8.如图,将一副三角尺摆放在一起.
(1)$∠AOC=$,射线$OA$,$OB$,$OC$组成的所有小于平角的角的度数和为.
(2)反向延长射线$OA$到点$D$,$OE$为$∠BOD$的平分线,$OF$为$∠COD$的平分线,请按题意画出图形,并求出$∠EOF$的度数.

8.(1)$15°$ $90°$
(2)

$∠DOE=\frac{1}{2}∠BOD=67.5°$,
$∠DOF=\frac{1}{2}∠COD=82.5°$,
$∠EOF=∠DOF-∠DOE=15°$.

【分析】
(1) 首先明确一副三角尺的固定角度：等腰直角三角尺的锐角均为45°，另一块三角尺的锐角为30°、60°，观察图形可得∠AOB=45°，∠BOC=30°，因此∠AOC为两个角的差；再罗列出射线OA、OB、OC组成的所有小于平角的角，求和即可得到结果。
(2) 先按题意画图：反向延长OA得到射线OD，再分别作∠BOD的平分线OE、∠COD的平分线OF。先根据平角的定义算出∠BOD、∠COD的度数，再结合角平分线的性质分别求出∠DOE、∠DOF的度数，最后通过角的和差关系计算∠EOF的度数。
【解析】
(1) 由三角尺的角度特征可知：$∠ AOB=45°$，$∠ BOC=30°$，
$\therefore ∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=45°-30°=15°$；
射线OA、OB、OC组成的小于平角的角有$∠ AOC$、$∠ AOB$、$∠ BOC$共3个，
度数和为：$∠ AOC+∠ AOB+∠ BOC=15°+45°+30°=90°$。
(2) 按题意画出图形如下：

由题意可知$∠ AOD$为平角，即$∠ AOD=180°$，
$\therefore ∠ BOD=∠ AOD-∠ AOB=180°-45°=135°$，
$∠ COD=∠ AOD-∠ AOC=180°-15°=165°$，
$\because OE$为$∠ BOD$的平分线，
$\therefore ∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×135°=67.5°$，
$\because OF$为$∠ COD$的平分线，
$\therefore ∠ DOF=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×165°=82.5°$，
$\therefore ∠ EOF=∠ DOF-∠ DOE=82.5°-67.5°=15°$。
【答案】
(1) $15°$；$90°$
(2)

$∠ EOF=15°$
【知识点】
三角尺角度特征，角平分线定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角的计算基础题，结合三角尺的固定角度，熟练掌握角平分线的性质和角的和差运算即可顺利解答，解题时注意不要漏数符合要求的角，作图要规范。
【难度系数】
0.7

9.小强同学在学习研究共顶点的两个等角时,发现了一些角的和差特点,请你和他一起探究.
(1)如图①,∠AOB,∠COD是共顶点的两个相等的锐角,∠COB是重合部分.若∠COB+∠AOD=120°,求∠AOB和∠COD的度数.
(2)通过第(1)题的计算,可以发现一个规律:若∠AOB=∠COD=α,则∠AOD+∠BOC=(用含α的式子表示).

(3)如图②,∠AOB,∠COD是共顶点的两个相等的锐角,它们没有重合部分,∠AOD小于平角.若∠AOD=120°,∠BOC=20°,则∠AOB的度数是.
(4)探究图②中∠AOB,∠AOD,∠BOC之间的等量关系.

9.(1)因为$∠AOD+∠COB=∠AOB+∠BOD+∠COB=∠AOB+∠COD=120°$,
又因为$∠AOB,∠COD$是两个相等的锐角,所以$∠AOB=∠COD=60°$.
(2)$2α$
(3)$50°$
(4)$∠AOD-∠BOC=2∠AOB$.

【分析】
(1) 解第一问时，先拆分∠AOD为∠AOB+∠BOD，将∠COB+∠AOD转化为∠AOB+(∠COB+∠BOD)，结合∠COB+∠BOD=∠COD、∠AOB=∠COD的已知条件，可得∠COB+∠AOD=2∠AOB，代入和为120°即可求解。
(2) 第二问是第一问的规律推广，将∠AOB=∠COD=α代入第一问的推导结论，直接得到表达式即可。
(3) 第三问先分析图②的角组成：∠AOD由∠AOB、∠BOC、∠COD三部分组成，结合∠AOB=∠COD，可得∠AOD=2∠AOB+∠BOC，代入已知角度变形计算即可。
(4) 第四问对第三问的推导进行一般化整理，移项就能得到三个角的等量关系。
【解析】
(1) 由角的和差关系可得：
$∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOD$
因此 $∠ COB + ∠ AOD = ∠ COB + ∠ AOB + ∠ BOD$
又$\because ∠ COB + ∠ BOD = ∠ COD$，且已知$∠ AOB=∠ COD$
$\therefore ∠ COB + ∠ AOD = ∠ AOB + ∠ COD = 2∠ AOB$
已知$∠ COB + ∠ AOD=120°$，则$2∠ AOB=120°$，解得$∠ AOB=60°$
故$∠ AOB=∠ COD=60°$
(2) 结合(1)的推导，当$∠ AOB=∠ COD=α$时：
$∠ AOD+∠ BOC=∠ AOB+∠ COD=α+α=2α$
(3) 由图②的角的组成可得：
$∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOC + ∠ COD$
$\because ∠ AOB=∠ COD$
$\therefore ∠ AOD=2∠ AOB+∠ BOC$
代入$∠ AOD=120°$，$∠ BOC=20°$，得：
$120°=2∠ AOB+20°$
解得$2∠ AOB=100°$，即$∠ AOB=50°$
(4) 由图②可得：
$∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOC + ∠ COD$
$\because ∠ AOB=∠ COD$
$\therefore ∠ AOD=2∠ AOB+∠ BOC$
移项整理得：$∠ AOD - ∠ BOC=2∠ AOB$
【答案】
(1) $∠ AOB=∠ COD=60°$
(2) $2α$
(3) $50°$
(4) $∠ AOD - ∠ BOC=2∠ AOB$
【知识点】
角的和差运算，等式的基本性质
【点评】
本题以共顶点等角为探究背景，从有重合到无重合的场景逐步推导角的数量关系，侧重考查数形结合思想和归纳推理能力，掌握角的和差拆分方法是解题的核心。
【难度系数】
0.7