解方程就能得到x的取值。
【解析】
(1) 根据题目给出的规律：|x-a|表示数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离，因此|x-2|的意义是数轴上表示x的点与表示数2的点之间的距离。
(2) 由题意，数轴上表示x的点与表示8的点之间的距离是4，根据绝对值的几何意义可列方程：$\vert x-8\vert=4$。
根据绝对值的性质：若$\vert m\vert=b$（$b＞0$），则$m=b$或$m=-b$，可得：
$x-8=4$ 或 $x-8=-4$
分别求解两个方程：
当$x-8=4$时，$x=4+8=12$；
当$x-8=-4$时，$x=-4+8=4$。
因此x为4或12。
【答案】
(1)数轴上表示x的点与表示数2的点之间的距离；(2)4或12
【知识点】
1. 绝对值的几何意义；2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对绝对值几何意义的理解与运用，解题的关键是能将数轴上两点距离的文字描述准确转化为对应的绝对值表达式，熟练掌握绝对值的性质即可快速求解此类问题。
【难度系数】
0.8
本题考查绝对值几何意义的应用，解题思路如下：(1) 直接对照题目给出的|x-3|的意义的例子，类比推导|x-2|的含义即可；(2) 先把数轴上两点距离的文字描述转化为绝对值方程，再根据绝对值的性质求解方程就能得到x的取值。
【解析】
(1) 根据题目给出的规律：|x-a|表示数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离，因此|x-2|的意义是数轴上表示x的点与表示数2的点之间的距离。
(2) 由题意，数轴上表示x的点与表示8的点之间的距离是4，根据绝对值的几何意义可列方程：$\vert x-8\vert=4$。
根据绝对值的性质：若$\vert m\vert=b$（$b＞0$），则$m=b$或$m=-b$，可得：
$x-8=4$ 或 $x-8=-4$
分别求解两个方程：
当$x-8=4$时，$x=4+8=12$；
当$x-8=-4$时，$x=-4+8=4$。
因此x为4或12。
【答案】
(1)数轴上表示x的点与表示数2的点之间的距离；(2)4或12
【知识点】
1. 绝对值的几何意义；2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对绝对值几何意义的理解与运用，解题的关键是能将数轴上两点距离的文字描述准确转化为对应的绝对值表达式，熟练掌握绝对值的性质即可快速求解此类问题。
【难度系数】
0.8
15.(1)计算：
$|1-2|=$
$\left| \dfrac{1}{3} -1 \right|=\_\_\_\_\_\_,1-\dfrac{1}{3}=$
$\left| \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} \right|=\_\_\_\_\_\_,\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}=$
(2)比较上面三组式子的结果,如果设$a,b$为有理数,$|a-b|$一定是$b-a$吗?如果不是,你能举出几个例子吗?
(3)计算:$|3.14-π|=$
(4)计算:$\left| \dfrac{1}{100} - \dfrac{1}{99} \right| + \left| \dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{98} \right| + \left| \dfrac{1}{98} - \dfrac{1}{97} \right| + \dots + \left| \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} \right| + \left| \dfrac{1}{2} -1 \right|$。
$|1-2|=$
1
$,2-1=$1
；$\left| \dfrac{1}{3} -1 \right|=\_\_\_\_\_\_,1-\dfrac{1}{3}=$
$\dfrac{2}{3}$
；$\left| \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} \right|=\_\_\_\_\_\_,\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}=$
$\dfrac{1}{6}$
。(2)比较上面三组式子的结果,如果设$a,b$为有理数,$|a-b|$一定是$b-a$吗?如果不是,你能举出几个例子吗?
(3)计算:$|3.14-π|=$
$π-3.14$
。(4)计算:$\left| \dfrac{1}{100} - \dfrac{1}{99} \right| + \left| \dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{98} \right| + \left| \dfrac{1}{98} - \dfrac{1}{97} \right| + \dots + \left| \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} \right| + \left| \dfrac{1}{2} -1 \right|$。
答案
(1)1；1；$\frac{2}{3}$；$\frac{2}{3}$；$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{6}$ (2)不是；如$|2-1|=2-1$ (3)$π-3.14$ (4)$\frac{99}{100}$
解析
【分析】
(1) 先计算绝对值符号内的减法结果，再根据“负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身”化简绝对值，同时直接计算右侧的减法算式对比结果即可。
(2) 结合(1)的三组结果归纳规律：$|a-b|$的结果是非负数，仅当$a≤ b$时$|a-b|=b-a$，若$a＞b$则$|a-b|=a-b$，据此判断并举例即可。
(3) 先比较$3.14$和$π$的大小，确定$3.14-π$的符号，再根据绝对值的性质化简。
(4) 观察可知每个绝对值内都是小数减大数，差为负数，去绝对值后变为大数减小数，展开所有式子后中间项会相互抵消，计算剩余项即可得到结果。
【解析】
(1) 逐个计算如下：
$|1-2|=|-1|=1$，$2-1=1$；
$\left|\dfrac{1}{3}-1\right|=\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}$，$1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$；
$\left|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right|=\left|-\dfrac{1}{6}\right|=\dfrac{1}{6}$，$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$。
(2) $|a-b|$不一定等于$b-a$。
根据绝对值的性质，$|a-b|≥0$，当$a≥ b$时，$a-b≥0$，此时$|a-b|=a-b$，例如$|2-1|=1=2-1$，不等于$1-2$。
(3) $\because π\approx3.14159＞3.14$，$\therefore 3.14-π＜0$，$\therefore |3.14-π|=π-3.14$。
(4) 对每个绝对值去符号，可得：
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100})+(\dfrac{1}{98}-\dfrac{1}{99})+(\dfrac{1}{97}-\dfrac{1}{98})+\dots+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+(1-\dfrac{1}{2})\\&=1-\dfrac{1}{100}\\&=\dfrac{99}{100}\end{aligned}$
【答案】
(1)$1$；$1$；$\dfrac{2}{3}$；$\dfrac{2}{3}$；$\dfrac{1}{6}$；$\dfrac{1}{6}$
(2)不是；如$|2-1|=2-1$（例子不唯一）
(3)$π-3.14$
(4)$\dfrac{99}{100}$
【知识点】
绝对值的性质；有理数减法；简便运算
【点评】
本题从基础的绝对值计算出发，逐步引导学生探究绝对值化简的规律，再应用规律解决复杂求和问题，既考查了绝对值的核心知识点，也锻炼了学生的归纳推理能力和运算技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 先计算绝对值符号内的减法结果，再根据“负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身”化简绝对值，同时直接计算右侧的减法算式对比结果即可。
(2) 结合(1)的三组结果归纳规律：$|a-b|$的结果是非负数，仅当$a≤ b$时$|a-b|=b-a$，若$a＞b$则$|a-b|=a-b$，据此判断并举例即可。
(3) 先比较$3.14$和$π$的大小，确定$3.14-π$的符号，再根据绝对值的性质化简。
(4) 观察可知每个绝对值内都是小数减大数，差为负数，去绝对值后变为大数减小数，展开所有式子后中间项会相互抵消，计算剩余项即可得到结果。
【解析】
(1) 逐个计算如下：
$|1-2|=|-1|=1$，$2-1=1$；
$\left|\dfrac{1}{3}-1\right|=\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}$，$1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$；
$\left|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right|=\left|-\dfrac{1}{6}\right|=\dfrac{1}{6}$，$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$。
(2) $|a-b|$不一定等于$b-a$。
根据绝对值的性质，$|a-b|≥0$，当$a≥ b$时，$a-b≥0$，此时$|a-b|=a-b$，例如$|2-1|=1=2-1$，不等于$1-2$。
(3) $\because π\approx3.14159＞3.14$，$\therefore 3.14-π＜0$，$\therefore |3.14-π|=π-3.14$。
(4) 对每个绝对值去符号，可得：
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100})+(\dfrac{1}{98}-\dfrac{1}{99})+(\dfrac{1}{97}-\dfrac{1}{98})+\dots+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+(1-\dfrac{1}{2})\\&=1-\dfrac{1}{100}\\&=\dfrac{99}{100}\end{aligned}$
【答案】
(1)$1$；$1$；$\dfrac{2}{3}$；$\dfrac{2}{3}$；$\dfrac{1}{6}$；$\dfrac{1}{6}$
(2)不是；如$|2-1|=2-1$（例子不唯一）
(3)$π-3.14$
(4)$\dfrac{99}{100}$
【知识点】
绝对值的性质；有理数减法；简便运算
【点评】
本题从基础的绝对值计算出发，逐步引导学生探究绝对值化简的规律，再应用规律解决复杂求和问题，既考查了绝对值的核心知识点，也锻炼了学生的归纳推理能力和运算技巧。
【难度系数】
0.7
