1.如图，$∠ A=∠ D=90°,AC=DB.$求证:$AB=DC.$

1. 证明:如答图,连接BC.

∵∠A=∠D=90°,
∴△ABC和△DCB都是直角三角形.
在Rt△ABC和Rt△DCB中,$\begin{cases} BC=CB,\\ AC=DB, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),
∴AB=DC.

【分析】
要证明AB=DC，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知AB在Rt△ABC中，DC在Rt△DCB中，已知两个三角形均为直角三角形，且有一组直角边AC=DB，同时两个三角形共斜边BC，因此只需连接公共边BC，即可利用HL定理证明两个直角三角形全等，进而得到对应边AB=DC。
【解析】
证明：如答图，连接BC。

∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC和△DCB都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
$\begin{cases} BC=CB,\\ AC=DB, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴AB=DC。
【答案】
证明:如答图,连接BC.

∵∠A=∠D=90°,
∴△ABC和△DCB都是直角三角形.
在Rt△ABC和Rt△DCB中,$\begin{cases} BC=CB,\\ AC=DB, \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),
∴AB=DC.
【知识点】
HL判定定理，全等三角形性质，公共边应用
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是通过连接公共边构造可证全等的直角三角形，要求同学们熟练掌握直角三角形全等的判定方法，同时注意挖掘图形中隐含的公共边、公共角等条件。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$AB=AE$，$∠ B=∠ E$，$BC=ED$，$AF$平分$∠ BAE$. 求证：$AF⊥ CD$.

2. 证明:如答图,连接AC,AD.

在△ABC和△AED中,$\begin{cases} AB=AE,\\ ∠B=∠E,\\ BC=ED, \end{cases}$
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴AC=AD,∠BAC=∠EAD.
∵AF平分∠BAE,
∴∠BAF=∠EAF,
∴∠BAF−∠BAC=∠EAF−∠EAD,
∴∠FAC=∠FAD.
在△ACF和△ADF中,$\begin{cases} AC=AD,\\ ∠FAC=∠FAD,\\ AF=AF, \end{cases}$
∴△ACF≌△ADF(SAS),
∴∠AFC=∠AFD.
∵∠AFC+∠AFD=180°,
∴∠AFC=90°,即AF⊥CD.

【分析】
要证明$AF⊥CD$，即需证$∠AFC=90°$。首先观察已知条件，给出了$AB=AE$、$∠B=∠E$、$BC=ED$，可先连接$AC$、$AD$构造全等三角形，利用SAS证明$△ ABC≌△ AED$，得到$AC=AD$以及对应角相等；再结合$AF$平分$∠BAE$的条件，推导得出$∠CAF=∠DAF$，进而再次利用SAS证明$△ ACF≌△ ADF$，得到$∠AFC=∠AFD$，最后结合平角为$180°$的性质，即可推出$∠AFC=90°$，得到垂直结论。
【解析】
证明：如答图，连接$AC$，$AD$。
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\begin{cases} AB=AE,\\ ∠B=∠E,\\ BC=ED, \end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC=AD$，$∠BAC=∠EAD$。
$\because AF$平分$∠BAE$，
$\therefore∠BAF=∠EAF$，
$\therefore∠BAF-∠BAC=∠EAF-∠EAD$，即$∠FAC=∠FAD$。
在$△ ACF$和$△ ADF$中，
$\begin{cases} AC=AD,\\ ∠FAC=∠FAD,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore△ ACF≌△ ADF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore∠AFC=∠AFD$。
$\because∠AFC+∠AFD=180°$，
$\therefore∠AFC=90°$，即$AF⊥CD$。
【答案】
证明:如答图,连接AC,AD.

在△ABC和△AED中,$\begin{cases} AB=AE,\\ ∠B=∠E,\\ BC=ED, \end{cases}$
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴AC=AD,∠BAC=∠EAD.
∵AF平分∠BAE,
∴∠BAF=∠EAF,
∴∠BAF−∠BAC=∠EAF−∠EAD,
∴∠FAC=∠FAD.
在△ACF和△ADF中,$\begin{cases} AC=AD,\\ ∠FAC=∠FAD,\\ AF=AF, \end{cases}$
∴△ACF≌△ADF(SAS),
∴∠AFC=∠AFD.
∵∠AFC+∠AFD=180°,
∴∠AFC=90°,即AF⊥CD.
【知识点】
SAS证全等；全等三角形性质；角平分线定义
【点评】
本题是三角形全等证明的典型题型，核心考查辅助线构造及全等三角形判定、性质的综合运用，解题关键是通过连接辅助线搭建已知条件和待证结论的关联，能够很好地训练几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

3.如图,在$△ ABC$中,BD平分$∠ ABC$,$AD⊥ BD$,$∠ CAD=∠ C$.若$AB=5$,$AD=2$,则$BC$的长为
（）


A.6
B.7
C.8
D.9

3.D

【分析】
当题目中同时出现角平分线和垂直于角平分线的线段时，常用辅助线是延长该垂线段与角的另一边相交，构造全等三角形。本题可先延长AD交BC于点E，先通过ASA证明△ABD≌△EBD，得到BE、AE的长度，再利用∠CAD=∠C推出△AEC为等腰三角形，得到EC的长度，最后将BE和EC相加即可求出BC的长。
【解析】
解：延长AD交BC于点E。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠EBD，
∵ AD⊥BD，
∴ ∠ADB=∠EDB=90°，
在△ABD和△EBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠EBD \\BD=BD \\∠ADB=∠EDB\end{array} $
∴ △ABD≌△EBD（ASA），
∴ BE=AB=5，AD=DE=2，
∴ AE=AD+DE=2+2=4，
∵ ∠CAD=∠C，
∴ EC=AE=4，
∴ BC=BE+EC=5+4=9。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线应用
【点评】
本题是三角形辅助线构造的典型题型，解题的突破口是掌握“角平分线+垂线”的辅助线构造方法，结合全等三角形和等腰三角形的性质即可顺利求解，能够很好地考查学生的几何辅助线应用能力。
【难度系数】
0.6

4. 如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线.求证:AB+AC＞2AD.

4. 证明:如答图,延长AD至点E,使DE=AD,连接CE.
∵AD为BC边上的中线,
∴BD=CD.

在△ABD和△ECD中,$\begin{cases} AD=ED,\\ ∠ADB=∠EDC,\\ BD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△ECD,
∴AB=EC.
在△ACE中,
∵AC+EC＞AE=2AD,
∴AB+AC＞2AD.

【分析】
要证明AB+AC＞2AD，观察结论中2AD的结构，可通过“倍长中线”的方法将2AD转化为一条完整线段，同时将AB、AC转移到同一个三角形中，利用三角形三边关系证明。具体思路为：延长AD到E使DE=AD，得到AE=2AD；结合AD是BC中线，BD=CD，加对顶角相等可证△ABD≌△ECD，将AB替换为EC，此时AC、EC、AE为△ACE的三边，根据三角形两边之和大于第三边即可推导得到结论。
【解析】
第一步：作辅助线构造全等条件。延长AD至点E，使DE=AD，连接CE，此时AE=AD+DE=2AD。
第二步：证明三角形全等。因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD；在△ABD和△ECD中，AD=ED，∠ADB与∠EDC是对顶角故相等，BD=CD，根据SAS判定定理可得△ABD≌△ECD。
第三步：转化线段推导结论。由全等三角形对应边相等得AB=EC；在△ACE中，根据三角形两边之和大于第三边，有AC+EC＞AE，将EC替换为AB、AE替换为2AD，即可得到AB+AC＞2AD。
【答案】
证明:如答图,延长AD至点E,使DE=AD,连接CE.
∵AD为BC边上的中线,
∴BD=CD.

在△ABD和△ECD中,$\begin{cases} AD=ED,\\ ∠ADB=∠EDC,\\ BD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△ECD,
∴AB=EC.
在△ACE中,
∵AC+EC＞AE=2AD,
∴AB+AC＞2AD.
【知识点】
三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；倍长中线辅助线
【点评】
本题是含中线的几何证明典型题，核心方法是通过倍长中线构造全等三角形，将分散的线段集中到同一三角形中，再结合三角形三边关系完成证明，倍长中线是解决中线相关几何问题的常用辅助线做法，要熟练掌握其应用场景。
【难度系数】
0.7