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12. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是______．
答案
7或25
13. 如图，$AE⊥BC$，$DF⊥BC$，垂足分别为$E$，$F$，$AE=DF$，$AB=DC$，则$△$______$\cong △$______（$HL$）．
答案
$ABE$ $DCF$
14. 如图，四边形$ABCD$中，$∠BAD=∠ACB=90^{\circ }$，$AB=AD$，$AC=4BC$，若$CD$的长为5，则四边形$ABCD$的面积为______．
答案
$8$
15. 如图，在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ }$，$BC=2cm$，$CD⊥AB$，在$AC$上取一点$E$，使$EC=BC$，过点$E$作$EF⊥AC$交$CD$的延长线于点$F$，若$EF=5cm$，则$AE=$______$cm$．
答案
$3$
16. 如图，某测量船位于海岛$P$的北偏西$60^{\circ }$方向，距离海岛$100n mile$的$A$处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛$P$的西南方向上的$B$处．求测量船从$A$处航行到$B$处的路程（结果保留根号）．
答案
【解析】：
过点$P$作$PC\perp AB$于点$C$。
在$Rt\triangle APC$中，$\angle A = 60^{\circ}$，$AP = 100$，$\sin A=\frac{PC}{AP}$，$\cos A=\frac{AC}{AP}$。
所以$PC = AP\sin60^{\circ}=100\times\frac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}$，$AC = AP\cos60^{\circ}=100\times\frac{1}{2}=50$。
在$Rt\triangle BPC$中，$\angle B = 45^{\circ}$，$\tan B=\frac{PC}{BC}$，因为$\angle B = 45^{\circ}$，所以$PC = BC = 50\sqrt{3}$。
那么$AB=AC + BC=50 + 50\sqrt{3}$。
【答案】：$(50 + 50\sqrt{3})n mile$
过点$P$作$PC\perp AB$于点$C$。
在$Rt\triangle APC$中，$\angle A = 60^{\circ}$，$AP = 100$，$\sin A=\frac{PC}{AP}$，$\cos A=\frac{AC}{AP}$。
所以$PC = AP\sin60^{\circ}=100\times\frac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}$，$AC = AP\cos60^{\circ}=100\times\frac{1}{2}=50$。
在$Rt\triangle BPC$中，$\angle B = 45^{\circ}$，$\tan B=\frac{PC}{BC}$，因为$\angle B = 45^{\circ}$，所以$PC = BC = 50\sqrt{3}$。
那么$AB=AC + BC=50 + 50\sqrt{3}$。
【答案】：$(50 + 50\sqrt{3})n mile$
17. 如图，$AC⊥BC$，$AD⊥BD$，$AD=BC$，$CE⊥AB$，$DF⊥AB$，垂足分别是$E$，$F$．求证：$CE=DF$．
答案
【解析】：
本题可先证明$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle BAD$，再利用全等三角形的性质证明$\triangle BCE\cong \triangle ADF$，进而证明$CE = DF$。
### 步骤一：证明$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle BAD$
已知$AC\perp BC$，$AD\perp BD$，所以$\angle ACB=\angle BDA = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle BAD$中，$\left\{\begin{array}{l}BC = AD\\AB = BA\end{array}\right.$（$AB$为两个直角三角形的公共斜边）。
根据直角三角形全等判定定理$HL$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可得$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle BAD$。
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，所以$\angle ABC=\angle BAD$。
### 步骤二：证明$\triangle BCE\cong \triangle ADF$
已知$CE\perp AB$，$DF\perp AB$，所以$\angle BEC=\angle AFD = 90^{\circ}$。
在$\triangle BCE$和$\triangle ADF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BEC=\angle AFD\\\angle EBC=\angle FAD\\BC = AD\end{array}\right.$。
根据三角形全等判定定理$AAS$（两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BCE\cong \triangle ADF$。
### 步骤三：根据全等三角形的性质得出$CE = DF$
因为$\triangle BCE\cong \triangle ADF$，根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以$CE = DF$。
【答案】：
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle BAD$中，$\left\{\begin{array}{l}BC = AD\\AB = BA\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle BAD(HL)$，则$\angle ABC=\angle BAD$。
因为$CE\perp AB$，$DF\perp AB$，所以$\angle BEC=\angle AFD = 90^{\circ}$。
在$\triangle BCE$和$\triangle ADF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BEC=\angle AFD\\\angle EBC=\angle FAD\\BC = AD\end{array}\right.$，所以$\triangle BCE\cong \triangle ADF(AAS)$，故$CE = DF$ 。
本题可先证明$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle BAD$，再利用全等三角形的性质证明$\triangle BCE\cong \triangle ADF$，进而证明$CE = DF$。
### 步骤一：证明$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle BAD$
已知$AC\perp BC$，$AD\perp BD$，所以$\angle ACB=\angle BDA = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle BAD$中，$\left\{\begin{array}{l}BC = AD\\AB = BA\end{array}\right.$（$AB$为两个直角三角形的公共斜边）。
根据直角三角形全等判定定理$HL$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可得$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle BAD$。
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，所以$\angle ABC=\angle BAD$。
### 步骤二：证明$\triangle BCE\cong \triangle ADF$
已知$CE\perp AB$，$DF\perp AB$，所以$\angle BEC=\angle AFD = 90^{\circ}$。
在$\triangle BCE$和$\triangle ADF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BEC=\angle AFD\\\angle EBC=\angle FAD\\BC = AD\end{array}\right.$。
根据三角形全等判定定理$AAS$（两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BCE\cong \triangle ADF$。
### 步骤三：根据全等三角形的性质得出$CE = DF$
因为$\triangle BCE\cong \triangle ADF$，根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以$CE = DF$。
【答案】：
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle BAD$中，$\left\{\begin{array}{l}BC = AD\\AB = BA\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle BAD(HL)$，则$\angle ABC=\angle BAD$。
因为$CE\perp AB$，$DF\perp AB$，所以$\angle BEC=\angle AFD = 90^{\circ}$。
在$\triangle BCE$和$\triangle ADF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BEC=\angle AFD\\\angle EBC=\angle FAD\\BC = AD\end{array}\right.$，所以$\triangle BCE\cong \triangle ADF(AAS)$，故$CE = DF$ 。
