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1 某室内设计师为矩形客厅设计活动隔断，客厅平面为矩形ABCD，其中AB=8米，AD=6米。设计师计划用两段等长的折叠隔板MN和NP组成“L型”活动隔断（如右图所示），点M在AB边上，点N在AD边上，点P在CD边上，设AM=x米。
（1）证明：$△ AMN ≌ △ DNP$。
（2）用含x的代数式表示MN的长度，并写出x的取值范围。
（1）证明：$△ AMN ≌ △ DNP$。
（2）用含x的代数式表示MN的长度，并写出x的取值范围。
答案
（1）
∵四边形ABCD 为矩形,
∴ AB // CD, AD ⊥ AB, AD ⊥ CD, ∠A= ∠D=90° .
由题意可知: MN=NP, ∠MNP=90° ,
∴∠ANM+ ∠DNP=90° .
又
∵∠ANM+ ∠AMN=90° ,
∴∠AMN= ∠DNP.
在△AMN与△DNP 中:
$\begin{cases} ∠A=∠D \\ ∠AMN = ∠DNP \\ MN = NP \end{cases}$
∴△ AMN ≌△ DNP (AAS).
（2）$MN = \sqrt{2x^2 -12x +36} \quad 0 ≤ x ≤ 6$.
∵四边形ABCD 为矩形,
∴ AB // CD, AD ⊥ AB, AD ⊥ CD, ∠A= ∠D=90° .
由题意可知: MN=NP, ∠MNP=90° ,
∴∠ANM+ ∠DNP=90° .
又
∵∠ANM+ ∠AMN=90° ,
∴∠AMN= ∠DNP.
在△AMN与△DNP 中:
$\begin{cases} ∠A=∠D \\ ∠AMN = ∠DNP \\ MN = NP \end{cases}$
∴△ AMN ≌△ DNP (AAS).
（2）$MN = \sqrt{2x^2 -12x +36} \quad 0 ≤ x ≤ 6$.
2 为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的环境，某小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间，社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）.如右图，已知AB=12m，BC=16m，$CD=10\sqrt{5} m$，AD=10m，两条街道互相垂直.
（1）由于绿化地的存在，小区居民要想从点A走到点C必须经过点B绕行，为了方便居民出入，该小区计划在该绿化区中开辟一条从点A直通点C的小路（小路宽度忽略不计），若此计划落实，则居民从点A到点C能少走多少米？
（2）求这片绿化地的面积.
（1）由于绿化地的存在，小区居民要想从点A走到点C必须经过点B绕行，为了方便居民出入，该小区计划在该绿化区中开辟一条从点A直通点C的小路（小路宽度忽略不计），若此计划落实，则居民从点A到点C能少走多少米？
（2）求这片绿化地的面积.
答案
（1）8m
（2）$S_{四边形ABCD} = S_{△ABC} + S_{△ACD} =96+100=196m^2$
（2）$S_{四边形ABCD} = S_{△ABC} + S_{△ACD} =96+100=196m^2$
