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21. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD // BC$,$AB = AD$,$\angle BAD的平分线交BC于点E$,连结$DE$。
(1)求证：四边形$ABED$是菱形；
(2)连结$BD$。若$CE = 2BE$,$AE = 4$,$BD = 6$,则$\triangle CDE$的面积是______。
(1)求证：四边形$ABED$是菱形；
(2)连结$BD$。若$CE = 2BE$,$AE = 4$,$BD = 6$,则$\triangle CDE$的面积是______。
答案
1. （1）**证明四边形$ABED$是菱形**：
因为$AD// BC$，所以$\angle DAE=\angle AEB$。
又因为$AE$平分$\angle BAD$，所以$\angle BAE = \angle DAE$，则$\angle BAE=\angle AEB$。
根据等角对等边，可得$AB = BE$。
已知$AB = AD$，所以$AD = BE$。
又因为$AD// BE$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ABED$是平行四边形。
又因为$AB = AD$，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形$ABED$是菱形。
2. （2）**求$\triangle CDE$的面积**：
设$BE=x$，因为$CE = 2BE$，所以$CE = 2x$，$BC=BE + CE=3x$。
因为四边形$ABED$是菱形，所以$AD = BE=x$，$AB = BE=x$，$DE = AB=x$，$AE\perp BD$，设$AE$与$BD$相交于点$O$。
因为菱形的对角线互相垂直平分，所以$BO=\frac{1}{2}BD = 3$，$AO=\frac{1}{2}AE = 2$。
在$Rt\triangle AOB$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = AO$，$b = BO$，$c = AB$），可得$x=\sqrt{AO^{2}+BO^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$。
因为$AD// BC$，所以$\triangle AOD\sim\triangle EOB$，且相似比$k=\frac{AD}{BE}=1$（因为$AD = BE$），所以$S_{\triangle AOD}=S_{\triangle EOB}$。
菱形$ABED$的面积$S_{ABED}=\frac{1}{2}AE\cdot BD=\frac{1}{2}×4×6 = 12$。
因为$AD// BC$，所以$\triangle ADE$与$\triangle CDE$的高$h$相等（两平行线间的距离处处相等）。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{AD}{CE}$。
因为$AD = BE$，$CE = 2BE$，所以$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{1}{2}$。
又因为$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}S_{ABED}=6$（菱形的一条对角线把菱形分成两个面积相等的三角形）。
设$S_{\triangle CDE}=y$，则$\frac{6}{y}=\frac{1}{2}$，解得$y = 12$。
故$\triangle CDE$的面积是$12$。
因为$AD// BC$，所以$\angle DAE=\angle AEB$。
又因为$AE$平分$\angle BAD$，所以$\angle BAE = \angle DAE$，则$\angle BAE=\angle AEB$。
根据等角对等边，可得$AB = BE$。
已知$AB = AD$，所以$AD = BE$。
又因为$AD// BE$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ABED$是平行四边形。
又因为$AB = AD$，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形$ABED$是菱形。
2. （2）**求$\triangle CDE$的面积**：
设$BE=x$，因为$CE = 2BE$，所以$CE = 2x$，$BC=BE + CE=3x$。
因为四边形$ABED$是菱形，所以$AD = BE=x$，$AB = BE=x$，$DE = AB=x$，$AE\perp BD$，设$AE$与$BD$相交于点$O$。
因为菱形的对角线互相垂直平分，所以$BO=\frac{1}{2}BD = 3$，$AO=\frac{1}{2}AE = 2$。
在$Rt\triangle AOB$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = AO$，$b = BO$，$c = AB$），可得$x=\sqrt{AO^{2}+BO^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$。
因为$AD// BC$，所以$\triangle AOD\sim\triangle EOB$，且相似比$k=\frac{AD}{BE}=1$（因为$AD = BE$），所以$S_{\triangle AOD}=S_{\triangle EOB}$。
菱形$ABED$的面积$S_{ABED}=\frac{1}{2}AE\cdot BD=\frac{1}{2}×4×6 = 12$。
因为$AD// BC$，所以$\triangle ADE$与$\triangle CDE$的高$h$相等（两平行线间的距离处处相等）。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{AD}{CE}$。
因为$AD = BE$，$CE = 2BE$，所以$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{1}{2}$。
又因为$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}S_{ABED}=6$（菱形的一条对角线把菱形分成两个面积相等的三角形）。
设$S_{\triangle CDE}=y$，则$\frac{6}{y}=\frac{1}{2}$，解得$y = 12$。
故$\triangle CDE$的面积是$12$。
22. 已知$A$、$B$两地之间有一条公路。甲车从$A地出发匀速开往B$地,甲车出发$2h$后,乙车从$B地出发匀速开往A$地,甲车出发$6h$,两车同时到达各自的目的地。两车行驶的路程之和$y(km)与甲车行驶的时间x$(时)之间的函数关系如图所示。
(1)甲车的速度为______$km/h$,$a$的值为______；
(2)求乙车出发后,$y与x$之间的函数解析式；
(3)当甲、乙两车相距$100km$时,求甲车行驶的时间。
(1)甲车的速度为______$km/h$,$a$的值为______；
(2)求乙车出发后,$y与x$之间的函数解析式；
(3)当甲、乙两车相距$100km$时,求甲车行驶的时间。
答案
(1)40 480
(2)设$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b$.
由图可知，函数图象经过点$(2,80)$，$(6,480)$，
所以$\begin{cases}2k + b = 80,\\6k + b = 480.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 100,\\b = - 120.\end{cases}$
所以$y$与$x$之间的函数解析式为$y = 100x - 120$.
(3)两车相遇前：$100x - 120 = 240 - 100$，解得$x = \frac{13}{5}$.
两车相遇后：$100x - 120 = 240 + 100$，解得$x = \frac{23}{5}$.
答：当甲、乙两车相距$100km$时，甲车行驶的时间是$\frac{13}{5}h$或$\frac{23}{5}h$.
(2)设$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b$.
由图可知，函数图象经过点$(2,80)$，$(6,480)$，
所以$\begin{cases}2k + b = 80,\\6k + b = 480.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 100,\\b = - 120.\end{cases}$
所以$y$与$x$之间的函数解析式为$y = 100x - 120$.
(3)两车相遇前：$100x - 120 = 240 - 100$，解得$x = \frac{13}{5}$.
两车相遇后：$100x - 120 = 240 + 100$，解得$x = \frac{23}{5}$.
答：当甲、乙两车相距$100km$时，甲车行驶的时间是$\frac{13}{5}h$或$\frac{23}{5}h$.
