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1. 已知$a＜0$，则点$P(-a^2,-a+1)$关于原点的对称点$P'$在 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数。第一步先根据该规律写出对称点$P'$的坐标表达式；第二步结合已知$a＜0$的条件，分别判断$P'$横、纵坐标的符号；最后根据四个象限内点的坐标符号特征，确定$P'$所在的象限即可。
【解析】
1. 求对称点坐标：根据关于原点对称的点的坐标性质，点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$。已知$P(-a^2,-a+1)$，因此$P'$的坐标为$(a^2, a-1)$。
2. 判断坐标符号：
已知$a＜0$，根据平方的非负性，$a^2＞0$，即$P'$的横坐标为正；
由$a＜0$，可得$a-1＜0-1=-1＜0$，即$P'$的纵坐标为负。
3. 确定象限：第四象限内的点坐标特征为横坐标正、纵坐标负，因此$P'$在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的符号特征；有理数乘方的符号性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查多个基础知识点的结合运用，解题的核心是先准确写出对称点坐标，再正确判断坐标的正负性，熟练掌握对称点坐标规律和象限符号特征就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数。第一步先根据该规律写出对称点$P'$的坐标表达式；第二步结合已知$a＜0$的条件，分别判断$P'$横、纵坐标的符号；最后根据四个象限内点的坐标符号特征，确定$P'$所在的象限即可。
【解析】
1. 求对称点坐标：根据关于原点对称的点的坐标性质，点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$。已知$P(-a^2,-a+1)$，因此$P'$的坐标为$(a^2, a-1)$。
2. 判断坐标符号：
已知$a＜0$，根据平方的非负性，$a^2＞0$，即$P'$的横坐标为正；
由$a＜0$，可得$a-1＜0-1=-1＜0$，即$P'$的纵坐标为负。
3. 确定象限：第四象限内的点坐标特征为横坐标正、纵坐标负，因此$P'$在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的符号特征；有理数乘方的符号性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查多个基础知识点的结合运用，解题的核心是先准确写出对称点坐标，再正确判断坐标的正负性，熟练掌握对称点坐标规律和象限符号特征就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 在平面直角坐标系中，有A(2,-1),B(-1,-2),C(2,1),D(-2,1)四点. 其中关于原点对称的两点为 （
A.点A和点B
B.点B和点C
C.点C和点D
D.点D和点A
D
）A.点A和点B
B.点B和点C
C.点C和点D
D.点D和点A
答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪两个点关于原点对称，首先明确关于原点对称的点的坐标规律：若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。解题时先明确各点坐标，再逐一核对每个选项中的两个点是否符合上述规律即可。
【解析】
关于原点对称的两个点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知四点坐标分别为：A(2,-1)，B(-1,-2)，C(2,1)，D(-2,1)
逐一分析选项：
A. 点A(2,-1)和点B(-1,-2)：横坐标2与-1不互为相反数，不符合要求；
B. 点B(-1,-2)和点C(2,1)：横坐标-1与2不互为相反数，不符合要求；
C. 点C(2,1)和点D(-2,1)：纵坐标1与1不互为相反数，不符合要求；
D. 点D(-2,1)和点A(2,-1)：横坐标-2与2互为相反数，纵坐标1与-1互为相反数，符合关于原点对称的点的坐标特征。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对关于原点对称的点的坐标规律的掌握，只要牢记规律、细心核对坐标即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要判断哪两个点关于原点对称，首先明确关于原点对称的点的坐标规律：若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。解题时先明确各点坐标，再逐一核对每个选项中的两个点是否符合上述规律即可。
【解析】
关于原点对称的两个点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知四点坐标分别为：A(2,-1)，B(-1,-2)，C(2,1)，D(-2,1)
逐一分析选项：
A. 点A(2,-1)和点B(-1,-2)：横坐标2与-1不互为相反数，不符合要求；
B. 点B(-1,-2)和点C(2,1)：横坐标-1与2不互为相反数，不符合要求；
C. 点C(2,1)和点D(-2,1)：纵坐标1与1不互为相反数，不符合要求；
D. 点D(-2,1)和点A(2,-1)：横坐标-2与2互为相反数，纵坐标1与-1互为相反数，符合关于原点对称的点的坐标特征。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对关于原点对称的点的坐标规律的掌握，只要牢记规律、细心核对坐标即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
3.跨化学学科 苯环是苯分子的结构，为平面正六边形.图①所示的萘分子由两个苯环通过共用两个相邻的碳原子结合而成，图②为萘分子的平面示意图，以两个正六边形的公共边的中点为原点，建立平面直角坐标系.已知点E的坐标为$(3,\sqrt{3})$，则点F的坐标为
$(-3,-\sqrt{3})$
.答案
3.$(-3,-\sqrt{3})$
解析
【分析】
首先观察图形结构，萘的平面示意图是以原点O为对称中心的中心对称图形，因此点E和点F关于原点对称。解题时先回忆关于原点对称的点的坐标规律：若两点关于原点对称，它们的横、纵坐标均互为相反数，已知点E的坐标，直接套用规律即可得到点F的坐标。
【解析】
由图可知，点E与点F关于原点O中心对称。
根据关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点E的坐标为$(3,\sqrt{3})$，因此点F的横坐标为$-3$，纵坐标为$-\sqrt{3}$，即点F的坐标为$(-3,-\sqrt{3})$。
【答案】
$(-3,-\sqrt{3})$
【知识点】
关于原点对称的坐标特征、中心对称图形的性质
【点评】
本题结合化学分子结构考查坐标系中点的对称知识，将跨学科素材与数学知识点结合，解题的核心是准确判断两点的对称关系，再运用对应坐标规律求解。
【难度系数】
0.8
首先观察图形结构，萘的平面示意图是以原点O为对称中心的中心对称图形，因此点E和点F关于原点对称。解题时先回忆关于原点对称的点的坐标规律：若两点关于原点对称，它们的横、纵坐标均互为相反数，已知点E的坐标，直接套用规律即可得到点F的坐标。
【解析】
由图可知，点E与点F关于原点O中心对称。
根据关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
已知点E的坐标为$(3,\sqrt{3})$，因此点F的横坐标为$-3$，纵坐标为$-\sqrt{3}$，即点F的坐标为$(-3,-\sqrt{3})$。
【答案】
$(-3,-\sqrt{3})$
【知识点】
关于原点对称的坐标特征、中心对称图形的性质
【点评】
本题结合化学分子结构考查坐标系中点的对称知识，将跨学科素材与数学知识点结合，解题的核心是准确判断两点的对称关系，再运用对应坐标规律求解。
【难度系数】
0.8
4.在平面直角坐标系中,若点$M(m,n)$与点$Q(-2,3)$关于原点对称,则点$P(m-n,n)$所在的象限是（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。我们先利用这个规律求出m、n的值，再计算点P的横、纵坐标，最后根据各象限内点的坐标符号特点判断点P所在的象限即可。
【解析】
∵点$M(m,n)$与点$Q(-2,3)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，
∴$m=-(-2)=2$，$n=-3$，
∴$m-n=2-(-3)=5$，
∴点$P$的坐标为$(5,-3)$，
∵第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负，
∴点$P$在第四象限，故选D。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查原点对称的坐标性质的应用，以及对平面直角坐标系象限划分的掌握，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。我们先利用这个规律求出m、n的值，再计算点P的横、纵坐标，最后根据各象限内点的坐标符号特点判断点P所在的象限即可。
【解析】
∵点$M(m,n)$与点$Q(-2,3)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，
∴$m=-(-2)=2$，$n=-3$，
∴$m-n=2-(-3)=5$，
∴点$P$的坐标为$(5,-3)$，
∵第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负，
∴点$P$在第四象限，故选D。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查原点对称的坐标性质的应用，以及对平面直角坐标系象限划分的掌握，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5.(教材变式)在平面直角坐标系内，若点P(-1，p)和点Q(q，3)关于原点O对称，则pq的值为
答案
5.-3
解析
【分析】
解题思路：首先回忆关于原点对称的点的坐标特征，两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以利用这个特征分别求出q和p的值，最后代入计算pq的乘积即可。
【解析】
解：
∵ 点P(-1，p)和点Q(q，3)关于原点O对称，
根据关于原点对称的点的坐标性质：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，
∴ q = -(-1) = 1，p = -3，
∴ pq = 1×(-3) = -3。
【答案】
-3
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征、有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对原点对称的点的坐标规律的应用，熟练掌握对称点的坐标变化规律是解题的关键，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.85
解题思路：首先回忆关于原点对称的点的坐标特征，两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以利用这个特征分别求出q和p的值，最后代入计算pq的乘积即可。
【解析】
解：
∵ 点P(-1，p)和点Q(q，3)关于原点O对称，
根据关于原点对称的点的坐标性质：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，
∴ q = -(-1) = 1，p = -3，
∴ pq = 1×(-3) = -3。
【答案】
-3
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征、有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对原点对称的点的坐标规律的应用，熟练掌握对称点的坐标变化规律是解题的关键，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.85
6.已知点$A(-1,3a-1)$与点$B(2b+1,-2)$关于$x$轴对称，点$C(a+2,b)$与点$D$关于原点对称.
(1)求点$A,B,C,D$的坐标，并在下图中标出.
(2)顺次连接$AD,DB,BC,CA$，求所得图形的面积.
(1)求点$A,B,C,D$的坐标，并在下图中标出.
(2)顺次连接$AD,DB,BC,CA$，求所得图形的面积.
答案
6.解:(1)
∵点$A(-1,3a-1)$与点$B(2b+1,-2)$关于$x$轴对称，
∴$2b+1=-1,3a-1=2$,解得 $a=1,b=-1$,
∴$A(-1,2),B(-1,-2),C(3,-1)$.
∵点$C$与点$D$关于原点对称，
∴$D(-3,1)$.
如图,点 $A,B,C,D$ 即为所求。
(2)如图,顺次连接 $AD,DB,BC,CA$,则四边形 $ADBC$的面积为$\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}×4×4=12$。
解析
【分析】
(1) 首先回忆关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列方程求解a、b的值，即可得到A、B、C的坐标；再根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，由C的坐标推出D的坐标，最后在坐标系中标出各点即可。
(2) 求四边形面积时，观察图形特征，可将四边形ADBC拆分为△ABD和△ABC两个三角形，两个三角形共底AB，先求出AB的长度，再分别求出两个三角形的高（即点D、点C到直线AB的水平距离），分别计算两个三角形的面积后求和即可得到四边形的总面积。
【解析】
(1)
∵点$A(-1,3a-1)$与点$B(2b+1,-2)$关于x轴对称，
∴关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得：
$\begin{cases}2b+1=-1\\3a-1=2\end{cases}$
解得$a=1$，$b=-1$。
代入得：A点坐标为$(-1,2)$，B点坐标为$(-1,-2)$，C点坐标为$(a+2,b)=(3,-1)$。
又
∵点C与点D关于原点对称，关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数，
∴D点坐标为$(-3,1)$。
在坐标系中分别描出$A(-1,2)$、$B(-1,-2)$、$C(3,-1)$、$D(-3,1)$即可。
(2) 顺次连接$AD、DB、BC、CA$后，直线AB为$x=-1$，AB的长度为$2 - (-2)=4$。
点D到直线AB的距离为$|-1 - (-3)|=2$，点C到直线AB的距离为$|3 - (-1)|=4$。
四边形ADBC的面积 = $S_{△ ABD} + S_{△ ABC}$
$=\frac{1}{2}×AB×$点D到AB的距离$+\frac{1}{2}×AB×$点C到AB的距离
$=\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}×4×4$
$=4 + 8 = 12$
【答案】
(1) $A(-1,2),B(-1,-2),C(3,-1),D(-3,1)$，如图，点 $A,B,C,D$ 即为所求。
(2) 所得图形的面积为$12$。
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征
2. 关于原点对称的点的坐标特征
3. 坐标系中图形面积计算
【点评】
本题重点考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律的应用，以及不规则图形面积的计算方法，解题的核心是熟练掌握不同对称关系下点的坐标变化规律，计算面积时合理运用割补法可有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7
(1) 首先回忆关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列方程求解a、b的值，即可得到A、B、C的坐标；再根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，由C的坐标推出D的坐标，最后在坐标系中标出各点即可。
(2) 求四边形面积时，观察图形特征，可将四边形ADBC拆分为△ABD和△ABC两个三角形，两个三角形共底AB，先求出AB的长度，再分别求出两个三角形的高（即点D、点C到直线AB的水平距离），分别计算两个三角形的面积后求和即可得到四边形的总面积。
【解析】
(1)
∵点$A(-1,3a-1)$与点$B(2b+1,-2)$关于x轴对称，
∴关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得：
$\begin{cases}2b+1=-1\\3a-1=2\end{cases}$
解得$a=1$，$b=-1$。
代入得：A点坐标为$(-1,2)$，B点坐标为$(-1,-2)$，C点坐标为$(a+2,b)=(3,-1)$。
又
∵点C与点D关于原点对称，关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数，
∴D点坐标为$(-3,1)$。
在坐标系中分别描出$A(-1,2)$、$B(-1,-2)$、$C(3,-1)$、$D(-3,1)$即可。
(2) 顺次连接$AD、DB、BC、CA$后，直线AB为$x=-1$，AB的长度为$2 - (-2)=4$。
点D到直线AB的距离为$|-1 - (-3)|=2$，点C到直线AB的距离为$|3 - (-1)|=4$。
四边形ADBC的面积 = $S_{△ ABD} + S_{△ ABC}$
$=\frac{1}{2}×AB×$点D到AB的距离$+\frac{1}{2}×AB×$点C到AB的距离
$=\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}×4×4$
$=4 + 8 = 12$
【答案】
(1) $A(-1,2),B(-1,-2),C(3,-1),D(-3,1)$，如图，点 $A,B,C,D$ 即为所求。
(2) 所得图形的面积为$12$。
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征
2. 关于原点对称的点的坐标特征
3. 坐标系中图形面积计算
【点评】
本题重点考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律的应用，以及不规则图形面积的计算方法，解题的核心是熟练掌握不同对称关系下点的坐标变化规律，计算面积时合理运用割补法可有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7
7.(2025—2026丰城期中)如下图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,4),B(0,3),C(2,1).
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A₁B₁C₁.
(2)画出将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到的△A₂BC₂.
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A₁B₁C₁.
(2)画出将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到的△A₂BC₂.
答案
7.解:(1)如图,$△A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求。
(2)如图,$△A_{2}BC_{2}$即为所求。
解析
【分析】
本题包含两类平面直角坐标系中的作图问题，解题思路如下：
(1) 作关于原点中心对称的图形：首先回忆关于原点对称的点的坐标特征，即点(x,y)关于原点对称的点坐标为(-x,-y)，先求出△ABC三个顶点的对称点坐标，再在坐标系中标出对应点，顺次连接即可得到所求图形。
(2) 作绕定点顺时针旋转90°的图形：根据旋转的性质，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角90°，结合网格特征确定A、C两点绕点B顺时针旋转90°后的对应点A₂、C₂的位置，再顺次连接B、A₂、C₂即可。
【解析】
(1) 求△ABC各顶点关于原点对称的点的坐标：
点A(5,4)关于原点对称的点A₁坐标为(-5,-4)；
点B(0,3)关于原点对称的点B₁坐标为(0,-3)；
点C(2,1)关于原点对称的点C₁坐标为(-2,-1)。
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接这三个点，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 确定△ABC各顶点绕点B顺时针旋转90°后的对应点：
旋转中心为点B(0,3)，保持B点位置不变，根据网格中线段垂直且等长的特征，找到点A绕B顺时针转90°后的对应点A₂，点C绕B顺时针转90°后的对应点C₂。
顺次连接B、A₂、C₂三点，得到的△A₂BC₂即为所求。
【答案】
(1)如图,$△A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求。
(2)如图,$△A_{2}BC_{2}$即为所求。
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；旋转作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查中心对称和旋转的作图方法，只要熟练掌握对应点的坐标变换规律和旋转的性质，结合网格就能快速确定对应点位置，完成作图。
【难度系数】
0.8
本题包含两类平面直角坐标系中的作图问题，解题思路如下：
(1) 作关于原点中心对称的图形：首先回忆关于原点对称的点的坐标特征，即点(x,y)关于原点对称的点坐标为(-x,-y)，先求出△ABC三个顶点的对称点坐标，再在坐标系中标出对应点，顺次连接即可得到所求图形。
(2) 作绕定点顺时针旋转90°的图形：根据旋转的性质，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角90°，结合网格特征确定A、C两点绕点B顺时针旋转90°后的对应点A₂、C₂的位置，再顺次连接B、A₂、C₂即可。
【解析】
(1) 求△ABC各顶点关于原点对称的点的坐标：
点A(5,4)关于原点对称的点A₁坐标为(-5,-4)；
点B(0,3)关于原点对称的点B₁坐标为(0,-3)；
点C(2,1)关于原点对称的点C₁坐标为(-2,-1)。
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接这三个点，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 确定△ABC各顶点绕点B顺时针旋转90°后的对应点：
旋转中心为点B(0,3)，保持B点位置不变，根据网格中线段垂直且等长的特征，找到点A绕B顺时针转90°后的对应点A₂，点C绕B顺时针转90°后的对应点C₂。
顺次连接B、A₂、C₂三点，得到的△A₂BC₂即为所求。
【答案】
(1)如图,$△A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求。
(2)如图,$△A_{2}BC_{2}$即为所求。
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；旋转作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查中心对称和旋转的作图方法，只要熟练掌握对应点的坐标变换规律和旋转的性质，结合网格就能快速确定对应点位置，完成作图。
【难度系数】
0.8
