登录
21. 如图 10，在 $ \square A B C D $ 中，$ B D \perp A D $，$ \angle A = 45 ^ { \circ } $，$ E $，$ F $ 分别是 $ A B $，$ C D $ 上的点，且 $ B E = D F $，连接 $ E F $ 交 $ B D $ 于点 $ O $.
（1）求证：$ B O = D O $.
（2）若 $ E F \perp A B $，延长 $ E F $ 交 $ A D $ 的延长线于点 $ G $，当 $ F G = 1 $ 时，求 $ A E $ 的长.
（1）求证：$ B O = D O $.
（2）若 $ E F \perp A B $，延长 $ E F $ 交 $ A D $ 的延长线于点 $ G $，当 $ F G = 1 $ 时，求 $ A E $ 的长.
答案
【解析】：
### $(1)$ 证明$BO = DO$
已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行，可得$DC// AB$。
由$DC// AB$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle ODF=\angle OBE$。
在$\triangle ODF$和$\triangle OBE$中：
$\begin{cases}\angle DOF=\angle BOE\\\angle ODF=\angle OBE\\DF = BE\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ODF\cong\triangle OBE$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$BO = DO$。
### $(2)$ 求$AE$的长
**步骤一：求$DG$的长**
因为$BD\perp AD$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，又因为$\angle A = 45^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABD=\angle A = 45^{\circ}$。
因为$EF\perp AB$，所以$\angle G=\angle A = 45^{\circ}$，则$\triangle ODG$与$\triangle GDF$都是等腰直角三角形。
已知$FG = 1$，在等腰直角三角形$GDF$中，根据等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两直角边相等，可得$DF = DG = 1$。
**步骤二：求$OF$的长**
由$(1)$知$\triangle ODF\cong\triangle OBE$，所以$OE = OF$。
因为$AB// CD$，$EF\perp AB$，所以$EF\perp CD$，即$\angle DFO = 90^{\circ}$。
又因为$\angle G = 45^{\circ}$，所以$\triangle DFG$是等腰直角三角形，且$\triangle DOF$也是等腰直角三角形，那么$OF = DF = 1$，所以$EF=OE + OF = 2$。
**步骤三：求$GE$的长**
因为$\angle G = 45^{\circ}$，$\angle AEG = 90^{\circ}$，所以$\triangle AEG$是等腰直角三角形。
又因为$EF = 2$，$FG = 1$，所以$GE=EF + FG = 3$。
**步骤四：求$AE$的长**
在等腰直角三角形$AEG$中，根据等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两直角边相等，可得$AE = GE = 3$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{3}$
### $(1)$ 证明$BO = DO$
已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行，可得$DC// AB$。
由$DC// AB$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle ODF=\angle OBE$。
在$\triangle ODF$和$\triangle OBE$中：
$\begin{cases}\angle DOF=\angle BOE\\\angle ODF=\angle OBE\\DF = BE\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ODF\cong\triangle OBE$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$BO = DO$。
### $(2)$ 求$AE$的长
**步骤一：求$DG$的长**
因为$BD\perp AD$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，又因为$\angle A = 45^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABD=\angle A = 45^{\circ}$。
因为$EF\perp AB$，所以$\angle G=\angle A = 45^{\circ}$，则$\triangle ODG$与$\triangle GDF$都是等腰直角三角形。
已知$FG = 1$，在等腰直角三角形$GDF$中，根据等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两直角边相等，可得$DF = DG = 1$。
**步骤二：求$OF$的长**
由$(1)$知$\triangle ODF\cong\triangle OBE$，所以$OE = OF$。
因为$AB// CD$，$EF\perp AB$，所以$EF\perp CD$，即$\angle DFO = 90^{\circ}$。
又因为$\angle G = 45^{\circ}$，所以$\triangle DFG$是等腰直角三角形，且$\triangle DOF$也是等腰直角三角形，那么$OF = DF = 1$，所以$EF=OE + OF = 2$。
**步骤三：求$GE$的长**
因为$\angle G = 45^{\circ}$，$\angle AEG = 90^{\circ}$，所以$\triangle AEG$是等腰直角三角形。
又因为$EF = 2$，$FG = 1$，所以$GE=EF + FG = 3$。
**步骤四：求$AE$的长**
在等腰直角三角形$AEG$中，根据等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两直角边相等，可得$AE = GE = 3$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{3}$
22. 早晨，小明步行到离家 900 米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校. 已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多 10 分钟，小明骑自行车的速度是步行速度的 3 倍.
（1）求小明步行的速度（单位：米/分）是多少.
（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的 2 倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？
（1）求小明步行的速度（单位：米/分）是多少.
（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的 2 倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？
答案
【解析】：
（1）设小明步行的速度是$x$米/分，因为小明骑自行车的速度是步行速度的$3$倍，则骑自行车的速度是$3x$米/分。
根据时间$=$路程$\div$速度，小明步行从学校到家的时间为$\dfrac{900}{x}$分钟，骑自行车从家到学校的时间为$\dfrac{900}{3x}$分钟。
已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多$10$分钟，可列方程：
$\dfrac{900}{x}-\dfrac{900}{3x}=10$
方程两边同乘$3x$去分母得：
$900\times3 - 900 = 10\times3x$
$2700 - 900 = 30x$
$1800 = 30x$
解得$x = 60$。
经检验，当$x = 60$时，$3x=3\times60 = 180\neq0$，$x = 60$是原分式方程的解，且符合题意。
所以小明步行的速度是$60$米/分。
（2）由（1）可知小明骑自行车的速度是$3\times60 = 180$米/分，那么小明骑自行车从学校到家的时间为$\dfrac{900}{180}=5$分钟。
设小明家与图书馆之间的路程是$y$米，小明步行的速度是$60$米/分，根据时间$=$路程$\div$速度，小明步行从家到图书馆的时间为$\dfrac{y}{60}$分钟。
因为小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的$2$倍，所以$\dfrac{y}{60}\leq2\times5$，即$\dfrac{y}{60}\leq10$，两边同时乘以$60$得$y\leq600$。
所以小明家与图书馆之间的路程最多是$600$米。
【答案】：（1）$60$米/分；（2）$600$米
（1）设小明步行的速度是$x$米/分，因为小明骑自行车的速度是步行速度的$3$倍，则骑自行车的速度是$3x$米/分。
根据时间$=$路程$\div$速度，小明步行从学校到家的时间为$\dfrac{900}{x}$分钟，骑自行车从家到学校的时间为$\dfrac{900}{3x}$分钟。
已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多$10$分钟，可列方程：
$\dfrac{900}{x}-\dfrac{900}{3x}=10$
方程两边同乘$3x$去分母得：
$900\times3 - 900 = 10\times3x$
$2700 - 900 = 30x$
$1800 = 30x$
解得$x = 60$。
经检验，当$x = 60$时，$3x=3\times60 = 180\neq0$，$x = 60$是原分式方程的解，且符合题意。
所以小明步行的速度是$60$米/分。
（2）由（1）可知小明骑自行车的速度是$3\times60 = 180$米/分，那么小明骑自行车从学校到家的时间为$\dfrac{900}{180}=5$分钟。
设小明家与图书馆之间的路程是$y$米，小明步行的速度是$60$米/分，根据时间$=$路程$\div$速度，小明步行从家到图书馆的时间为$\dfrac{y}{60}$分钟。
因为小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的$2$倍，所以$\dfrac{y}{60}\leq2\times5$，即$\dfrac{y}{60}\leq10$，两边同时乘以$60$得$y\leq600$。
所以小明家与图书馆之间的路程最多是$600$米。
【答案】：（1）$60$米/分；（2）$600$米
