1. 已知直角三角形一条直角边的长与斜边的长之比为 $ 3:5 $，另一条直角边的长为 24，则该直角三角形的周长为(
A.68
B.72
C.80
D.100
B
)A.68
B.72
C.80
D.100
答案
1.B
解析
设直角三角形的一条直角边为$3x$，斜边为$5x$。
根据勾股定理，另一条直角边的平方为$(5x)^2 - (3x)^2 = 25x^2 - 9x^2 = 16x^2$，则另一条直角边为$4x$。
已知另一条直角边的长为24，即$4x = 24$，解得$x = 6$。
所以直角边分别为$3x = 18$，$4x = 24$，斜边为$5x = 30$。
该直角三角形的周长为$18 + 24 + 30 = 72$。
B
根据勾股定理，另一条直角边的平方为$(5x)^2 - (3x)^2 = 25x^2 - 9x^2 = 16x^2$，则另一条直角边为$4x$。
已知另一条直角边的长为24，即$4x = 24$，解得$x = 6$。
所以直角边分别为$3x = 18$，$4x = 24$，斜边为$5x = 30$。
该直角三角形的周长为$18 + 24 + 30 = 72$。
B
2. (2023·随州)如图，在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，$ AC = 8 $，$ BC = 6 $，$ D $ 为 $ AC $ 上一点. 若 $ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线，则 $ AD $ 的长为(
A.4
B.$ \frac{9}{2} $
C.5
D.$ \frac{11}{2} $
C
)A.4
B.$ \frac{9}{2} $
C.5
D.$ \frac{11}{2} $
答案
2.C
解析
解：在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=8$，$BC=6$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$。
过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$\angle C=90^{\circ}$，$DE\perp AB$，
所以$DE=DC$。
设$AD=x$，则$DC=DE=8 - x$。
在$\triangle ADE$和$\triangle ABC$中，$\angle A=\angle A$，$\angle AED=\angle C=90^{\circ}$，
所以$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
所以$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{8 - x}{6}=\frac{x}{10}$。
解得$x = 5$，即$AD$的长为$5$。
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$。
过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$\angle C=90^{\circ}$，$DE\perp AB$，
所以$DE=DC$。
设$AD=x$，则$DC=DE=8 - x$。
在$\triangle ADE$和$\triangle ABC$中，$\angle A=\angle A$，$\angle AED=\angle C=90^{\circ}$，
所以$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
所以$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{8 - x}{6}=\frac{x}{10}$。
解得$x = 5$，即$AD$的长为$5$。
3. (整体思想)如图，在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ AB = 4 $，分别以 $ AC $，$ BC $ 为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为 $ S_1 $，$ S_2 $，则 $ S_1 + S_2 $ 的值为
$2\pi$
.答案
3.$2\pi$
解析
解：在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 4$，由勾股定理得$AC^2 + BC^2 = AB^2 = 16$。
$S_1$为以$AC$为直径的半圆面积，$S_1=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{AC}{2}\right)^2=\frac{\pi AC^2}{8}$；
$S_2$为以$BC$为直径的半圆面积，$S_2=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{BC}{2}\right)^2=\frac{\pi BC^2}{8}$。
则$S_1 + S_2=\frac{\pi AC^2}{8}+\frac{\pi BC^2}{8}=\frac{\pi(AC^2 + BC^2)}{8}=\frac{\pi×16}{8}=2\pi$。
$2\pi$
$S_1$为以$AC$为直径的半圆面积，$S_1=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{AC}{2}\right)^2=\frac{\pi AC^2}{8}$；
$S_2$为以$BC$为直径的半圆面积，$S_2=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{BC}{2}\right)^2=\frac{\pi BC^2}{8}$。
则$S_1 + S_2=\frac{\pi AC^2}{8}+\frac{\pi BC^2}{8}=\frac{\pi(AC^2 + BC^2)}{8}=\frac{\pi×16}{8}=2\pi$。
$2\pi$
4. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ \angle BAC $ 的平分线 $ AD $ 交 $ BC $ 于点 $ D $，$ E $ 为 $ AB $ 的中点. 若 $ BC = 12 $，$ AD = 8 $，则 $ DE $ 的长为
5
.答案
4.5
解析
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=DC= $\frac{1}{2}$BC=6。
在Rt△ABD中，AB=$\sqrt{AD^2 + BD^2}$=$\sqrt{8^2 + 6^2}$=10。
∵E为AB中点，在Rt△ABD中，DE=$\frac{1}{2}$AB=5。
5
5. (2023·天津)如图，在 $ \triangle ABC $ 中，按照尺规作图痕迹作直线 $ MN $，分别与边 $ BC $，$ AC $ 相交于点 $ D $，$ E $，连接 $ AD $. 若 $ BD = DC $，$ AE = 4 $，$ AD = 5 $，则 $ AB $ 的长为
6
.答案
5.6
6. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，$ \triangle ABC $ 的三个顶点 $ A $，$ B $，$ C $ 均在格点上，则点 $ C $ 到 $ AB $ 的距离为
$\frac{8}{5}$
.答案
6.$\frac{8}{5}$ 解析:设点C到AB的距离为h.由勾股定理,得$AB^{2}=3^{2}+4^{2}=25$,$\therefore AB = 5$.根据$\triangle ABC$的面积公式,得$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5h$,解得$h = \frac{8}{5}$.$\therefore$点C到AB的距离为$\frac{8}{5}$.
7. (方程思想)如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠. 若 $ BC = 9 $，$ CD = 3 $，则涂色部分的面积为
$\frac{15}{2}$
.答案
7.$\frac{15}{2}$
解析
解：设 $ AF = x $，则 $ FD = 9 - x $。
由折叠性质知 $ \angle EDB = \angle CDB $，又 $ AD // BC $，故 $ \angle ADB = \angle DBC $，从而 $ \angle FBD = \angle FDB $，所以 $ FB = FD = 9 - x $。
在 $ Rt\triangle ABF $ 中，$ AB = CD = 3 $，由勾股定理得：$ x^2 + 3^2 = (9 - x)^2 $。
解得 $ x = 4 $，则 $ FD = 9 - 4 = 5 $。
涂色部分面积为 $ S_{\triangle FBD} = \frac{1}{2} × FD × AB = \frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{15}{2} $。
$\frac{15}{2}$
由折叠性质知 $ \angle EDB = \angle CDB $，又 $ AD // BC $，故 $ \angle ADB = \angle DBC $，从而 $ \angle FBD = \angle FDB $，所以 $ FB = FD = 9 - x $。
在 $ Rt\triangle ABF $ 中，$ AB = CD = 3 $，由勾股定理得：$ x^2 + 3^2 = (9 - x)^2 $。
解得 $ x = 4 $，则 $ FD = 9 - 4 = 5 $。
涂色部分面积为 $ S_{\triangle FBD} = \frac{1}{2} × FD × AB = \frac{1}{2} × 5 × 3 = \frac{15}{2} $。
$\frac{15}{2}$
8. 如图，$ \triangle ADE $ 和 $ \triangle ACB $ 是两直角边的长分别为 $ a $，$ b $，斜边的长为 $ c $ 的全等的直角三角形，$ \angle DAB = 90^{\circ} $，连接 $ CD $. 求证：$ a^2 + b^2 = c^2 $.
答案
8.如图,连接DB,过点D作$DF\perp BC$,交BC的延长线于点F,则$DF = EC = b - a$.$\because S_{四边形ADCB}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab$,又$\because S_{四边形ADCB}=S_{\triangle ADB}+S_{\triangle DCB}=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$,$\therefore\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$,$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$
