11.已知 $ y $ 与 $ x+1 $ 成正比例，且当 $ x=1 $ 时，$ y=4 $。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
(2)当 $ y=-2 $ 时，求 $ x $ 的值。

11.解:(1)由条件可设 $ y=k(x+1)(k≠0) $,
即 $ y=kx+k $.
$ ∵ $ 当 $ x=1 $ 时, $ y=4 $,
$ ∴4=k+k $,
解得 $ k=2 $,
$ ∴y=2x+2 $.
(2)把 $ y=-2 $ 代入 $ y=2x+2 $ 得 $ -2=2x+2 $,
解得, $ x=-2 $.

【分析】
（1）首先根据“y与x+1成正比例”的条件，结合正比例的定义，两个成正比例的量可表示为y=k(相关变量)（k为常数，k≠0）的形式，因此先设出函数表达式y=k(x+1)；再将已知的x=1、y=4代入所设表达式，得到关于k的一元一次方程，求解得到k的值后，代回所设表达式整理即可得到y与x的函数关系式。
（2）第二问属于已知函数值求自变量的值的问题，直接将y=-2代入第一问求出的函数关系式，解关于x的一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
(1) 由y与x+1成正比例，可设 $ y=k(x+1)(k≠0) $，
整理得 $ y=kx+k $。
$ ∵ $ 当 $ x=1 $ 时，$ y=4 $，
$ ∴ 4=k×1 + k $，即 $ 4=2k $，
解得 $ k=2 $，
$ ∴ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为 $ y=2x+2 $。
(2) 把 $ y=-2 $ 代入 $ y=2x+2 $ 得：
$ -2=2x+2 $，
移项计算得 $ 2x=-4 $，
解得 $ x=-2 $。
【答案】
(1) $ \boldsymbol{y=2x+2} $；
(2) $ \boldsymbol{x=-2} $
【知识点】
正比例的定义、待定系数法求解析式、一次函数求值
【点评】
本题是函数模块的基础常考题，重点考查对正比例关系的理解，以及待定系数法的应用，熟练掌握相关概念和一元一次方程的运算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

12.已知$y-3$与$x+1$成正比例，且当$x=2$时，$y=6$.
(1)求$y$与$x$之间的函数关系式；
(2)若点$(a,2)$在这个函数的图象上，求$a$的值；
(3)当$0≤ y≤ 1$时，$x$的取值范围是________.

12.解:(1)设 $ y-3=k(x+1)(k≠0) $,
即 $ y=kx+k+3 $.
把 $ x=2,y=6 $ 代入得 $ 2k+k+3=6 $,
解得 $ k=1 $,
$ ∴y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y=x+4 $.
(2)将点 $ (a,2) $ 代入 $ y=x+4 $ 得 $ 2=a+4 $,
解得 $ a=-2 $.
(3)当 $ 0≤y≤1 $ 时, $ 0≤x+4≤1 $,
解得 $ -4≤x≤-3 $.
故答案为: $ -4≤x≤-3 $.

【分析】
(1) 已知y-3与x+1成正比例，根据正比例的定义，可设比例系数k（k≠0）建立两者的关系，再代入已知的x=2、y=6的条件，求出k的值，即可得到y与x的函数关系式；(2) 点在函数图象上意味着点的坐标满足函数解析式，将点(a,2)代入求出的函数式，解一元一次方程即可得到a的值；(3) 将y用含x的表达式替换，把y的取值范围转化为关于x的一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 设 $ y-3=k(x+1)(k≠0) $，整理得 $ y=kx+k+3 $。
把 $ x=2,y=6 $ 代入上式，得 $ 2k + k + 3 = 6 $，
解得 $ k=1 $，
∴y与x之间的函数关系式为 $ y=x+4 $。
(2) 将点 $ (a,2) $ 代入 $ y=x+4 $，得 $ 2=a+4 $，
解得 $ a=-2 $。
(3) 当 $ 0≤ y≤1 $ 时，代入 $ y=x+4 $ 得 $ 0≤ x+4≤1 $，
不等式各边同时减4，解得 $ -4≤ x≤-3 $。
【答案】
(1) $ y=x+4 $；(2) $ a=-2 $；(3) $ -4≤ x≤-3 $
【知识点】
正比例关系定义，待定系数法，解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数的基础题型，考察对正比例关系的理解、待定系数法求解析式的应用，以及函数与不等式的转化能力，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

13. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知$A(-4,0),B(0,2),C(1,0)$.
(1)求直线$AB$的函数表达式;
(2)判断$△ ABC$是否为直角三角形,请说明理由;
(3)若点$M$在直线$AB$上,点$N$在直线$BC$上,若$MN// x$轴,且$MN=7$,求点$M$的坐标.

13.解:(1)$y=\frac{1}{2}x+2$.
(2)$△ABC$ 为直角三角形.
理由如下:
$ ∵A(-4,0),B(0,2),C(1,0) $,
$ ∴AB^2=2^2+4^2=20,BC^2=1^2+2^2=5 $,
$ AC=1+4=5 $,
$ ∴AB^2+BC^2=AC^2 $,
$ ∴△ABC $ 为直角三角形, $ ∠ABC=90° $.
(3)$ (\frac{28}{5},\frac{24}{5}) $ 或 $ (-\frac{28}{5},-\frac{4}{5}) $.

【分析】
(1)求一次函数表达式可采用待定系数法，设出直线AB的一般式$y=kx+b$，将A、B两点坐标代入求解$k$、$b$的值即可。
(2)判断直角三角形可利用勾股定理的逆定理，先计算出$△ ABC$三边长度的平方，再验证两边平方和是否等于第三边的平方即可。
(3)先求出直线BC的函数表达式，由于MN平行于x轴，可知M、N两点纵坐标相等，设纵坐标为$t$，分别用$t$表示出M、N的横坐标，再根据MN长度为7列绝对值方程求解，分两种情况讨论得到M的坐标。
【解析】
(1)设直线AB的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$A(-4,0)$、$B(0,2)$代入得：
$\begin{cases}0=-4k+b\\2=b\end{cases}$，
解得$k=\frac{1}{2},b=2$，
∴直线AB的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
(2)$△ ABC$是直角三角形，理由如下：
已知$A(-4,0),B(0,2),C(1,0)$，
由勾股定理得：
$AB^2=(-4-0)^2+(0-2)^2=16+4=20$，
$BC^2=(0-1)^2+(2-0)^2=1+4=5$，
边长$AC=1-(-4)=5$，$AC^2=25$，
∵$AB^2+BC^2=20+5=25=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ABC=90°$。
(3)先求直线BC的函数表达式，设为$y=mx+n(m≠0)$，
将$B(0,2)$、$C(1,0)$代入得：
$\begin{cases}2=n\\0=m+n\end{cases}$，解得$m=-2,n=2$，
∴直线BC的表达式为$y=-2x+2$。
∵$MN// x$轴，
∴点M、N的纵坐标相等，设纵坐标为$t$，
∵点M在直线AB上，
∴$t=\frac{1}{2}x_M+2$，解得$x_M=2t-4$；
∵点N在直线BC上，
∴$t=-2x_N+2$，解得$x_N=\frac{2-t}{2}$。
∵$MN=7$，
∴$\vert x_M - x_N\vert=7$，
代入得$\vert 2t-4 - \frac{2-t}{2}\vert=7$，化简得$\vert \frac{5t-10}{2}\vert=7$，
分两种情况：
①$\frac{5t-10}{2}=7$，解得$t=\frac{24}{5}$，此时$x_M=2×\frac{24}{5}-4=\frac{28}{5}$，即$M(\frac{28}{5},\frac{24}{5})$；
②$\frac{5t-10}{2}=-7$，解得$t=-\frac{4}{5}$，此时$x_M=2×(-\frac{4}{5})-4=-\frac{28}{5}$，即$M(-\frac{28}{5},-\frac{4}{5})$。
【答案】
(1)$y=\frac{1}{2}x+2$
(2)$△ ABC$是直角三角形
(3)$(\frac{28}{5},\frac{24}{5})$或$(-\frac{28}{5},-\frac{4}{5})$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；勾股定理的逆定理；一次函数的图像与性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，前两问侧重基础概念的应用，第三问需要结合平行于x轴的点的坐标特征列方程，注意绝对值方程求解时有两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6