1. (2024·苏州期末)若关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+m=0$有两个不相等的正实数根,则m可能的值是 ()

A.5
B.3
C.0
D.-1

B

对于方程 $x^2 - 4x + m = 0$，首先判别式需要大于 0，即$\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 4m ＞ 0$，
解得$m ＜ 4$。
其次，由于方程有两个正实数根，设这两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，根据韦达定理，有$x_1 + x_2 = 4 ＞ 0$，$x_1 \cdot x_2 = m ＞ 0$。
综合以上条件，得到 $0 ＜ m ＜ 4$（$m$也可能会取到边界0，当$m=0$时，方程为$x^2-4x=0$，解得$x=0$或$x=4$，此时方程的根为两个非负实数根，不满足正实数根的条件，故排除$m=0$的情况），在选项中只有$m=3$满足条件。

2. (易错题)(2024·内江)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-px+1=0$(p为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$.若$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,则p的值为 ()

A.-1
B.3
C.1或-3
D.-1或3

B

∵方程$x^2 - px + 1 = 0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = p^2 - 4 ＞ 0$，解得$p ＞ 2$或$p ＜ -2$。
由根与系数关系得：$x_1 + x_2 = p$，$x_1x_2 = 1$。
∵$x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$，且$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
∴$p^2 - 2×1 = 2p + 1$，整理得$p^2 - 2p - 3 = 0$。
解得$p = 3$或$p = -1$。
∵$p ＞ 2$或$p ＜ -2$，∴$p = -1$舍去，$p = 3$。

3. (2023·岳阳)已知关于x的方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m+2=0$有两个不相等的实数根$x_{1}$、$x_{2}$,且$x_{1}+x_{2}+x_{1}\cdot x_{2}=2$,则m的值为.

3

∵方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m+2=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta=(2m)^2 - 4×1×(m^2 - m + 2)=4m - 8 ＞ 0$，解得$m ＞ 2$。
由根与系数关系得：$x_1 + x_2=-2m$，$x_1x_2=m^2 - m + 2$。
∵$x_1 + x_2 + x_1x_2=2$，
∴$-2m + (m^2 - m + 2)=2$，整理得$m^2 - 3m=0$，
解得$m=0$或$m=3$。
∵$m ＞ 2$，∴$m=3$。

4. 设$x_{1}$、$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+5x-3=0$的两个实数根,且$2x_{1}(x_{2}^{2}+6x_{2}-3)+a=4$,则a的值为.

10

因为$x_2$是方程$x^2 + 5x - 3 = 0$的根，所以$x_2^2 + 5x_2 - 3 = 0$，即$x_2^2 = -5x_2 + 3$。则$x_2^2 + 6x_2 - 3 = (-5x_2 + 3) + 6x_2 - 3 = x_2$。原式可化为$2x_1 \cdot x_2 + a = 4$。由韦达定理得$x_1x_2 = -3$，代入得$2×(-3) + a = 4$，解得$a = 10$。

5. (2023·襄阳)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+3-k=0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若方程的两个实数根分别为α、β,且$k^{2}=αβ+3k$,求k的值.

(1) 方程 $x^{2}+2x+3-k=0$ 有两个不相等的实数根，则判别式 $\Delta ＞ 0$。
$\Delta = 2^{2} - 4 × 1 × (3 - k) = 4 - 12 + 4k = 4k - 8$
由 $\Delta ＞ 0$ 得：
$4k - 8 ＞ 0$
$4k ＞ 8$
$k ＞ 2$
(2) 方程的两个实数根为 $\alpha$、$\beta$，由根与系数的关系得：
$\alpha + \beta = -2$
$\alpha\beta = 3 - k$
代入 $k^{2} = \alpha\beta + 3k$ 得：
$k^{2} = 3 - k + 3k$
$k^{2} - 2k - 3 = 0$
$(k - 3)(k + 1) = 0$
$k = 3 \quad 或 \quad k = -1$
由于 $k ＞ 2$，所以 $k = 3$。

6. 若关于x的一元二次方程$x^{2}-2mx+m^{2}-4m-1=0$有两个实数根$x_{1}$、$x_{2}$,且$(x_{1}+2)(x_{2}+2)-2x_{1}x_{2}=17$,求m的值.

1. 对于方程$x^{2}-2mx+m^{2}-4m-1=0$，其中$a=1$，$b=-2m$，$c=m^{2}-4m-1$。
2. 判别式$\Delta =b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4×1×(m^{2}-4m-1)=16m + 4$，因方程有两个实数根，故$\Delta\geq0$，即$16m + 4\geq0$，解得$m\geq-\frac{1}{4}$。
3. 由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=2m$，$x_{1}x_{2}=m^{2}-4m-1$。
4. 化简$(x_{1}+2)(x_{2}+2)-2x_{1}x_{2}$：$\begin{aligned}&(x_{1}+2)(x_{2}+2)-2x_{1}x_{2}\\=&x_{1}x_{2}+2x_{1}+2x_{2}+4 - 2x_{1}x_{2}\\=&-x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2}) + 4\end{aligned}$
5. 代入韦达定理：$\begin{aligned}&-(m^{2}-4m-1)+2×2m + 4 = 17\\&-m^{2}+4m + 1 + 4m + 4 = 17\\&-m^{2}+8m - 12 = 0\\&m^{2}-8m + 12 = 0\end{aligned}$
6. 解方程$m^{2}-8m + 12 = 0$，得$(m - 2)(m - 6)=0$，即$m=2$或$m=6$。
7. 因$2\geq-\frac{1}{4}$，$6\geq-\frac{1}{4}$，均满足条件。
$m=2$或$m=6$

7. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2(k-1)x+k^{2}+3=0$的两个实数根分别为$x_{1}$、$x_{2}$,设$t=\frac {x_{1}+x_{2}}{k}$,则t的最大值为 ()

A.-2
B.2
C.-4
D.4

D

∵方程有两个实数根，∴判别式$\Delta \geq 0$。
对于方程$x^2 - 2(k - 1)x + k^2 + 3 = 0$，
$\Delta = [-2(k - 1)]^2 - 4(k^2 + 3) = 4(k^2 - 2k + 1) - 4k^2 - 12 = -8k - 8$，
由$\Delta \geq 0$得$-8k - 8 \geq 0$，解得$k \leq -1$。
由韦达定理，$x_1 + x_2 = 2(k - 1)$，
则$t = \frac{x_1 + x_2}{k} = \frac{2(k - 1)}{k} = 2 - \frac{2}{k}$。
∵$k \leq -1$，∴$\frac{1}{k} \in [-1, 0)$，$-\frac{2}{k} \in (0, 2]$，
当$k = -1$时，$-\frac{2}{k} = 2$，此时$t = 2 + 2 = 4$，即t的最大值为4。