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已知正数$a$的算术平方根是$6$，$b + 1$的立方根为$-3$，$c$是小于$\sqrt{17}$的最大整数.
【基础设问】
(1)求$a,b,c$的值.
(2)求$a - b$的立方根.
(3)求$a + b - \frac{1}{2}c$的平方根.
(4)已知$\sqrt{17} \approx 4.12311$，将$\sqrt{17}$精确到千分位，结果为
(5)在$\sqrt{a - 1}$，$\sqrt{-b}$，$\sqrt{c}$中，无理数有
(6)求$x$的值：$a(2 - x)^2 = c$.
【基础设问】
(1)求$a,b,c$的值.
(2)求$a - b$的立方根.
(3)求$a + b - \frac{1}{2}c$的平方根.
(4)已知$\sqrt{17} \approx 4.12311$，将$\sqrt{17}$精确到千分位，结果为
4.123
.(5)在$\sqrt{a - 1}$，$\sqrt{-b}$，$\sqrt{c}$中，无理数有
2
个.(6)求$x$的值：$a(2 - x)^2 = c$.
答案
(1)
∵正数a的算术平方根是6，
∴a = 6² = 36.
∵b + 1的立方根为-3，
∴b + 1 = (-3)³ = -27,
∴b = -28.
∵16 ＜ 17 ＜ 25,
∴√16 ＜ √17 ＜ √25,即4 ＜ √17 ＜ 5,
∴c=4.
(2)
∵a=36,b=-28,
∴a - b = 36 - (-28) = 64,
∴a - b的立方根$\sqrt[3]{a - b} = \sqrt[3]{64} = 4$.
(3)
∵a=36,b=-28,c=4,
∴$a + b - \frac{1}{2}c = 36 - 28 - \frac{1}{2}×4 = 6$,
∴$a + b - \frac{1}{2}c$的平方根$±\sqrt{a + b - \frac{1}{2}c} = ±\sqrt{6}$.
(4)4.123
(5)2
∵a=36,b=-28,c=4,
∴$\sqrt{a - 1} = \sqrt{35}$, $\sqrt{-b} = \sqrt{28}$, $\sqrt{c} = \sqrt{4}=2$,
∴无理数是$\sqrt{35}$,$\sqrt{28}$,共2个.
(6)将a=36,c=4代入$a(2 - x)^2 = c$中,得$36(2 - x)^2 = 4$,
∴$(2 - x)^2 = \frac{1}{9}$,
∴$2 - x = ±\frac{1}{3}$,
即$x = 2 + \frac{1}{3}$或$x = 2 - \frac{1}{3}$,
∴$x = \frac{7}{3}$或$x = \frac{5}{3}$.
∵正数a的算术平方根是6，
∴a = 6² = 36.
∵b + 1的立方根为-3，
∴b + 1 = (-3)³ = -27,
∴b = -28.
∵16 ＜ 17 ＜ 25,
∴√16 ＜ √17 ＜ √25,即4 ＜ √17 ＜ 5,
∴c=4.
(2)
∵a=36,b=-28,
∴a - b = 36 - (-28) = 64,
∴a - b的立方根$\sqrt[3]{a - b} = \sqrt[3]{64} = 4$.
(3)
∵a=36,b=-28,c=4,
∴$a + b - \frac{1}{2}c = 36 - 28 - \frac{1}{2}×4 = 6$,
∴$a + b - \frac{1}{2}c$的平方根$±\sqrt{a + b - \frac{1}{2}c} = ±\sqrt{6}$.
(4)4.123
(5)2
∵a=36,b=-28,c=4,
∴$\sqrt{a - 1} = \sqrt{35}$, $\sqrt{-b} = \sqrt{28}$, $\sqrt{c} = \sqrt{4}=2$,
∴无理数是$\sqrt{35}$,$\sqrt{28}$,共2个.
(6)将a=36,c=4代入$a(2 - x)^2 = c$中,得$36(2 - x)^2 = 4$,
∴$(2 - x)^2 = \frac{1}{9}$,
∴$2 - x = ±\frac{1}{3}$,
即$x = 2 + \frac{1}{3}$或$x = 2 - \frac{1}{3}$,
∴$x = \frac{7}{3}$或$x = \frac{5}{3}$.
解析
【分析】
解题时先求解(1)问：①根据算术平方根的定义，正数的算术平方根的平方等于它本身，可直接求出a的值；②根据立方根的定义，一个数的立方根的立方等于这个数，列等式可求出b的值；③先估算√17的取值范围，即可找到小于它的最大整数c。求出a、b、c后，后续(2)-(6)问只需将三个值代入对应式子，分别按照立方根计算规则、平方根计算规则、近似数四舍五入规则、无理数定义、直接开平方法解一元二次方程的步骤逐一求解即可，注意平方根有正负两个值，不要漏解。
【解析】
(1)
∵正数a的算术平方根是6，
∴a = 6² = 36.
∵b + 1的立方根为-3，
∴b + 1 = (-3)³ = -27,
解得b = -28.
∵16 ＜ 17 ＜ 25，
∴√16 ＜ √17 ＜ √25，即4 ＜ √17 ＜ 5，
∴小于√17的最大整数c=4.
(2)
将a=36，b=-28代入得：a - b = 36 - (-28) = 64，
∴a - b的立方根为$\sqrt[3]{64} = 4$.
(3)
将a=36，b=-28，c=4代入得：
$a + b - \frac{1}{2}c = 36 - 28 - \frac{1}{2}×4 = 6$，
∴$a + b - \frac{1}{2}c$的平方根为$±\sqrt{6}$.
(4)
精确到千分位需要看万分位的数字，$\sqrt{17} \approx 4.12311$万分位是1，小于5舍去，所以结果为4.123.
(5)
将a=36，b=-28，c=4代入得：
$\sqrt{a - 1} = \sqrt{35}$（是无理数），$\sqrt{-b} = \sqrt{28}$（是无理数），$\sqrt{c} = \sqrt{4}=2$（是有理数），
∴无理数共2个.
(6)
将a=36，c=4代入$a(2 - x)^2 = c$中，得$36(2 - x)^2 = 4$，
两边同时除以36得：$(2 - x)^2 = \frac{1}{9}$，
开平方得：$2 - x = ±\frac{1}{3}$，
解得$x = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$或$x = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$.
【答案】
(1)$a=36$，$b=-28$，$c=4$
(2)$4$
(3)$±\sqrt{6}$
(4)$4.123$
(5)$2$
(6)$x=\frac{7}{3}$或$x=\frac{5}{3}$
【知识点】
算术平方根与立方根定义，无理数的判定，平方根计算
【点评】
本题属于实数板块的基础综合题，考查的都是核心基础概念，解题的突破口是先准确求出a、b、c三个定值，后续计算需注意平方根有正负两个结果，解含平方的方程时不要漏解，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.75
解题时先求解(1)问：①根据算术平方根的定义，正数的算术平方根的平方等于它本身，可直接求出a的值；②根据立方根的定义，一个数的立方根的立方等于这个数，列等式可求出b的值；③先估算√17的取值范围，即可找到小于它的最大整数c。求出a、b、c后，后续(2)-(6)问只需将三个值代入对应式子，分别按照立方根计算规则、平方根计算规则、近似数四舍五入规则、无理数定义、直接开平方法解一元二次方程的步骤逐一求解即可，注意平方根有正负两个值，不要漏解。
【解析】
(1)
∵正数a的算术平方根是6，
∴a = 6² = 36.
∵b + 1的立方根为-3，
∴b + 1 = (-3)³ = -27,
解得b = -28.
∵16 ＜ 17 ＜ 25，
∴√16 ＜ √17 ＜ √25，即4 ＜ √17 ＜ 5，
∴小于√17的最大整数c=4.
(2)
将a=36，b=-28代入得：a - b = 36 - (-28) = 64，
∴a - b的立方根为$\sqrt[3]{64} = 4$.
(3)
将a=36，b=-28，c=4代入得：
$a + b - \frac{1}{2}c = 36 - 28 - \frac{1}{2}×4 = 6$，
∴$a + b - \frac{1}{2}c$的平方根为$±\sqrt{6}$.
(4)
精确到千分位需要看万分位的数字，$\sqrt{17} \approx 4.12311$万分位是1，小于5舍去，所以结果为4.123.
(5)
将a=36，b=-28，c=4代入得：
$\sqrt{a - 1} = \sqrt{35}$（是无理数），$\sqrt{-b} = \sqrt{28}$（是无理数），$\sqrt{c} = \sqrt{4}=2$（是有理数），
∴无理数共2个.
(6)
将a=36，c=4代入$a(2 - x)^2 = c$中，得$36(2 - x)^2 = 4$，
两边同时除以36得：$(2 - x)^2 = \frac{1}{9}$，
开平方得：$2 - x = ±\frac{1}{3}$，
解得$x = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$或$x = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$.
【答案】
(1)$a=36$，$b=-28$，$c=4$
(2)$4$
(3)$±\sqrt{6}$
(4)$4.123$
(5)$2$
(6)$x=\frac{7}{3}$或$x=\frac{5}{3}$
【知识点】
算术平方根与立方根定义，无理数的判定，平方根计算
【点评】
本题属于实数板块的基础综合题，考查的都是核心基础概念，解题的突破口是先准确求出a、b、c三个定值，后续计算需注意平方根有正负两个结果，解含平方的方程时不要漏解，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.75
【能力设问】
(7)小明想用一块边长为$ a \ \mathrm{cm} $的正方形包装纸裁剪出一块面积为$ 1080 \ \mathrm{cm}^2 $的长方形包装纸(裁痕平行于正方形边),且长方形包装纸的长、宽之比为$ 4:3 $,试判断小明能否裁剪出来,并说明理由.
(8)如图,点$ A,B,C,D $在数轴上表示的数分别为$ 1,2,3,4 $,则$ \sqrt{a+c} + \sqrt[3]{b+6} $对应的点在线段
(7)小明想用一块边长为$ a \ \mathrm{cm} $的正方形包装纸裁剪出一块面积为$ 1080 \ \mathrm{cm}^2 $的长方形包装纸(裁痕平行于正方形边),且长方形包装纸的长、宽之比为$ 4:3 $,试判断小明能否裁剪出来,并说明理由.
(8)如图,点$ A,B,C,D $在数轴上表示的数分别为$ 1,2,3,4 $,则$ \sqrt{a+c} + \sqrt[3]{b+6} $对应的点在线段
CD
上,请说明理由.答案
(7)小明不能裁剪出来.理由如下：
∵a=36,
∴正方形的边长为36 cm.
设长方形的长、宽分别为4x cm,3x cm,
根据题意,得$4x · 3x = 1 080$,
∴$x = \sqrt{90}$,
∴长方形的长为$4\sqrt{90}$ cm,宽为$3\sqrt{90}$ cm.
∵$(4\sqrt{90})^2 = 1 440,36^2 = 1 296,1 440 ＞ 1 296$,
∴$4\sqrt{90} ＞ 36$,
∴小明不能裁剪出来.
(8)CD
理由如下:
∵a=36,b=-28,c=4,
∴$\sqrt{a+c} + \sqrt[3]{b+6} = \sqrt{36+4} + \sqrt[3]{-28+6} = \sqrt{40} + \sqrt[3]{-22}$.
∵$6^2=36,6.5^2=42.25$,
∴$6 ＜ \sqrt{40} ＜ 6.5$.
∵$(-2.5)^3=-15.625,(-3)^3=-27$,
∴$-3 ＜ \sqrt[3]{-22} ＜ -2.5$,
∴$6-3 ＜ \sqrt{40} + \sqrt[3]{-22} ＜ 6.5-2.5$,即$3 ＜ \sqrt{40} + \sqrt[3]{-22} ＜ 4$.
故$\sqrt{a+c} + \sqrt[3]{b+6}$对应的点在线段CD上.
∵a=36,
∴正方形的边长为36 cm.
设长方形的长、宽分别为4x cm,3x cm,
根据题意,得$4x · 3x = 1 080$,
∴$x = \sqrt{90}$,
∴长方形的长为$4\sqrt{90}$ cm,宽为$3\sqrt{90}$ cm.
∵$(4\sqrt{90})^2 = 1 440,36^2 = 1 296,1 440 ＞ 1 296$,
∴$4\sqrt{90} ＞ 36$,
∴小明不能裁剪出来.
(8)CD
理由如下:
∵a=36,b=-28,c=4,
∴$\sqrt{a+c} + \sqrt[3]{b+6} = \sqrt{36+4} + \sqrt[3]{-28+6} = \sqrt{40} + \sqrt[3]{-22}$.
∵$6^2=36,6.5^2=42.25$,
∴$6 ＜ \sqrt{40} ＜ 6.5$.
∵$(-2.5)^3=-15.625,(-3)^3=-27$,
∴$-3 ＜ \sqrt[3]{-22} ＜ -2.5$,
∴$6-3 ＜ \sqrt{40} + \sqrt[3]{-22} ＜ 6.5-2.5$,即$3 ＜ \sqrt{40} + \sqrt[3]{-22} ＜ 4$.
故$\sqrt{a+c} + \sqrt[3]{b+6}$对应的点在线段CD上.
解析
【分析】
(7)要判断能否用正方形裁剪出指定长方形，核心是比较长方形的长与正方形边长的大小：首先按长宽比设未知数，利用长方形面积公式列方程求出长，再将长和正方形边长作比较，若长大于正方形边长则无法裁剪。
(8)要判断代数式对应的点所在线段，先代入a、b、c的取值化简代数式，再分别估算其中无理数的取值范围，进而得到整个代数式的取值范围，最后对照数轴上各点对应的数判断所在线段。
【解析】
(7)已知正方形边长$a=36\ \mathrm{cm}$，设长方形的长为$4x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$。
根据长方形面积为$1080\ \mathrm{cm}^2$，列方程：
$4x · 3x = 1080$
整理得$12x^2=1080$，即$x^2=90$，解得$x=\sqrt{90}$（长度为正，舍去负根）。
则长方形的长为$4\sqrt{90}\ \mathrm{cm}$，
比较长和正方形边长：$(4\sqrt{90})^2=16×90=1440$，$36^2=1296$，
因为$1440＞1296$，所以$4\sqrt{90}＞36$，即长方形的长大于正方形的边长，因此小明不能裁剪出来。
(8)代入$a=36$，$b=-28$，$c=4$，得：
$\sqrt{a+c} + \sqrt[3]{b+6} = \sqrt{36+4} + \sqrt[3]{-28+6} = \sqrt{40} + \sqrt[3]{-22}$
先估算$\sqrt{40}$的范围：
因为$6^2=36$，$6.5^2=42.25$，所以$6＜\sqrt{40}＜6.5$；
再估算$\sqrt[3]{-22}$的范围：
因为$(-3)^3=-27$，$(-2.5)^3=-15.625$，所以$-3＜\sqrt[3]{-22}＜-2.5$；
将两个范围相加得：$6-3 ＜ \sqrt{40}+\sqrt[3]{-22} ＜6.5-2.5$，即$3＜\sqrt{40}+\sqrt[3]{-22}＜4$。
数轴上3对应点C，4对应点D，因此该代数式对应的点在线段CD上。
【答案】
(7)小明不能裁剪出来；(8)CD
【知识点】
无理数的估算，一元二次方程应用，实数与数轴
【点评】
两道题均围绕无理数的估算设置实际应用场景，第(7)题结合裁剪问题，需要通过平方运算比较无理数和有理数的大小来判断可行性；第(8)题结合数轴知识，要求准确估算无理数的范围后推导代数式的取值区间，考查对无理数大小估算的掌握程度和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
(7)要判断能否用正方形裁剪出指定长方形，核心是比较长方形的长与正方形边长的大小：首先按长宽比设未知数，利用长方形面积公式列方程求出长，再将长和正方形边长作比较，若长大于正方形边长则无法裁剪。
(8)要判断代数式对应的点所在线段，先代入a、b、c的取值化简代数式，再分别估算其中无理数的取值范围，进而得到整个代数式的取值范围，最后对照数轴上各点对应的数判断所在线段。
【解析】
(7)已知正方形边长$a=36\ \mathrm{cm}$，设长方形的长为$4x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$。
根据长方形面积为$1080\ \mathrm{cm}^2$，列方程：
$4x · 3x = 1080$
整理得$12x^2=1080$，即$x^2=90$，解得$x=\sqrt{90}$（长度为正，舍去负根）。
则长方形的长为$4\sqrt{90}\ \mathrm{cm}$，
比较长和正方形边长：$(4\sqrt{90})^2=16×90=1440$，$36^2=1296$，
因为$1440＞1296$，所以$4\sqrt{90}＞36$，即长方形的长大于正方形的边长，因此小明不能裁剪出来。
(8)代入$a=36$，$b=-28$，$c=4$，得：
$\sqrt{a+c} + \sqrt[3]{b+6} = \sqrt{36+4} + \sqrt[3]{-28+6} = \sqrt{40} + \sqrt[3]{-22}$
先估算$\sqrt{40}$的范围：
因为$6^2=36$，$6.5^2=42.25$，所以$6＜\sqrt{40}＜6.5$；
再估算$\sqrt[3]{-22}$的范围：
因为$(-3)^3=-27$，$(-2.5)^3=-15.625$，所以$-3＜\sqrt[3]{-22}＜-2.5$；
将两个范围相加得：$6-3 ＜ \sqrt{40}+\sqrt[3]{-22} ＜6.5-2.5$，即$3＜\sqrt{40}+\sqrt[3]{-22}＜4$。
数轴上3对应点C，4对应点D，因此该代数式对应的点在线段CD上。
【答案】
(7)小明不能裁剪出来；(8)CD
【知识点】
无理数的估算，一元二次方程应用，实数与数轴
【点评】
两道题均围绕无理数的估算设置实际应用场景，第(7)题结合裁剪问题，需要通过平方运算比较无理数和有理数的大小来判断可行性；第(8)题结合数轴知识，要求准确估算无理数的范围后推导代数式的取值区间，考查对无理数大小估算的掌握程度和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
