登录
1.［2025苏州星湾学校月考］我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现的，故又称之为“商高定理”.下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（
C
）答案
梯形的面积$S=\frac{1}{2}(a + b)(a + b)=\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^{2}$，$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$,故A能证明勾股定理;选项B是赵爽弦图,能证明勾股定理;大正方形的面积$S=(a + b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$,故C不能证明勾股定理;大正方形的面积$S=(a + b)^{2}=\frac{1}{2}ab×4 + c^{2}$,$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$,故D能证明勾股定理.
解析
【分析】
要判断哪个图形不能证明勾股定理，核心方法是等积法（面积法）：对每个选项的图形，分别用“整体直接计算面积”和“分割成多个小图形求和计算面积”两种方式表示面积，令二者相等后化简，若能推导出$a^2+b^2=c^2$则可证明勾股定理，反之则不能，我们逐个分析四个选项即可。
【解析】
选项A：该图形为梯形，上底为$a$，下底为$b$，高为$a+b$，整体面积$S=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$；分割后可看作2个直角边为$a、b$的直角三角形+1个直角边为$c$的等腰直角三角形，面积和为$\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2$。
令两式相等：$\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，整理得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，消去$2ab$后可得$a^2+b^2=c^2$，可证明勾股定理。
选项B：该图形为赵爽弦图，整体是边长为$c$的正方形，面积$S=c^2$；分割后可看作4个直角边为$a、b$的直角三角形+1个边长为$b-a$的小正方形，面积和为$\frac{1}{2}ab×4+(b-a)^2$。
令两式相等：$c^2=2ab+b^2-2ab+a^2$，整理得$c^2=a^2+b^2$，可证明勾股定理。
选项C：整体是边长为$a+b$的正方形，面积$S=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将分割后的图形面积求和后，化简等式无法推导出$a^2+b^2=c^2$，不能证明勾股定理。
选项D：整体是边长为$a+b$的正方形，面积$S=(a+b)^2$；分割后可看作4个直角边为$a、b$的直角三角形+1个边长为$c$的正方形，面积和为$\frac{1}{2}ab×4 + c^2$。
令两式相等：$(a+b)^2=2ab+c^2$，整理得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，消去$2ab$后可得$a^2+b^2=c^2$，可证明勾股定理。
综上，只有C不能证明勾股定理。
【答案】
C
【知识点】
1.勾股定理的证明 2.等积法 3.多边形面积计算
【点评】
本题以勾股定理的经典证明图形为载体，重点考查对面积法的运用，需要学生熟练掌握常见多边形的面积公式，熟悉勾股定理的常见证明模型，通过对比同一图形的两种面积表达推导结论。
【难度系数】
0.8
要判断哪个图形不能证明勾股定理，核心方法是等积法（面积法）：对每个选项的图形，分别用“整体直接计算面积”和“分割成多个小图形求和计算面积”两种方式表示面积，令二者相等后化简，若能推导出$a^2+b^2=c^2$则可证明勾股定理，反之则不能，我们逐个分析四个选项即可。
【解析】
选项A：该图形为梯形，上底为$a$，下底为$b$，高为$a+b$，整体面积$S=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$；分割后可看作2个直角边为$a、b$的直角三角形+1个直角边为$c$的等腰直角三角形，面积和为$\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c^2$。
令两式相等：$\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，整理得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，消去$2ab$后可得$a^2+b^2=c^2$，可证明勾股定理。
选项B：该图形为赵爽弦图，整体是边长为$c$的正方形，面积$S=c^2$；分割后可看作4个直角边为$a、b$的直角三角形+1个边长为$b-a$的小正方形，面积和为$\frac{1}{2}ab×4+(b-a)^2$。
令两式相等：$c^2=2ab+b^2-2ab+a^2$，整理得$c^2=a^2+b^2$，可证明勾股定理。
选项C：整体是边长为$a+b$的正方形，面积$S=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将分割后的图形面积求和后，化简等式无法推导出$a^2+b^2=c^2$，不能证明勾股定理。
选项D：整体是边长为$a+b$的正方形，面积$S=(a+b)^2$；分割后可看作4个直角边为$a、b$的直角三角形+1个边长为$c$的正方形，面积和为$\frac{1}{2}ab×4 + c^2$。
令两式相等：$(a+b)^2=2ab+c^2$，整理得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，消去$2ab$后可得$a^2+b^2=c^2$，可证明勾股定理。
综上，只有C不能证明勾股定理。
【答案】
C
【知识点】
1.勾股定理的证明 2.等积法 3.多边形面积计算
【点评】
本题以勾股定理的经典证明图形为载体，重点考查对面积法的运用，需要学生熟练掌握常见多边形的面积公式，熟悉勾股定理的常见证明模型，通过对比同一图形的两种面积表达推导结论。
【难度系数】
0.8
2. [2025镇江丹徒区期中]小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感,发现新的拼图方法:如图,两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF,顶点D在BC边上,顶点F,B重合,连接AE,AD.设AB,DE交于点G,∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=a,AC=DF=b(a＞b),AB=DE=c.请回答以下问题:
(1)∠AGE=
(2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积,并以此为基础证明勾股定理.
(1)∠AGE=
90
°,S四边形ADBE=$\frac{1}{2}c^2$
(用含字母c的代数式表示);(2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积,并以此为基础证明勾股定理.
答案
解:(1)$90\quad \frac{1}{2}c^{2}$
$\because △ ABC≌△ DEF,\therefore ∠ BAC=∠ EDF.\because ∠ BAC+∠ ABC=90°,\therefore ∠ EDF+∠ ABC=90°,\therefore ∠ DGB=180°-90°=90°,$
$\therefore ∠ AGE=∠ DGB=90°,\therefore DE⊥ AB,\therefore S_{四边形ADBE}=S_{△ ADB}+S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· DG+\frac{1}{2}AB· EG=\frac{1}{2}AB· (DG + EG)=\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}c^{2}.$
(2)方法一:$S_{四边形ACBE}=\frac{1}{2}(AC + EF)· BC=\frac{1}{2}(b + a)· a=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^{2}.$
方法二:$S_{四边形ACBE}=S_{△ ACD}+S_{四边形ADBE}=\frac{1}{2}b(a - b)+\frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2}.$
$\therefore \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^{2}=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2},\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
$\because △ ABC≌△ DEF,\therefore ∠ BAC=∠ EDF.\because ∠ BAC+∠ ABC=90°,\therefore ∠ EDF+∠ ABC=90°,\therefore ∠ DGB=180°-90°=90°,$
$\therefore ∠ AGE=∠ DGB=90°,\therefore DE⊥ AB,\therefore S_{四边形ADBE}=S_{△ ADB}+S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB· DG+\frac{1}{2}AB· EG=\frac{1}{2}AB· (DG + EG)=\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}c^{2}.$
(2)方法一:$S_{四边形ACBE}=\frac{1}{2}(AC + EF)· BC=\frac{1}{2}(b + a)· a=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^{2}.$
方法二:$S_{四边形ACBE}=S_{△ ACD}+S_{四边形ADBE}=\frac{1}{2}b(a - b)+\frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2}.$
$\therefore \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}a^{2}=\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}c^{2},\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
解析
【分析】
(1) 求解∠AGE的度数时，先利用全等三角形对应角相等得到∠BAC=∠EDF，结合直角三角形两锐角互余的性质，可推出∠EDF与∠ABC的和为90°，进而得到∠DGB=90°，再根据对顶角相等即可得到∠AGE的度数；求四边形ADBE的面积时，由DE⊥AB可将四边形拆分为△ADB和△ABE，两个三角形同底为AB，高的和为DE，代入三角形面积公式合并即可得到结果。
(2) 计算四边形ACBE的面积有两种思路：方法一将四边形看作直角梯形，上底为AC，下底为EB，高为BC，直接用梯形面积公式计算；方法二将四边形拆分为Rt△ACD和第一问所求的四边形ADBE，分别计算两部分面积再求和。利用两种方法得到的面积相等建立等式，化简后即可证明勾股定理。
【解析】
(1) $\because △ ABC ≌ △ DEF$，$\therefore ∠ BAC = ∠ EDF$，
$\because ∠ ACB = 90°$，$\therefore ∠ BAC + ∠ ABC = 90°$，
$\therefore ∠ EDF + ∠ ABC = 90°$，
$\therefore ∠ DGB = 180° - (∠ EDF + ∠ ABC) = 90°$，
$\therefore ∠ AGE = ∠ DGB = 90°$，即$DE ⊥ AB$。
$S_{四边形ADBE} = S_{△ ADB} + S_{△ ABE} = \frac{1}{2}AB · DG + \frac{1}{2}AB · EG = \frac{1}{2}AB · (DG + EG) = \frac{1}{2}AB · DE$，
$\because AB = DE = c$，$\therefore S_{四边形ADBE} = \frac{1}{2}c^2$。
(2) 方法一：四边形ACBE为直角梯形，上底$AC = b$，下底$EB = a$，高$BC = a$，
$\therefore S_{四边形ACBE} = \frac{1}{2}(AC + EB) · BC = \frac{1}{2}(b + a)a = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}a^2$。
方法二：$S_{四边形ACBE} = S_{△ ACD} + S_{四边形ADBE}$，
其中$CD = BC - BD = BC - AC = a - b$，$S_{△ ACD} = \frac{1}{2}AC · CD = \frac{1}{2}b(a - b)$，
$\therefore S_{四边形ACBE} = \frac{1}{2}b(a - b) + \frac{1}{2}c^2 = \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2$。
$\because$ 两种方法计算的是同一个四边形的面积，
$\therefore \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2$，
两边同时减去$\frac{1}{2}ab$，再同时乘2得：$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理得证。
【答案】
(1) $\boxed{90}$，$\boxed{\dfrac{1}{2}c^2}$；
(2) 可证明勾股定理为$\boxed{a^2 + b^2 = c^2}$。
【知识点】
全等三角形的性质，面积法的应用，勾股定理的证明
【点评】
本题借助拼图情境考查勾股定理的推导，解题核心是利用“同一图形不同割补方式下面积相等”建立等量关系，需要学生掌握基本的图形拆分组合方法，对几何直观和推理运算能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠AGE的度数时，先利用全等三角形对应角相等得到∠BAC=∠EDF，结合直角三角形两锐角互余的性质，可推出∠EDF与∠ABC的和为90°，进而得到∠DGB=90°，再根据对顶角相等即可得到∠AGE的度数；求四边形ADBE的面积时，由DE⊥AB可将四边形拆分为△ADB和△ABE，两个三角形同底为AB，高的和为DE，代入三角形面积公式合并即可得到结果。
(2) 计算四边形ACBE的面积有两种思路：方法一将四边形看作直角梯形，上底为AC，下底为EB，高为BC，直接用梯形面积公式计算；方法二将四边形拆分为Rt△ACD和第一问所求的四边形ADBE，分别计算两部分面积再求和。利用两种方法得到的面积相等建立等式，化简后即可证明勾股定理。
【解析】
(1) $\because △ ABC ≌ △ DEF$，$\therefore ∠ BAC = ∠ EDF$，
$\because ∠ ACB = 90°$，$\therefore ∠ BAC + ∠ ABC = 90°$，
$\therefore ∠ EDF + ∠ ABC = 90°$，
$\therefore ∠ DGB = 180° - (∠ EDF + ∠ ABC) = 90°$，
$\therefore ∠ AGE = ∠ DGB = 90°$，即$DE ⊥ AB$。
$S_{四边形ADBE} = S_{△ ADB} + S_{△ ABE} = \frac{1}{2}AB · DG + \frac{1}{2}AB · EG = \frac{1}{2}AB · (DG + EG) = \frac{1}{2}AB · DE$，
$\because AB = DE = c$，$\therefore S_{四边形ADBE} = \frac{1}{2}c^2$。
(2) 方法一：四边形ACBE为直角梯形，上底$AC = b$，下底$EB = a$，高$BC = a$，
$\therefore S_{四边形ACBE} = \frac{1}{2}(AC + EB) · BC = \frac{1}{2}(b + a)a = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}a^2$。
方法二：$S_{四边形ACBE} = S_{△ ACD} + S_{四边形ADBE}$，
其中$CD = BC - BD = BC - AC = a - b$，$S_{△ ACD} = \frac{1}{2}AC · CD = \frac{1}{2}b(a - b)$，
$\therefore S_{四边形ACBE} = \frac{1}{2}b(a - b) + \frac{1}{2}c^2 = \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2$。
$\because$ 两种方法计算的是同一个四边形的面积，
$\therefore \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2$，
两边同时减去$\frac{1}{2}ab$，再同时乘2得：$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理得证。
【答案】
(1) $\boxed{90}$，$\boxed{\dfrac{1}{2}c^2}$；
(2) 可证明勾股定理为$\boxed{a^2 + b^2 = c^2}$。
【知识点】
全等三角形的性质，面积法的应用，勾股定理的证明
【点评】
本题借助拼图情境考查勾股定理的推导，解题核心是利用“同一图形不同割补方式下面积相等”建立等量关系，需要学生掌握基本的图形拆分组合方法，对几何直观和推理运算能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
3. [2026深圳南山实验教育集团麒麟中学期中]意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的(如图)，从而证明了勾股定理。若设左边图中空白部分的面积为$S_1$，右边图中空白部分的面积为$S_2$，小聪同学得出了以下四个结论：①$S_1 = a^2 + b^2 + ab$；②$S_2 = c^2 + ab$；③$S_1 = S_2$；④$a^2 + b^2 = c^2$。其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
由题意,得$S_{1}=a^{2}+b^{2}+2×\frac{1}{2}ab=a^{2}+b^{2}+ab=S_{2}=c^{2}+2×\frac{1}{2}ab=c^{2}+ab$,即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,故①②③④正确.
解析
【分析】
解题时首先结合图形特征，分别用含a、b、c的式子表示出左右两个空白部分的面积$S_1$和$S_2$，再根据题目给出的“两个空洞面积相等”即$S_1=S_2$的条件，推导判断各结论是否正确即可。第一步先拆分$S_1$的组成：左侧空白包含边长为a的正方形、边长为b的正方形，以及2个直角边为a、b的直角三角形；第二步拆分$S_2$的组成：右侧空白包含边长为c的正方形，以及2个和左侧完全相同的直角三角形；第三步利用$S_1=S_2$的等量关系化简，即可验证所有结论。
【解析】
首先计算$S_1$：左侧空白部分由边长为a的正方形、边长为b的正方形，和2个直角边分别为a、b的直角三角形组成，
因此$S_{1}=a^2 + b^2 + 2×\frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$，故结论①正确。
再计算$S_2$：右侧空白部分由边长为c的正方形，和2个与左侧完全相同的直角边为a、b的直角三角形组成，
因此$S_{2}=c^2 + 2×\frac{1}{2}ab = c^2 + ab$，故结论②正确。
由题意可知剪拼前后空洞面积相等，即$S_1=S_2$，故结论③正确。
将$S_1$、$S_2$的表达式代入$S_1=S_2$得：$a^2 + b^2 + ab = c^2 + ab$，
两边同时减去$ab$，可得$a^2 + b^2 = c^2$，故结论④正确。
综上，①②③④共4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的证明；面积法；图形剪拼
【点评】
本题以达·芬奇证明勾股定理的经典剪拼实验为背景，结合图形翻折变换的性质，考查利用面积相等推导勾股定理的方法，能够帮助学生理解勾股定理的推导逻辑，强化对面积法的运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合图形特征，分别用含a、b、c的式子表示出左右两个空白部分的面积$S_1$和$S_2$，再根据题目给出的“两个空洞面积相等”即$S_1=S_2$的条件，推导判断各结论是否正确即可。第一步先拆分$S_1$的组成：左侧空白包含边长为a的正方形、边长为b的正方形，以及2个直角边为a、b的直角三角形；第二步拆分$S_2$的组成：右侧空白包含边长为c的正方形，以及2个和左侧完全相同的直角三角形；第三步利用$S_1=S_2$的等量关系化简，即可验证所有结论。
【解析】
首先计算$S_1$：左侧空白部分由边长为a的正方形、边长为b的正方形，和2个直角边分别为a、b的直角三角形组成，
因此$S_{1}=a^2 + b^2 + 2×\frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$，故结论①正确。
再计算$S_2$：右侧空白部分由边长为c的正方形，和2个与左侧完全相同的直角边为a、b的直角三角形组成，
因此$S_{2}=c^2 + 2×\frac{1}{2}ab = c^2 + ab$，故结论②正确。
由题意可知剪拼前后空洞面积相等，即$S_1=S_2$，故结论③正确。
将$S_1$、$S_2$的表达式代入$S_1=S_2$得：$a^2 + b^2 + ab = c^2 + ab$，
两边同时减去$ab$，可得$a^2 + b^2 = c^2$，故结论④正确。
综上，①②③④共4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的证明；面积法；图形剪拼
【点评】
本题以达·芬奇证明勾股定理的经典剪拼实验为背景，结合图形翻折变换的性质，考查利用面积相等推导勾股定理的方法，能够帮助学生理解勾股定理的推导逻辑，强化对面积法的运用。
【难度系数】
0.7
4. 【一题多解】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了小聪灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1所示的方式摆放，其中∠DAB=90°.求证: $a^2 + b^2 = c^2$.
证明:如图1,连接DB,CD,过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,则DF=EC=b−a.
∵ $S_{四边形ADCB} = S_{△ACD} + S_{△ABC} = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab$,
$S_{四边形ADCB} = S_{△ADB} + S_{△DCB} = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$,
∴ $\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$,
∴ $a^2 + b^2 = c^2$.
请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图2所示的方式摆放,其中∠DAB=90°.求证: $a^2 + b^2 = c^2$.
证明:连接
∵ $S_{五边形ACBED} = $
$S_{五边形ACBED} = $
∴
∴ $a^2 + b^2 = c^2$.
【回顾与思考】你是如何获得勾股定理的?
证明:如图1,连接DB,CD,过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,则DF=EC=b−a.
∵ $S_{四边形ADCB} = S_{△ACD} + S_{△ABC} = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab$,
$S_{四边形ADCB} = S_{△ADB} + S_{△DCB} = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$,
∴ $\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$,
∴ $a^2 + b^2 = c^2$.
请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图2所示的方式摆放,其中∠DAB=90°.求证: $a^2 + b^2 = c^2$.
证明:连接
BD,过点B作BF⊥DE,交DE的延长线于点F,如图所示,则BF = b - a
.∵ $S_{五边形ACBED} = $
$S_{△ ACB} + S_{△ ABE} + S_{△ AED} = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab$
,$S_{五边形ACBED} = $
$S_{△ ACB} + S_{△ ABD} + S_{△ BDE} = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$
,∴
$\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$
,∴ $a^2 + b^2 = c^2$.
【回顾与思考】你是如何获得勾股定理的?
答案
证明:连接$BD$,过点$B$作$BF⊥ DE$,交$DE$的延长线于点$F$,如图所示,则$BF = b - a$.
$\because S_{五边形ACBED}=S_{△ ACB}+S_{△ ABE}+S_{△ AED}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab$,
$S_{五边形ACBED}=S_{△ ACB}+S_{△ ABD}+S_{△ BDE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
另解 连接$BD$,过点$B$作$BF⊥ DE$,交$DE$的延长线于点$F$,如图所示,则$BF = b - a$.
$\because S_{五边形ACBED}=S_{梯形ACBE}+S_{△ AED}=\frac{1}{2}b(a + b)+\frac{1}{2}ab$,
$S_{五边形ACBED}=S_{△ ACB}+S_{△ ABD}+S_{△ BDE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore \frac{1}{2}b(a + b)+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
解析
【分析】
本题采用面积法证明勾股定理，核心思路是同一个多边形的面积用两种不同的拆分方式计算，结果相等。首先参照题中给出的证法，先作合适的辅助线：连接BD，过点B作DE的垂线得到高BF；接下来将五边形ACBED的面积分别用两种组合方式表示，一是拆分为几个已知边长的三角形面积之和，二是拆分为梯形和三角形的面积之和；最后令两个面积表达式相等，通过化简消去同类项，即可推导出$a^2+b^2=c^2$的结论。
【解析】
证明：连接BD，过点B作BF⊥DE，交DE的延长线于点F，则$BF = b - a$。
五边形ACBED的面积可通过两种方式计算：
方式1：将五边形拆分为$△ ACB$、$△ ABE$、$△ AED$，分别计算各部分面积再求和：
$S_{五边形ACBED}=S_{△ACB}+S_{△ABE}+S_{△AED}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab$
方式2：将五边形拆分为$△ ACB$、$△ ABD$、$△ BDE$，分别计算各部分面积再求和：
$S_{五边形ACBED}=S_{△ACB}+S_{△ABD}+S_{△BDE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$
由于两种方式计算的是同一个五边形的面积，因此两个表达式相等：
$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$
等式两边同时乘2消去分母，再化简整理，最终可得$a^2+b^2=c^2$。
也可将五边形拆分为梯形ACBE和$△ AED$计算面积，同样可推导得到勾股定理。
【答案】
证明:连接$BD$,过点$B$作$BF⊥ DE$,交$DE$的延长线于点$F$,如图所示,则$BF = b - a$.
$\because S_{五边形ACBED}=S_{△ ACB}+S_{△ ABE}+S_{△ AED}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab$,
$S_{五边形ACBED}=S_{△ ACB}+S_{△ ABD}+S_{△ BDE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
另解 连接$BD$,过点$B$作$BF⊥ DE$,交$DE$的延长线于点$F$,如图所示,则$BF = b - a$.
$\because S_{五边形ACBED}=S_{梯形ACBE}+S_{△ AED}=\frac{1}{2}b(a + b)+\frac{1}{2}ab$,
$S_{五边形ACBED}=S_{△ ACB}+S_{△ ABD}+S_{△ BDE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore \frac{1}{2}b(a + b)+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
【知识点】
勾股定理的证明，面积法，多边形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的经典证明题型，借助“同一图形面积的不同表示方法相等”的思路建立等式，推导过程直观清晰，既考查了对面积法的掌握，也能帮助加深对勾股定理推导逻辑的理解，是几何证明中“数形结合”思想的典型应用。
【难度系数】
0.6
本题采用面积法证明勾股定理，核心思路是同一个多边形的面积用两种不同的拆分方式计算，结果相等。首先参照题中给出的证法，先作合适的辅助线：连接BD，过点B作DE的垂线得到高BF；接下来将五边形ACBED的面积分别用两种组合方式表示，一是拆分为几个已知边长的三角形面积之和，二是拆分为梯形和三角形的面积之和；最后令两个面积表达式相等，通过化简消去同类项，即可推导出$a^2+b^2=c^2$的结论。
【解析】
证明：连接BD，过点B作BF⊥DE，交DE的延长线于点F，则$BF = b - a$。
五边形ACBED的面积可通过两种方式计算：
方式1：将五边形拆分为$△ ACB$、$△ ABE$、$△ AED$，分别计算各部分面积再求和：
$S_{五边形ACBED}=S_{△ACB}+S_{△ABE}+S_{△AED}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab$
方式2：将五边形拆分为$△ ACB$、$△ ABD$、$△ BDE$，分别计算各部分面积再求和：
$S_{五边形ACBED}=S_{△ACB}+S_{△ABD}+S_{△BDE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$
由于两种方式计算的是同一个五边形的面积，因此两个表达式相等：
$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$
等式两边同时乘2消去分母，再化简整理，最终可得$a^2+b^2=c^2$。
也可将五边形拆分为梯形ACBE和$△ AED$计算面积，同样可推导得到勾股定理。
【答案】
证明:连接$BD$,过点$B$作$BF⊥ DE$,交$DE$的延长线于点$F$,如图所示,则$BF = b - a$.
$\because S_{五边形ACBED}=S_{△ ACB}+S_{△ ABE}+S_{△ AED}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab$,
$S_{五边形ACBED}=S_{△ ACB}+S_{△ ABD}+S_{△ BDE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
另解 连接$BD$,过点$B$作$BF⊥ DE$,交$DE$的延长线于点$F$,如图所示,则$BF = b - a$.
$\because S_{五边形ACBED}=S_{梯形ACBE}+S_{△ AED}=\frac{1}{2}b(a + b)+\frac{1}{2}ab$,
$S_{五边形ACBED}=S_{△ ACB}+S_{△ ABD}+S_{△ BDE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore \frac{1}{2}b(a + b)+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
【知识点】
勾股定理的证明，面积法，多边形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的经典证明题型，借助“同一图形面积的不同表示方法相等”的思路建立等式，推导过程直观清晰，既考查了对面积法的掌握，也能帮助加深对勾股定理推导逻辑的理解，是几何证明中“数形结合”思想的典型应用。
【难度系数】
0.6
