登录
阅读材料,完成下列探究。
如图(1),牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
[问题解决]
如图(2),作出点B关于直线l的对称点$B'$,根据轴对称的性质,可得$CB'=CB$。这样,问题就转化为:当点C在直线l的什么位置时,AC与$CB'$的和最小?
如图(3),在连接A,$B'$两点的线中,线段$AB'$最短。因此,线段$AB'$与直线l的交点C的位置即为所求。
[数学思考]
有很多问题都可用类似的方法去思考解决。
探究1:如图(4),在等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,E为AB的中点,P为AD上一动点。若$AD=12$,$AB=8\sqrt{3}$,则$△ PBE$周长的最小值为
探究2:如图(5),在$△ ABC$中,$AB=AC=4$,AD是边BC上的中线,E是AB上一动点,P为AD上一动点,$S_{△ ABC}=6$,则$PB+PE$的最小值为
如图(1),牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
[问题解决]
如图(2),作出点B关于直线l的对称点$B'$,根据轴对称的性质,可得$CB'=CB$。这样,问题就转化为:当点C在直线l的什么位置时,AC与$CB'$的和最小?
如图(3),在连接A,$B'$两点的线中,线段$AB'$最短。因此,线段$AB'$与直线l的交点C的位置即为所求。
[数学思考]
有很多问题都可用类似的方法去思考解决。
探究1:如图(4),在等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,E为AB的中点,P为AD上一动点。若$AD=12$,$AB=8\sqrt{3}$,则$△ PBE$周长的最小值为
12+4√3
;探究2:如图(5),在$△ ABC$中,$AB=AC=4$,AD是边BC上的中线,E是AB上一动点,P为AD上一动点,$S_{△ ABC}=6$,则$PB+PE$的最小值为
3
。答案
探究1. 12+4√3
探究2. 3
探究2. 3
解析
【分析】
这两道题均属于将军饮马最短路径模型的应用，解题核心是利用轴对称将同侧两条线段的和转化为异侧线段的和，再结合最短路径原理求解。
探究1思路：△PBE的周长=PE+PB+BE，其中BE是定值，因此只需找到PE+PB的最小值即可。由于等边三角形BC边上的高AD是BC的垂直平分线，因此点B与点C关于AD对称，可得PB=PC，将PE+PB转化为PE+PC，根据两点之间线段最短，当C、P、E共线时，PE+PC最小，等于CE的长度，最后加上固定长度BE即可得到最小周长。
探究2思路：等腰三角形ABC中，AD是BC边上的中线，因此AD垂直平分BC，点B与点C关于AD对称，可得PB=PC，将PB+PE转化为PC+PE，由于E是AB上的动点，根据垂线段最短，PC+PE的最小值为点C到AB的垂线段长度，利用三角形面积公式即可求出该高的长度。
【解析】
探究1
1. 计算定值BE：
∵ E为AB中点，$AB=8\sqrt{3}$，
∴ $BE=\frac{1}{2}AB=4\sqrt{3}$，为固定长度。
2. 转化线段求$PE+PB$的最小值：
∵ △ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴ AD垂直平分BC，点B与点C关于AD对称，
∴ $PB=PC$，即$PE+PB=PE+PC$。
根据两点之间线段最短，当C、P、E三点共线时，$PE+PC$取得最小值，最小值为CE的长度。
3. 计算CE的长度：
等边三角形三条边上的高相等，已知$AD=12$，故$CE=AD=12$。
4. 计算最小周长：
△PBE周长的最小值为 $PE+PB$的最小值$+BE=12+4\sqrt{3}$。
探究2
1. 转化线段：
∵ $AB=AC$，AD是BC边上的中线，
∴ AD垂直平分BC，点B与点C关于AD对称，
∴ $PB=PC$，即$PB+PE=PC+PE$。
2. 求最小值：
由于E是AB上的动点，根据垂线段最短，$PC+PE$的最小值为点C到AB的垂线段长度（即AB边上的高h）。
3. 用面积法计算高h：
已知$S_{△ ABC}=6$，$AB=4$，
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × h$，得 $6=\frac{1}{2}×4× h$，
解得$h=3$，即$PB+PE$的最小值为3。
【答案】
探究1：$\boldsymbol{12+4\sqrt{3}}$；探究2：$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 最短路径问题
3. 等腰（等边）三角形的性质
【点评】
本题是将军饮马模型的典型变式应用，解题关键是通过轴对称完成线段的等量转化，将未知最短路径问题转化为已知的“两点之间线段最短”“垂线段最短”问题，同时结合特殊三角形的性质、面积法简化计算，能有效考查学生的模型应用能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
这两道题均属于将军饮马最短路径模型的应用，解题核心是利用轴对称将同侧两条线段的和转化为异侧线段的和，再结合最短路径原理求解。
探究1思路：△PBE的周长=PE+PB+BE，其中BE是定值，因此只需找到PE+PB的最小值即可。由于等边三角形BC边上的高AD是BC的垂直平分线，因此点B与点C关于AD对称，可得PB=PC，将PE+PB转化为PE+PC，根据两点之间线段最短，当C、P、E共线时，PE+PC最小，等于CE的长度，最后加上固定长度BE即可得到最小周长。
探究2思路：等腰三角形ABC中，AD是BC边上的中线，因此AD垂直平分BC，点B与点C关于AD对称，可得PB=PC，将PB+PE转化为PC+PE，由于E是AB上的动点，根据垂线段最短，PC+PE的最小值为点C到AB的垂线段长度，利用三角形面积公式即可求出该高的长度。
【解析】
探究1
1. 计算定值BE：
∵ E为AB中点，$AB=8\sqrt{3}$，
∴ $BE=\frac{1}{2}AB=4\sqrt{3}$，为固定长度。
2. 转化线段求$PE+PB$的最小值：
∵ △ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴ AD垂直平分BC，点B与点C关于AD对称，
∴ $PB=PC$，即$PE+PB=PE+PC$。
根据两点之间线段最短，当C、P、E三点共线时，$PE+PC$取得最小值，最小值为CE的长度。
3. 计算CE的长度：
等边三角形三条边上的高相等，已知$AD=12$，故$CE=AD=12$。
4. 计算最小周长：
△PBE周长的最小值为 $PE+PB$的最小值$+BE=12+4\sqrt{3}$。
探究2
1. 转化线段：
∵ $AB=AC$，AD是BC边上的中线，
∴ AD垂直平分BC，点B与点C关于AD对称，
∴ $PB=PC$，即$PB+PE=PC+PE$。
2. 求最小值：
由于E是AB上的动点，根据垂线段最短，$PC+PE$的最小值为点C到AB的垂线段长度（即AB边上的高h）。
3. 用面积法计算高h：
已知$S_{△ ABC}=6$，$AB=4$，
由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × h$，得 $6=\frac{1}{2}×4× h$，
解得$h=3$，即$PB+PE$的最小值为3。
【答案】
探究1：$\boldsymbol{12+4\sqrt{3}}$；探究2：$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 最短路径问题
3. 等腰（等边）三角形的性质
【点评】
本题是将军饮马模型的典型变式应用，解题关键是通过轴对称完成线段的等量转化，将未知最短路径问题转化为已知的“两点之间线段最短”“垂线段最短”问题，同时结合特殊三角形的性质、面积法简化计算，能有效考查学生的模型应用能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
1. 如图，OC为$∠ AOB$内部一条射线，D为射线OC上一点，OD的长为2，E，F分别为射线OA，OB上的动点。若$△ DEF$周长的最小值为2，则$∠ AOB$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$35°$
A
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$35°$
答案
1. A
解析
【分析】
本题是利用轴对称求最短路径的典型问题，解题思路如下：①遇到两条射线上的动点求三角形周长最小值时，优先通过作对称点将折线段转化为直线段，依据“两点之间线段最短”确定周长最小值为两个对称点的连线长度；②结合轴对称的性质，得到两个对称点到点O的距离均等于OD，结合已知的周长最小值判断三角形形状，求出两个对称点与O形成的夹角的度数；③根据对称的角的等量关系，推导得出∠AOB是上述夹角的一半，最终计算出角度。
【解析】
解：作点D关于OA的对称点$D_1$，作点D关于OB的对称点$D_2$，连接$D_1D_2$，分别交OA、OB于点E、F，此时$△ DEF$的周长最小，最小值为$D_1D_2$的长度。
根据轴对称的性质可得：
$ED=ED_1$，$FD=FD_2$，$OD_1=OD=2$，$OD_2=OD=2$，$∠ D_1OA=∠ DOA$，$∠ D_2OB=∠ DOB$。
∴$△ DEF$的周长$=DE+EF+FD=D_1E+EF+FD_2=D_1D_2$，
由题知$△ DEF$周长的最小值为2，
∴$D_1D_2=2$。
∴$OD_1=OD_2=D_1D_2=2$，即$△ D_1OD_2$为等边三角形，
∴$∠ D_1OD_2=60°$。
又
∵$∠ D_1OD_2=∠ D_1OA+∠ DOA+∠ D_2OB+∠ DOB=2(∠ DOA+∠ DOB)=2∠ AOB$，
∴$2∠ AOB=60°$，解得$∠ AOB=30°$。
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题将最短路径问题与轴对称、等边三角形的知识点结合考查，解题核心是通过作对称点完成折线转直线的转化，再结合几何性质求解角度，属于几何部分的常规综合题型。
【难度系数】
0.6
本题是利用轴对称求最短路径的典型问题，解题思路如下：①遇到两条射线上的动点求三角形周长最小值时，优先通过作对称点将折线段转化为直线段，依据“两点之间线段最短”确定周长最小值为两个对称点的连线长度；②结合轴对称的性质，得到两个对称点到点O的距离均等于OD，结合已知的周长最小值判断三角形形状，求出两个对称点与O形成的夹角的度数；③根据对称的角的等量关系，推导得出∠AOB是上述夹角的一半，最终计算出角度。
【解析】
解：作点D关于OA的对称点$D_1$，作点D关于OB的对称点$D_2$，连接$D_1D_2$，分别交OA、OB于点E、F，此时$△ DEF$的周长最小，最小值为$D_1D_2$的长度。
根据轴对称的性质可得：
$ED=ED_1$，$FD=FD_2$，$OD_1=OD=2$，$OD_2=OD=2$，$∠ D_1OA=∠ DOA$，$∠ D_2OB=∠ DOB$。
∴$△ DEF$的周长$=DE+EF+FD=D_1E+EF+FD_2=D_1D_2$，
由题知$△ DEF$周长的最小值为2，
∴$D_1D_2=2$。
∴$OD_1=OD_2=D_1D_2=2$，即$△ D_1OD_2$为等边三角形，
∴$∠ D_1OD_2=60°$。
又
∵$∠ D_1OD_2=∠ D_1OA+∠ DOA+∠ D_2OB+∠ DOB=2(∠ DOA+∠ DOB)=2∠ AOB$，
∴$2∠ AOB=60°$，解得$∠ AOB=30°$。
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题将最短路径问题与轴对称、等边三角形的知识点结合考查，解题核心是通过作对称点完成折线转直线的转化，再结合几何性质求解角度，属于几何部分的常规综合题型。
【难度系数】
0.6
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BC=6$，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E，F。若D为BC的中点，M为线段EF上一动点，当$△ CDM$的周长取得最小值13时，$△ ABC$的面积为（
A.30
B.39
C.60
D.78
A
）A.30
B.39
C.60
D.78
答案
2. A
解析
【分析】
要解决本题，首先拆分△CDM的周长：周长=CD+DM+CM，其中CD是固定值（D是BC中点，BC=6，故CD=3），因此只需让DM+CM最小即可得到周长最小值。根据线段垂直平分线的性质，EF是AC的垂直平分线，所以点M到C的距离等于到A的距离，即CM=AM，可将DM+CM转化为DM+AM。根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM的最小值为AD的长度。再结合等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的高，最后用三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
解：
1. 求CD的长度：
∵ D为BC的中点，BC=6
∴ $CD=\frac{1}{2}BC=3$
2. 利用垂直平分线性质转化线段：
∵ EF是AC的垂直平分线，M在EF上
∴ $MA=MC$
则△CDM的周长 $=CD + DM + MC = 3 + DM + MA$
3. 求周长最小时的AD长度：
要使△CDM周长最小，需DM+MA最小，根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+MA取得最小值，最小值为线段AD的长。
已知△CDM周长最小值为13，因此：
$3 + AD = 13$，解得 $AD=10$
4. 利用等腰三角形性质确定AD为高：
∵ $AB=AC$，D为BC中点
∴ $AD⊥ BC$（等腰三角形三线合一）
5. 计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × AD = \frac{1}{2}× 6 × 10 = 30$
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；最短路径问题
【点评】
本题是几何最值类的典型基础题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段转化，将动态线段和的最值问题转化为静态线段长度计算，再结合等腰三角形的性质求出高，进而计算面积，对学生的转化思想有一定考察。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先拆分△CDM的周长：周长=CD+DM+CM，其中CD是固定值（D是BC中点，BC=6，故CD=3），因此只需让DM+CM最小即可得到周长最小值。根据线段垂直平分线的性质，EF是AC的垂直平分线，所以点M到C的距离等于到A的距离，即CM=AM，可将DM+CM转化为DM+AM。根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM的最小值为AD的长度。再结合等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的高，最后用三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
解：
1. 求CD的长度：
∵ D为BC的中点，BC=6
∴ $CD=\frac{1}{2}BC=3$
2. 利用垂直平分线性质转化线段：
∵ EF是AC的垂直平分线，M在EF上
∴ $MA=MC$
则△CDM的周长 $=CD + DM + MC = 3 + DM + MA$
3. 求周长最小时的AD长度：
要使△CDM周长最小，需DM+MA最小，根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+MA取得最小值，最小值为线段AD的长。
已知△CDM周长最小值为13，因此：
$3 + AD = 13$，解得 $AD=10$
4. 利用等腰三角形性质确定AD为高：
∵ $AB=AC$，D为BC中点
∴ $AD⊥ BC$（等腰三角形三线合一）
5. 计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × AD = \frac{1}{2}× 6 × 10 = 30$
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；最短路径问题
【点评】
本题是几何最值类的典型基础题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段转化，将动态线段和的最值问题转化为静态线段长度计算，再结合等腰三角形的性质求出高，进而计算面积，对学生的转化思想有一定考察。
【难度系数】
0.7
