9.下列说法正确的有()。
(1)$x=-1$是方程$3x+4=0$的解；
(2)$x=0$是方程$\frac{1}{2}(x+4)=2$的解；
(3)$m=1$是方程$9m-5m=4$的解；
(4)$x=\frac{1}{4}$是方程$3x-2=0$的解。
A.(1)和(2) B.(1)和(3)
C.(2)和(3) D.(2)和(4)

C

【分析】要判断每个说法是否正确，核心依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题时只需将每个说法给出的未知数的值代入对应方程，分别计算方程左右两边的结果，比较二者是否相等即可，最后找出全部正确的说法匹配选项。
【解析】我们逐个验证4个说法：
(1) 将$x=-1$代入方程$3x+4=0$的左边：
左边$=3×(-1)+4=-3+4=1$，右边$=0$，左边$≠$右边，因此$x=-1$不是该方程的解，(1)错误；
(2) 将$x=0$代入方程$\frac{1}{2}(x+4)=2$的左边：
左边$=\frac{1}{2}×(0+4)=\frac{1}{2}×4=2$，右边$=2$，左边$=$右边，因此$x=0$是该方程的解，(2)正确；
(3) 将$m=1$代入方程$9m-5m=4$的左边：
左边$=9×1-5×1=9-5=4$，右边$=4$，左边$=$右边，因此$m=1$是该方程的解，(3)正确；
(4) 将$x=\frac{1}{4}$代入方程$3x-2=0$的左边：
左边$=3×\frac{1}{4}-2=\frac{3}{4}-\frac{8}{4}=-\frac{5}{4}$，右边$=0$，左边$≠$右边，因此$x=\frac{1}{4}$不是该方程的解，(4)错误。
综上，正确的是(2)和(3)，对应选项C。
【答案】C
【知识点】方程的解的定义；代入法检验方程的解
【点评】本题属于方程相关的基础题型，核心考查方程解的判断方法，熟练掌握代入检验的技巧即可快速得出结果，解题时注意计算不要出错。
【难度系数】0.8

10.已知$x=3$是关于$x$的方程$2x - a = 1$的解，则$a$的值是（）。

A.$-5$
B.$5$
C.$7$
D.$2$

B

【分析】
首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知$x=3$是方程的解，说明把$x$替换为3后等式仍然成立，因此我们可以将$x=3$直接代入原方程，得到只含有未知数$a$的一元一次方程，解这个方程就能求出$a$的值。
【解析】
将$x=3$代入方程$2x - a = 1$，可得：
$2×3 - a = 1$
计算乘法得：
$6 - a = 1$
移项计算：
$a = 6 - 1$
$a = 5$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的定义的应用，解题关键是将已知的解代入原方程转化为新的一元一次方程求解，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.9

11.请写出一个解为$x=-3$的一元一次方程：。

$x+4=1$(答案不唯一)

【分析】
解题时需先明确题目的两个核心要求：一是所写方程为一元一次方程，需满足三个条件：只含有1个未知数、未知数的最高次数为1、等号两边都是整式；二是把x=-3代入方程时，等号左右两边的数值相等。构造方程时可以先对x=-3做简单的恒等变形，比如给等式两边同时加同一个常数，就能快速得到符合要求的方程。
【解析】
首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
方程的解是指使方程左右两边相等的未知数的值，因此我们可以对x=-3进行等式变形来构造方程：
给等式x=-3的两边同时加4，可得x+4 = -3+4，计算右边的结果为1，即得到方程x+4=1。
也可以进行其他变形，如两边同时乘2得2x=-6、两边同时减1得x-1=-4等，均符合要求，答案不唯一。
【答案】
$x+4=1$(答案不唯一)
【知识点】
一元一次方程的定义；方程的解的概念
【点评】
本题是开放型基础题，核心考查对一元一次方程、方程的解两个核心概念的理解与应用，只要熟练掌握基础概念就能灵活构造出符合要求的方程，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.9

12.根据条件列出方程：
(1)$2x$与$-3$的和是7；
(2)$2x$的相反数与18的差是20；
(3)某数的2倍比它的$\frac{1}{4}$大7；
(4)小明的妈妈今年44岁，比小明的岁数的3倍还大2岁，设小明今年$x$岁；
(5)代数式$2x+1$和$5x-8$互为相反数。

解:(1)$2x+(-3)=7$。
(2)$-2x-18=20$。
(3)设这个数为x，则$2x-\frac{1}{4}x=7$。
(4)$3x+2=44$。
(5)$2x+1+5x-8=0$。

【分析】
列方程的核心是先找准题目中的等量关系，再将文字描述的数量转化为对应的代数式，最后根据等量关系列出等式。解题时要抓住关键词对应的运算含义：①“和”对应加法运算，②“相反数”是在原数前加负号，③“差”对应减法运算，④“A比B大C”对应等量关系为A-B=C，⑤“互为相反数的两个数”满足和为0。针对每一问逐一分析：
(1) “2x与-3的和”就是2x加-3，结果等于7，直接列等式即可；
(2) 先求2x的相反数为-2x，再求它与18的差，结果等于20；
(3) 先设未知数表示某数，再根据“2倍的数减去$\frac{1}{4}$的数等于7”列方程；
(4) 小明年龄的3倍加2等于妈妈的年龄44岁，据此列等式；
(5) 根据互为相反数的两数和为0，将两个代数式相加等于0即可。
【解析】
(1) 2x与-3的和为$2x+(-3)$，已知和为7，列方程得：$2x+(-3)=7$；
(2) 2x的相反数是$-2x$，它与18的差为$-2x-18$，已知差是20，列方程得：$-2x-18=20$；
(3) 设这个数为x，它的2倍是$2x$，它的$\frac{1}{4}$是$\frac{1}{4}x$，已知2倍比它的$\frac{1}{4}$大7，列方程得：$2x-\frac{1}{4}x=7$；
(4) 小明今年x岁，他岁数的3倍大2岁为$3x+2$，等于妈妈的年龄44岁，列方程得：$3x+2=44$；
(5) 互为相反数的两个数和为0，已知代数式$2x+1$和$5x-8$互为相反数，列方程得：$2x+1+5x-8=0$。
【答案】
(1)$2x+(-3)=7$
(2)$-2x-18=20$
(3)设这个数为x，则$2x-\frac{1}{4}x=7$
(4)$3x+2=44$
(5)$2x+1+5x-8=0$
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 相反数的性质
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是方程入门的基础题型，重点考查文字语言与数学符号语言的转化能力，解题时需准确把握“和、差、倍、大、相反数”等关键词对应的运算规则，掌握好这类题型是后续学习解方程及方程实际应用的重要基础。
【难度系数】
0.8

13.【数学文化】方程是指含有未知数的表示量相等的等式。使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。“方程”一词出自古代数学专著《九章算术》，其第八卷即名“方程”。
方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等，还可组成方程组求解多个未知数，其中“元”代表未知数，“次”代表未知数的最高次数。
例如，$2x - 3 = 0$是一元一次方程，$x^2 + 2x -5=0$是元次方程，$x + y =6$是元次方程。请试写出方程$x + y =6$的一组解：$x =$，$y =$。

一 二 二 一 1 5（最后两空答案不唯一）

【分析】
解题时先结合题干给出的“元”“次”的定义进行判断：“元”代表未知数的个数，“次”代表未知数的最高次数。首先分析方程$x^2 + 2x -5=0$：数未知数的数量，只有x这1个未知数，因此是“一元”，再看未知数的最高次数，x的次数是2，因此是“二次”。接下来分析$x + y =6$：共有x、y2个未知数，因此是“二元”，x和y的次数都是1，最高次数为1，因此是“一次”。最后写$x + y =6$的解时，只要代入后等式成立即可，可任选一个x的取值，计算出对应的y值即可，比如取x=1，可算出y=5。
【解析】
根据题干中对“元”“次”的定义：
1. 对于方程$x^2 + 2x -5=0$：仅含有x1个未知数，且未知数x的最高次数为2，因此是一元二次方程。
2. 对于方程$x + y =6$：含有x、y共2个未知数，且未知数的最高次数为1，因此是二元一次方程。
3. 能使$x + y =6$成立的未知数的值都是方程的解，当x=1时，代入得$1+y=6$，解得$y=5$，因此一组解可以是x=1，y=5（答案不唯一，满足x+y=6即可）。
【答案】
一 二 二 一 1 5（最后两空答案不唯一）
【知识点】
方程相关概念，二元一次方程的解
【点评】
本题结合传统数学文化考查方程的基础概念，难度较低，核心是理解题干给出的“元”“次”定义即可完成方程类型判断，同时明确二元一次方程的解不唯一，只要满足等式成立即可，侧重对基础概念的理解和简单应用。
【难度系数】
0.9