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6. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$, $∠ B = 30°$, $BC = 4\ \mathrm{cm}$, 以点 $C$ 为圆心, $2\ \mathrm{cm}$ 长为半径作圆, 则 $\odot C$ 与 $AB$ 的位置关系是 (
A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相离
B
)A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相离
答案
6. B
解析
【分析】
要判断⊙C与直线AB的位置关系，只需比较圆心C到直线AB的距离d和圆的半径r的大小：若d＜r则相交，d=r则相切，d＞r则相离。因此首先过点C作AB的垂线段，求出垂线段的长度，再和半径2cm比较即可得出结论。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D。
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=30°，BC=4cm，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 4 = 2\ \mathrm{cm}$。
已知⊙C的半径$r=2\ \mathrm{cm}$，即$d=r$，因此⊙C与AB的位置关系是相切。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆位置关系判定，含30°角直角三角形性质，点到直线的距离
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的常规基础题，核心解题思路是“作垂线段、算距离、比半径”，需要熟练掌握直线与圆三种位置关系的判定规则，以及直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.8
要判断⊙C与直线AB的位置关系，只需比较圆心C到直线AB的距离d和圆的半径r的大小：若d＜r则相交，d=r则相切，d＞r则相离。因此首先过点C作AB的垂线段，求出垂线段的长度，再和半径2cm比较即可得出结论。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D。
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=30°，BC=4cm，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 4 = 2\ \mathrm{cm}$。
已知⊙C的半径$r=2\ \mathrm{cm}$，即$d=r$，因此⊙C与AB的位置关系是相切。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆位置关系判定，含30°角直角三角形性质，点到直线的距离
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的常规基础题，核心解题思路是“作垂线段、算距离、比半径”，需要熟练掌握直线与圆三种位置关系的判定规则，以及直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.8
7.如图,已知点A,B在半径为1的$\odot O$上,$∠ AOB=60°$,延长OB至点C,过点C作直线OA的垂线记为$l$,则下列说法正确的是（
A.当BC等于0.5时,$l$与$\odot O$相离
B.当BC等于2时,$l$与$\odot O$相切
C.当BC等于1时,$l$与$\odot O$相交
D.当BC不为1时,$l$与$\odot O$不相切
D
）A.当BC等于0.5时,$l$与$\odot O$相离
B.当BC等于2时,$l$与$\odot O$相切
C.当BC等于1时,$l$与$\odot O$相交
D.当BC不为1时,$l$与$\odot O$不相切
答案
7. D
解析
【分析】
要判断直线l与⊙O的位置关系，需先明确判定规则：当圆心到直线的距离d＞半径r时，直线与圆相离；d=r时相切；d＜r时相交。本题中⊙O半径r=1，先推导O到直线l的距离d与BC的数量关系：直线l垂直OA，∠AOB=60°，OC=OB+BC=1+BC，结合三角函数可得d=OC·cos60°=(1+BC)/2，再代入各选项的BC值，比较d和r的大小即可判断正误。
【解析】
已知⊙O半径r=1，OB=1，∠AOB=60°，直线l⊥OA，设圆心O到直线l的距离为d。
∵ l⊥OA，
∴ d = OC·cos∠AOB = OC·cos60°
又
∵ OC = OB + BC = 1 + BC，cos60°=$\frac{1}{2}$
∴ d = $\frac{1+BC}{2}$
对各选项逐一分析：
A. 当BC=0.5时，d=$\frac{1+0.5}{2}$=0.75 ＜ 1 = r，此时l与⊙O相交，A错误；
B. 当BC=2时，d=$\frac{1+2}{2}$=1.5 ＞ 1 = r，此时l与⊙O相离，B错误；
C. 当BC=1时，d=$\frac{1+1}{2}$=1 = r，此时l与⊙O相切，C错误；
D. 当BC≠1时，d=$\frac{1+BC}{2}$≠1 = r，故l与⊙O不相切，D正确。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系；锐角三角函数；圆的基本性质
【点评】
本题核心考查直线与圆位置关系的判定方法，解题关键是结合三角函数求出圆心到直线的距离与BC的关系式，再逐一验证选项，属于基础类考题，掌握判定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要判断直线l与⊙O的位置关系，需先明确判定规则：当圆心到直线的距离d＞半径r时，直线与圆相离；d=r时相切；d＜r时相交。本题中⊙O半径r=1，先推导O到直线l的距离d与BC的数量关系：直线l垂直OA，∠AOB=60°，OC=OB+BC=1+BC，结合三角函数可得d=OC·cos60°=(1+BC)/2，再代入各选项的BC值，比较d和r的大小即可判断正误。
【解析】
已知⊙O半径r=1，OB=1，∠AOB=60°，直线l⊥OA，设圆心O到直线l的距离为d。
∵ l⊥OA，
∴ d = OC·cos∠AOB = OC·cos60°
又
∵ OC = OB + BC = 1 + BC，cos60°=$\frac{1}{2}$
∴ d = $\frac{1+BC}{2}$
对各选项逐一分析：
A. 当BC=0.5时，d=$\frac{1+0.5}{2}$=0.75 ＜ 1 = r，此时l与⊙O相交，A错误；
B. 当BC=2时，d=$\frac{1+2}{2}$=1.5 ＞ 1 = r，此时l与⊙O相离，B错误；
C. 当BC=1时，d=$\frac{1+1}{2}$=1 = r，此时l与⊙O相切，C错误；
D. 当BC≠1时，d=$\frac{1+BC}{2}$≠1 = r，故l与⊙O不相切，D正确。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系；锐角三角函数；圆的基本性质
【点评】
本题核心考查直线与圆位置关系的判定方法，解题关键是结合三角函数求出圆心到直线的距离与BC的关系式，再逐一验证选项，属于基础类考题，掌握判定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.7
8. 在直角坐标系中，$\odot M$ 的圆心坐标为$(m,0)$，半径为2。如果$\odot M$与$y$轴所在直线相切，那么$m=$
±2
；如果$\odot M$与$y$轴所在的直线相交，那么$m$的取值范围是$-2＜m＜2$
。答案
8. $\pm2$ $-2＜m＜2$
解析
【分析】
解题时先回忆直线与圆的位置关系判定规则：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交。首先计算圆心M(m,0)到y轴的距离：点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即d=|m|，已知圆半径r=2，再分别对应相切、相交的条件列等式或不等式求解即可，注意m可正可负，不要遗漏负数的情况。
【解析】
解：圆心M(m,0)到y轴的距离为$d=|m|$，$\odot M$的半径$r=2$。
1. 当$\odot M$与y轴相切时，满足$d=r$，即：
$|m|=2$
解得$m=2$或$m=-2$，即$m=\pm2$。
2. 当$\odot M$与y轴相交时，满足$d＜r$，即：
$|m|＜2$
解得$-2＜m＜2$。
【答案】
$\pm2$；$-2＜m＜2$
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 点到坐标轴的距离
3. 绝对值的性质
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础应用题，核心是掌握位置关系对应的圆心到直线距离与半径的大小关系，解题时要注意圆心可在y轴左侧或右侧，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆直线与圆的位置关系判定规则：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交。首先计算圆心M(m,0)到y轴的距离：点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即d=|m|，已知圆半径r=2，再分别对应相切、相交的条件列等式或不等式求解即可，注意m可正可负，不要遗漏负数的情况。
【解析】
解：圆心M(m,0)到y轴的距离为$d=|m|$，$\odot M$的半径$r=2$。
1. 当$\odot M$与y轴相切时，满足$d=r$，即：
$|m|=2$
解得$m=2$或$m=-2$，即$m=\pm2$。
2. 当$\odot M$与y轴相交时，满足$d＜r$，即：
$|m|＜2$
解得$-2＜m＜2$。
【答案】
$\pm2$；$-2＜m＜2$
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 点到坐标轴的距离
3. 绝对值的性质
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础应用题，核心是掌握位置关系对应的圆心到直线距离与半径的大小关系，解题时要注意圆心可在y轴左侧或右侧，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9.如图,已知$∠ AOB=30°$,$M$为$OB$边上一点,以$M$为圆心,$2\ \mathrm{cm}$为半径作$\odot M$。若点$M$在$OB$边上运动,则当$OM=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$时,$\odot M$与$OA$相切。
答案
9. 4
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆相切的性质：当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。因此我们先过圆心M向OA作垂线段，该垂线段的长度就是半径2cm，此时垂线段、OM与OA的部分线段构成了含30°角的直角三角形，再结合30°角对应的直角边等于斜边一半的性质，就可以计算出OM的长度。
【解析】
解：设$\odot M$与$OA$相切于点$D$，连接$MD$。
$\because \odot M$与$OA$相切，
$\therefore MD⊥ OA$，且$MD$是$\odot M$的半径，即$MD=2\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMD$中，$∠ AOB=30°$，
$\therefore$ 30°角所对的直角边$MD$等于斜边$OM$的$\frac{1}{2}$，即$MD=\frac{1}{2}OM$，
$\therefore OM=2MD=2×2=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
直线与圆相切的性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是抓住直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径这一关键条件，结合特殊直角三角形的边角关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆直线与圆相切的性质：当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。因此我们先过圆心M向OA作垂线段，该垂线段的长度就是半径2cm，此时垂线段、OM与OA的部分线段构成了含30°角的直角三角形，再结合30°角对应的直角边等于斜边一半的性质，就可以计算出OM的长度。
【解析】
解：设$\odot M$与$OA$相切于点$D$，连接$MD$。
$\because \odot M$与$OA$相切，
$\therefore MD⊥ OA$，且$MD$是$\odot M$的半径，即$MD=2\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMD$中，$∠ AOB=30°$，
$\therefore$ 30°角所对的直角边$MD$等于斜边$OM$的$\frac{1}{2}$，即$MD=\frac{1}{2}OM$，
$\therefore OM=2MD=2×2=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
直线与圆相切的性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是抓住直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径这一关键条件，结合特殊直角三角形的边角关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD//BC,E为AB上的一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系?
答案
10. 如图,过点 E 作 $EF⊥ CD$ 于点 F。$\because DE$ 平分$∠ ADC$,$CE$ 平分$∠ BCD$,$∠ A = ∠ B=90°$,$\therefore EA=EF=EB=\frac{1}{2}AB$,$\therefore$ 以 AB 为直径的圆,即$\odot E$ 的圆心 E 到直线 CD 的距离等于半径,$\therefore$ 以 AB 为直径的圆与边 CD 相切
解析
【分析】
要判断以AB为直径的圆与CD的位置关系，需根据“圆心到直线的距离与半径的大小关系”分析：首先AB为直径，其圆心为AB中点，半径为$\frac{1}{2}AB$。题目给出了角平分线、垂直的已知条件，可联想到角平分线“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质，因此过E作CD的垂线EF，只需证明E是AB中点，且EF的长度等于$\frac{1}{2}AB$，即可得到圆心到CD的距离等于半径，进而判断位置关系。
【解析】
解：过点E作$EF⊥ CD$于点F。
$\because DE$平分$∠ ADC$，$∠ A=90°$，即$EA⊥ AD$，由角平分线的性质可得$EA=EF$。
同理，$\because CE$平分$∠ BCD$，$∠ B=90°$，即$EB⊥ BC$，由角平分线的性质可得$EB=EF$。
$\therefore EA=EF=EB$，即$EF=\frac{1}{2}AB$，且E为AB的中点。
因此以AB为直径的圆的圆心为E，半径为$\frac{1}{2}AB$，圆心E到CD的距离$EF$与半径长度相等，根据直线与圆相切的判定规则，可知该圆与边CD相切。
【答案】
如图,过点 E 作 $EF⊥ CD$ 于点 F。$\because DE$ 平分$∠ ADC$,$CE$ 平分$∠ BCD$,$∠ A = ∠ B=90°$,$\therefore EA=EF=EB=\frac{1}{2}AB$,$\therefore$ 以 AB 为直径的圆,即$\odot E$ 的圆心 E 到直线 CD 的距离等于半径,$\therefore$ 以 AB 为直径的圆与边 CD 相切
【知识点】
角平分线的性质；直线与圆相切的判定；圆的基本概念
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查角平分线性质和直线与圆位置关系的判定，解题的关键是合理作出垂直于CD的辅助线，通过角平分线性质建立距离和半径的等量关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要判断以AB为直径的圆与CD的位置关系，需根据“圆心到直线的距离与半径的大小关系”分析：首先AB为直径，其圆心为AB中点，半径为$\frac{1}{2}AB$。题目给出了角平分线、垂直的已知条件，可联想到角平分线“角平分线上的点到角两边距离相等”的性质，因此过E作CD的垂线EF，只需证明E是AB中点，且EF的长度等于$\frac{1}{2}AB$，即可得到圆心到CD的距离等于半径，进而判断位置关系。
【解析】
解：过点E作$EF⊥ CD$于点F。
$\because DE$平分$∠ ADC$，$∠ A=90°$，即$EA⊥ AD$，由角平分线的性质可得$EA=EF$。
同理，$\because CE$平分$∠ BCD$，$∠ B=90°$，即$EB⊥ BC$，由角平分线的性质可得$EB=EF$。
$\therefore EA=EF=EB$，即$EF=\frac{1}{2}AB$，且E为AB的中点。
因此以AB为直径的圆的圆心为E，半径为$\frac{1}{2}AB$，圆心E到CD的距离$EF$与半径长度相等，根据直线与圆相切的判定规则，可知该圆与边CD相切。
【答案】
如图,过点 E 作 $EF⊥ CD$ 于点 F。$\because DE$ 平分$∠ ADC$,$CE$ 平分$∠ BCD$,$∠ A = ∠ B=90°$,$\therefore EA=EF=EB=\frac{1}{2}AB$,$\therefore$ 以 AB 为直径的圆,即$\odot E$ 的圆心 E 到直线 CD 的距离等于半径,$\therefore$ 以 AB 为直径的圆与边 CD 相切
【知识点】
角平分线的性质；直线与圆相切的判定；圆的基本概念
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考查角平分线性质和直线与圆位置关系的判定，解题的关键是合理作出垂直于CD的辅助线，通过角平分线性质建立距离和半径的等量关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
