7. 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,根据尺规作图的痕迹作射线AE,交BD于点I,连接CI,则下列说法错误的是()

A.点I到边AB,AC的距离相等
B.CI平分∠ACB
C.∠DIE=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB
D.点I到A,B,C三点的距离相等
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7.D

证明：由尺规作图痕迹可知，AE平分∠BAC。
∵BD平分∠ABC，AE平分∠BAC，
∴点I是△ABC的内心。
A.
∵点I是△ABC的内心，
∴点I到边AB,AC的距离相等，A正确；
B.
∵点I是△ABC的内心，
∴CI平分∠ACB，B正确；
C.
∵∠DIE=∠IBC+∠ICB+∠ACB=∠IBC+∠ICB+∠ACB，∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠DIE=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB+∠ACB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)+∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)+∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC+∠ACB，无法得出∠DIE=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB，C错误；
D.
∵点I是△ABC的内心，内心到三角形三边距离相等，外心到三角形三个顶点距离相等，
∴点I到A,B,C三点的距离不一定相等，D错误。
综上，说法错误的是D。
答案：D

8. 如图,AB//CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离为.
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8.4

解：过点$P$作$PE\perp BC$于点$E$。
因为$AB// CD$，$AD\perp AB$，所以$AD\perp CD$。
因为$BP$平分$\angle ABC$，$PE\perp BC$，$PA\perp AB$，所以$PE=PA$。
同理，$PE=PD$。
所以$PA=PD$，即$P$为$AD$中点。
因为$AD=8$，所以$PA=PD=4$，则$PE=4$。
故点$P$到$BC$的距离为$4$。
$4$

9. 如图,射线BG把△ABC分成两个三角形,AB=8,BC=12,$S_{1}:S_{2}=2:3$.若∠A+∠C=100°,则∠ABG的度数为.
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9.40°

解：在△ABC中，∠A+∠C=100°，
∠ABC=180°-(∠A+∠C)=80°.
设点B到AC的距离为h，
则S₁=$\frac{1}{2}$·AG·h，S₂=$\frac{1}{2}$·GC·h，
∵S₁:S₂=2:3，
∴AG:GC=2:3.
设AG=2k，GC=3k，则AC=5k.
过G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，
∵$\frac{S_{\triangle ABG}}{S_{\triangle CBG}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot GM}{\frac{1}{2}BC\cdot GN}=\frac{8\cdot GM}{12\cdot GN}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{GM}{GN}=1$，即GM=GN，
∴BG平分∠ABC，
∠ABG=$\frac{1}{2}$∠ABC=40°.
40°

10. 如图,OD平分∠AOB,OA=OB,PM⊥BD于点M,PN⊥AD于点N,求证:PM=PN.
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10.
∵OD平分∠AOB,
∴∠BOD=∠AOD.在△BOD和△AOD中$,\begin{cases}OB=OA,\\∠BOD=∠AOD,\\OD=OD,\end{cases}$
∴△BOD≌△AOD(SAS),
∴∠BDO=∠ADO,即DP平分∠BDA.又
∵PM⊥BD,PN⊥AD,
∴PM=PN

11. 如图,AD//BC,CD⊥AD,AE平分∠BAD,且E是DC的中点,EF⊥AB于点F.AD,BC与AB之间有什么数量关系? 请说明理由.
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11.AD+BC=AB　理由:连接BE.
∵AE平分∠BAD,CD⊥AD,EF⊥AB,
∴∠D=∠AFE=∠BFE=90°,DE=FE.在Rt△ADE和Rt△AFE中$,\begin{cases}AE=AE,\\DE=FE,\end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△AFE(HL),
∴AD=AF.
∵AD//BC,CD⊥AD,
∴CD⊥BC,
∴∠C=∠BFE=90°.又
∵E是DC的中点,
∴CE=DE,
∴FE=CE.在Rt△BEF和Rt△BEC中$,\begin{cases}BE=BE,\\FE=CE,\end{cases}$
∴Rt△BEF≌Rt△BEC(HL),
∴BF=BC,
∴AD+BC=AF+BF=AB.