1. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C是圆上一点，$CD ⊥ AB$于点D，点E是圆外一点，CA平分$∠ ECD$。求证：CE是$\odot O$的切线。

1. $\because CA$ 平分 $∠ ECD, \therefore ∠ ECA = ∠ DCA. \because CD ⊥ AB, \therefore ∠ CAD + ∠ DCA=90°,\therefore ∠ ECA+ ∠ CAD=90°.\because OA=OC,\therefore ∠ CAD= ∠ ACO,\therefore ∠ ECA+ ∠ ACO=90°,$即$∠ OCE=90°,\therefore OC ⊥ EC.\because OC$是$\odot O$的半径,$\therefore CE$是$\odot O$的切线.

【分析】
要证明CE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明CE垂直于$\odot O$的半径OC，即证$∠ OCE=90°$。首先利用角平分线的性质得到$∠ ECA=∠ DCA$，再结合$CD⊥ AB$的条件推出$∠ CAD+∠ DCA=90°$，等量代换得到$∠ ECA+∠ CAD=90°$；最后利用同圆半径相等得到等腰三角形OAC，通过等边对等角将$∠ CAD$替换为$∠ ACO$，即可推导出$∠ ECA+∠ ACO=90°$，完成垂直的证明。
【解析】
证明：
$\because CA$平分$∠ ECD$，
$\therefore ∠ ECA=∠ DCA$。
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDA=90°$，
$\therefore ∠ CAD+∠ DCA=90°$，
$\therefore ∠ ECA+∠ CAD=90°$。
$\because OA=OC$（同圆的半径相等），
$\therefore ∠ CAD=∠ ACO$（等腰三角形等边对等角），
$\therefore ∠ ECA+∠ ACO=90°$，即$∠ OCE=90°$，
$\therefore OC⊥ EC$。
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore CE$是$\odot O$的切线。
【答案】
$\because CA$ 平分 $∠ ECD, \therefore ∠ ECA = ∠ DCA. \because CD ⊥ AB, \therefore ∠ CAD + ∠ DCA=90°,\therefore ∠ ECA+ ∠ CAD=90°.\because OA=OC,\therefore ∠ CAD= ∠ ACO,\therefore ∠ ECA+ ∠ ACO=90°,$即$∠ OCE=90°,\therefore OC ⊥ EC.\because OC$是$\odot O$的半径,$\therefore CE$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定定理、角平分线的定义、等腰三角形的性质
【点评】
本题是切线判定的基础典型题，解题核心是掌握切线的判定条件，通过角的等量转化推导半径与待证直线垂直，涉及的角转化技巧是圆类几何证明的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

2. ★★★ 如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，作$DE ⊥ AC$，交AC的延长线于点E.
求证：DE是$\odot O$的切线.

2. 如图,连结 $OD,\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB},\therefore ∠ BOD=\frac{1}{3} × 180°=60°.\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB},\therefore ∠ EAD = ∠ DAB = \frac{1}{2} ∠ BOD = 30°. \because OA=OD, \therefore ∠ ADO = ∠ DAB=30°.\because DE ⊥ AC$ 于点 $E,\therefore ∠ E=90°,\therefore ∠ EAD+ ∠ EDA=90°,\therefore ∠ EDA=60°,\therefore ∠ EDO= ∠ EDA+ ∠ ADO=90°,\therefore OD ⊥ DE.\because OD$ 是$\odot O$的半径,$\therefore DE$是$\odot O$的切线.

【分析】
要证明DE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，已知点D在圆上，首先应连接半径OD，再证明$OD⊥ DE$即可。已知条件给出三段弧相等且AB是直径，我们可以通过弧与圆心角、圆周角的对应关系推导相关角的度数，再结合$DE⊥ AC$的条件，通过角度计算证明$∠ EDO=90°$，即可得到OD与DE垂直，完成证明。
【解析】
证明：如图，连结OD。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，AB为$\odot O$的直径，半圆对应的圆心角为$180°$，
∴ $∠ BOD=\frac{1}{3} × 180°=60°$。
∵ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ $∠ EAD = ∠ DAB = \frac{1}{2} ∠ BOD = 30°$。
∵ OA、OD是$\odot O$的半径，$OA=OD$，
∴ $∠ ADO = ∠ DAB=30°$。
∵ $DE ⊥ AC$于点E，
∴ $∠ E=90°$，在$Rt△ AED$中，$∠ EAD+ ∠ EDA=90°$，
∴ $∠ EDA=90°-30°=60°$，
∴ $∠ EDO= ∠ EDA+ ∠ ADO=60°+30°=90°$，即$OD ⊥ DE$。
又
∵ OD是$\odot O$的半径，
∴ DE是$\odot O$的切线。
【答案】
如图,连结 $OD,\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB},\therefore ∠ BOD=\frac{1}{3} × 180°=60°.\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB},\therefore ∠ EAD = ∠ DAB = \frac{1}{2} ∠ BOD = 30°. \because OA=OD, \therefore ∠ ADO = ∠ DAB=30°.\because DE ⊥ AC$ 于点 $E,\therefore ∠ E=90°,\therefore ∠ EAD+ ∠ EDA=90°,\therefore ∠ EDA=60°,\therefore ∠ EDO= ∠ EDA+ ∠ ADO=90°,\therefore OD ⊥ DE.\because OD$ 是$\odot O$的半径,$\therefore DE$是$\odot O$的切线.

【知识点】
切线的判定定理，圆心角弧圆周角的关系，等腰三角形的性质
【点评】
本题是切线证明的常规题型，核心考查切线判定的常用辅助线作法（连半径证垂直），解题时需要熟练掌握弧、圆心角、圆周角之间的转换关系，通过角度计算推导垂直关系，是圆的性质应用的基础典型题。
【难度系数】
0.6

3. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AB为$\odot O$的直径,过点C作$CE ⊥ AD$,交AD的延长线于点E,延长EC,AB交于点F,$∠ ECD = ∠ BCF$.求证:CE为$\odot O$的切线.

3. 如图,连结 $OC, BD, \because AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ADB = 90°$.$\because CE ⊥ AE, \therefore ∠ E=90°, \therefore ∠ E = ∠ ADB, \therefore EF // BD, \therefore ∠ ECD = ∠ CDB, ∠ BCF = ∠ CBD. \because ∠ ECD = ∠ BCF, \therefore ∠ CDB = ∠ CBD$,$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore$ 半径 $OC ⊥ EF, \therefore CE$ 为$\odot O$的切线.

【分析】要证明CE为$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，只需连接半径$OC$，证明$OC⊥ CE$即可。首先AB是直径，根据直径所对圆周角为直角，可连接$BD$得到$∠ ADB=90°$，结合$CE⊥ AD$可推出$EF// BD$，得到角的等量关系；再结合已知$∠ ECD=∠ BCF$，可推导出$∠ CDB=∠ CBD$，进而得到$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$，可知$OC⊥ BD$，结合$EF// BD$即可得到$OC⊥ CE$，完成证明。
【解析】
证明：连结 $OC, BD$，
$\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ADB = 90°$.
$\because CE ⊥ AE, \therefore ∠ E=90°$,
$\therefore ∠ E = ∠ ADB, \therefore EF // BD$,
$\therefore ∠ ECD = ∠ CDB, ∠ BCF = ∠ CBD$.
$\because ∠ ECD = ∠ BCF, \therefore ∠ CDB = ∠ CBD$,
$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$,
$\therefore$ 半径 $OC ⊥ BD$，
又$\because EF// BD$，
$\therefore OC⊥ EF$,
$\therefore CE$ 为$\odot O$的切线。
【答案】
3. 如图,连结 $OC, BD, \because AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ADB = 90°$.$\because CE ⊥ AE, \therefore ∠ E=90°, \therefore ∠ E = ∠ ADB, \therefore EF // BD, \therefore ∠ ECD = ∠ CDB, ∠ BCF = ∠ CBD. \because ∠ ECD = ∠ BCF, \therefore ∠ CDB = ∠ CBD$,$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore$ 半径 $OC ⊥ EF, \therefore CE$ 为$\odot O$的切线.

【知识点】切线的判定；圆周角定理；平行线的性质
【点评】本题属于切线证明的常规题型，解题的核心是掌握切线判定“连半径、证垂直”的常用辅助线做法，结合圆的基本性质、平行线的性质逐步推导垂直关系即可，熟练掌握圆的相关性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6