登录
1. 计算$\frac{3x}{(x-1)^2} - \frac{3}{(1-x)^2}$的结果是（
A.$\frac{3}{x-1}$
B.$\frac{1}{x-1}$
C.$\frac{x}{(x-1)^2}$
D.$\frac{3}{x+1}$
A
）A.$\frac{3}{x-1}$
B.$\frac{1}{x-1}$
C.$\frac{x}{(x-1)^2}$
D.$\frac{3}{x+1}$
答案
1. A
解析
【分析】
这是分式减法运算题，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分母，发现$(1-x)^2$和$(x-1)^2$是相等的（互为相反数的两个数的偶次幂相等），因此两个分式属于同分母分式；第二步按照同分母分式减法法则计算，分母不变，分子相减；第三步对得到的分式的分子因式分解，约去分子分母的公因式，化为最简分式即可得到结果。
【解析】
解：$\because (1-x)^2=(x-1)^2$
$\therefore$ 原式$=\frac{3x}{(x-1)^2} - \frac{3}{(x-1)^2}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，得：
$=\frac{3x - 3}{(x-1)^2}$
对分子提取公因式3，得：
$=\frac{3(x - 1)}{(x-1)^2}$
约去分子分母的公因式$(x-1)$（$x≠1$），得：
$=\frac{3}{x-1}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，偶次幂的性质
【点评】
本题考查分式的减法运算，解题核心是先利用偶次幂的性质将两个分式转化为同分母分式，再按运算法则计算后约分得到最简结果，解题时注意不要将$(1-x)^2$误写成$-(x-1)^2$导致计算错误。
【难度系数】
0.8
这是分式减法运算题，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分母，发现$(1-x)^2$和$(x-1)^2$是相等的（互为相反数的两个数的偶次幂相等），因此两个分式属于同分母分式；第二步按照同分母分式减法法则计算，分母不变，分子相减；第三步对得到的分式的分子因式分解，约去分子分母的公因式，化为最简分式即可得到结果。
【解析】
解：$\because (1-x)^2=(x-1)^2$
$\therefore$ 原式$=\frac{3x}{(x-1)^2} - \frac{3}{(x-1)^2}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，得：
$=\frac{3x - 3}{(x-1)^2}$
对分子提取公因式3，得：
$=\frac{3(x - 1)}{(x-1)^2}$
约去分子分母的公因式$(x-1)$（$x≠1$），得：
$=\frac{3}{x-1}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，偶次幂的性质
【点评】
本题考查分式的减法运算，解题核心是先利用偶次幂的性质将两个分式转化为同分母分式，再按运算法则计算后约分得到最简结果，解题时注意不要将$(1-x)^2$误写成$-(x-1)^2$导致计算错误。
【难度系数】
0.8
2. $\frac{2}{x^2 -4} - \frac{1}{x(x+2)}$的计算结果是（
A.$\frac{x}{x+2}$
B.$\frac{2x}{x+2}$
C.$\frac{2x}{x-2}$
D.$\frac{1}{x(x-2)}$
D
）A.$\frac{x}{x+2}$
B.$\frac{2x}{x+2}$
C.$\frac{2x}{x-2}$
D.$\frac{1}{x(x-2)}$
答案
2. D
解析
【分析】
本题是分式的减法运算，解题思路如下：第一步先对两个分式的分母因式分解，找到最简公分母；第二步将两个分式通分为同分母分式；第三步按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，注意去括号时符号变化；第四步对得到的分式约分，化为最简分式后对应选项即可。
【解析】
首先对分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，
因此两个分式的最简公分母为$x(x+2)(x-2)$，对原式通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2}{(x+2)(x-2)} - \frac{1}{x(x+2)}\\&=\frac{2x}{x(x+2)(x-2)} - \frac{x-2}{x(x+2)(x-2)}\\&=\frac{2x - (x-2)}{x(x+2)(x-2)}\\&=\frac{2x -x +2}{x(x+2)(x-2)}\\&=\frac{x+2}{x(x+2)(x-2)}\end{aligned}$
根据分式有意义的条件，$x≠0$且$x≠\pm2$，约去分子分母的公因式$(x+2)$，得：
$\mathrm{原式}=\frac{1}{x(x-2)}$
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是正确对分母因式分解确定最简公分母，通分计算时注意不要漏乘分子，去括号时注意符号变化，最后运算结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.8
本题是分式的减法运算，解题思路如下：第一步先对两个分式的分母因式分解，找到最简公分母；第二步将两个分式通分为同分母分式；第三步按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，注意去括号时符号变化；第四步对得到的分式约分，化为最简分式后对应选项即可。
【解析】
首先对分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，
因此两个分式的最简公分母为$x(x+2)(x-2)$，对原式通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2}{(x+2)(x-2)} - \frac{1}{x(x+2)}\\&=\frac{2x}{x(x+2)(x-2)} - \frac{x-2}{x(x+2)(x-2)}\\&=\frac{2x - (x-2)}{x(x+2)(x-2)}\\&=\frac{2x -x +2}{x(x+2)(x-2)}\\&=\frac{x+2}{x(x+2)(x-2)}\end{aligned}$
根据分式有意义的条件，$x≠0$且$x≠\pm2$，约去分子分母的公因式$(x+2)$，得：
$\mathrm{原式}=\frac{1}{x(x-2)}$
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是正确对分母因式分解确定最简公分母，通分计算时注意不要漏乘分子，去括号时注意符号变化，最后运算结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.8
3. 下列各式，从左到右变形正确的是（
A.$\frac{3x^2}{6x}=\frac{x}{2}\ (x≠0)$
B.$\frac{n}{m}=\frac{n+1}{m+1}$
C.$\frac{n}{m}-\frac{m}{n}=\frac{n-m}{mn}$
D.$\frac{n}{m}=\frac{n^2}{m^2}$
A
）A.$\frac{3x^2}{6x}=\frac{x}{2}\ (x≠0)$
B.$\frac{n}{m}=\frac{n+1}{m+1}$
C.$\frac{n}{m}-\frac{m}{n}=\frac{n-m}{mn}$
D.$\frac{n}{m}=\frac{n^2}{m^2}$
答案
3. A
解析
【分析】
本题考查分式的基本性质及异分母分式的加减运算，解题时需逐个分析选项，结合对应知识点判断变形是否正确。首先明确核心规则：1. 分式的基本性质：分式的分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，注意不能是同加或同减同一个数；2. 异分母分式相加减，要先通分转化为同分母分式，再按同分母分式加减法则计算。我们可以结合规则逐一验证每个选项，也可以通过举反例的方式快速排除错误选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：已知$x≠0$，因此$3x≠0$，对$\frac{3x^2}{6x}$的分子分母同时除以$3x$，可得$\frac{3x^2÷3x}{6x÷3x}=\frac{x}{2}$，符合分式的基本性质，变形正确。
B选项：分式的基本性质仅适用于分子分母同乘除不为0的整式，不能同加同一个数，举反例验证：取$n=1,m=2$，左边$\frac{n}{m}=\frac{1}{2}$，右边$\frac{n+1}{m+1}=\frac{2}{3}$，左右两边不相等，变形错误。
C选项：异分母分式相减需先通分，公分母为$mn$，因此$\frac{n}{m}-\frac{m}{n}=\frac{n^2}{mn}-\frac{m^2}{mn}=\frac{n^2-m^2}{mn}$，显然与选项中的$\frac{n-m}{mn}$不相等，变形错误。
D选项：分子分母同时平方不符合分式的基本性质，举反例验证：取$n=1,m=2$，左边$\frac{n}{m}=\frac{1}{2}$，右边$\frac{n^2}{m^2}=\frac{1}{4}$，左右两边不相等，变形错误。
综上，只有A选项变形正确。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分；异分母分式加减法
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心考查对分式基本性质的理解，要注意区分分式变形时乘除和加减的适用规则，举反例是解决这类判断类选择题的高效方法。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的基本性质及异分母分式的加减运算，解题时需逐个分析选项，结合对应知识点判断变形是否正确。首先明确核心规则：1. 分式的基本性质：分式的分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，注意不能是同加或同减同一个数；2. 异分母分式相加减，要先通分转化为同分母分式，再按同分母分式加减法则计算。我们可以结合规则逐一验证每个选项，也可以通过举反例的方式快速排除错误选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：已知$x≠0$，因此$3x≠0$，对$\frac{3x^2}{6x}$的分子分母同时除以$3x$，可得$\frac{3x^2÷3x}{6x÷3x}=\frac{x}{2}$，符合分式的基本性质，变形正确。
B选项：分式的基本性质仅适用于分子分母同乘除不为0的整式，不能同加同一个数，举反例验证：取$n=1,m=2$，左边$\frac{n}{m}=\frac{1}{2}$，右边$\frac{n+1}{m+1}=\frac{2}{3}$，左右两边不相等，变形错误。
C选项：异分母分式相减需先通分，公分母为$mn$，因此$\frac{n}{m}-\frac{m}{n}=\frac{n^2}{mn}-\frac{m^2}{mn}=\frac{n^2-m^2}{mn}$，显然与选项中的$\frac{n-m}{mn}$不相等，变形错误。
D选项：分子分母同时平方不符合分式的基本性质，举反例验证：取$n=1,m=2$，左边$\frac{n}{m}=\frac{1}{2}$，右边$\frac{n^2}{m^2}=\frac{1}{4}$，左右两边不相等，变形错误。
综上，只有A选项变形正确。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分；异分母分式加减法
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心考查对分式基本性质的理解，要注意区分分式变形时乘除和加减的适用规则，举反例是解决这类判断类选择题的高效方法。
【难度系数】
0.7
【例1】化简$\frac{x^2}{x-1}+\frac{x}{1-x}$的结果是（
A.$x$
B.$x-1$
C.$-x$
D.$x+1$
【点拨】注意，两个分式的分母互为相反数，因此将后面分式上下同时乘-1，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果。
A
）A.$x$
B.$x-1$
C.$-x$
D.$x+1$
【点拨】注意，两个分式的分母互为相反数，因此将后面分式上下同时乘-1，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果。
答案
【例1】A 解析：原式=$\frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{x-1} = \frac{x(x-1)}{x-1}=x$。故选A。
解析
【分析】
首先观察两个分式的分母，发现$x-1$与$1-x$互为相反数，因此可以利用分式的基本性质，将第二个分式的分子、分母同时乘$-1$，把两个分式转化为同分母分式；再根据同分母分式加减法法则：分母不变，分子相加减，得到合并后的分子；最后对分子因式分解，在保证分母不为0的前提下约分，即可得到化简结果。
【解析】
解：
∵分母$x-1$和$1-x$互为相反数，根据分式的基本性质，对第二个分式变形可得：
$\frac{x}{1-x}=\frac{-x}{-(1-x)}=-\frac{x}{x-1}$
∴原式$=\frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{x-1}$
$=\frac{x^2 - x}{x-1}$
对分子提取公因式得：
$\frac{x(x-1)}{x-1}$
由分式有意义的条件可知$x-1≠0$，约分后得：
原式$=x$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、同分母分式加减运算、分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题，解题关键是利用分母互为相反数的特点将异分母转化为同分母，再按运算法则计算即可，计算时要注意约分的前提是分母不为0，熟练掌握分式的相关性质和运算法则就能快速解题。
【难度系数】
0.9
首先观察两个分式的分母，发现$x-1$与$1-x$互为相反数，因此可以利用分式的基本性质，将第二个分式的分子、分母同时乘$-1$，把两个分式转化为同分母分式；再根据同分母分式加减法法则：分母不变，分子相加减，得到合并后的分子；最后对分子因式分解，在保证分母不为0的前提下约分，即可得到化简结果。
【解析】
解：
∵分母$x-1$和$1-x$互为相反数，根据分式的基本性质，对第二个分式变形可得：
$\frac{x}{1-x}=\frac{-x}{-(1-x)}=-\frac{x}{x-1}$
∴原式$=\frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{x-1}$
$=\frac{x^2 - x}{x-1}$
对分子提取公因式得：
$\frac{x(x-1)}{x-1}$
由分式有意义的条件可知$x-1≠0$，约分后得：
原式$=x$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、同分母分式加减运算、分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题，解题关键是利用分母互为相反数的特点将异分母转化为同分母，再按运算法则计算即可，计算时要注意约分的前提是分母不为0，熟练掌握分式的相关性质和运算法则就能快速解题。
【难度系数】
0.9
【例2】已知分式$A=\dfrac{4}{x^2-4}$，$B=\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{2-x}$，其中$x≠±2$，判断$A$与$B$的关系是（
A.$A=B$
B.$A=-B$
C.$A＞B$
D.$A＜B$
【点拨】判断两个式子之间的大小关系，首先要将两个式子化成分母相同的分式，再进行比较. 本题考查分式的加减，解题的关键是将$B$通分变为与$A$同分母的分式，再相加.
B
）A.$A=B$
B.$A=-B$
C.$A＞B$
D.$A＜B$
【点拨】判断两个式子之间的大小关系，首先要将两个式子化成分母相同的分式，再进行比较. 本题考查分式的加减，解题的关键是将$B$通分变为与$A$同分母的分式，再相加.
答案
【例2】B 解析：$B= \frac{1}{x+2} + \frac{1}{2-x} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-2} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} - \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} = \frac{-4}{(x+2)(x-2)}$，而$A=\frac{4}{(x+2)(x-2)}$，$\therefore A=-B$。故选B。
解析
【分析】
要判断A和B的关系，首先需要将B化简为和A同分母的形式。首先观察B的两个分母：x+2和2-x互为相反数，可先把$\dfrac{1}{2-x}$变形为$-\dfrac{1}{x-2}$，将B转化为两个异分母分式的减法；再确定最简公分母为$(x+2)(x-2)=x^2-4$，对B通分后计算分子，将化简后的B和A作对比，就能得到二者的关系。
【解析】
先化简分式B：
$\begin{aligned}B&=\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{2-x}\\&=\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x-2}\\&=\dfrac{x-2}{(x+2)(x-2)} - \dfrac{x+2}{(x+2)(x-2)}\\&=\dfrac{(x-2)-(x+2)}{x^2-4}\\&=\dfrac{x-2-x-2}{x^2-4}\\&=\dfrac{-4}{x^2-4}\end{aligned}$
已知$A=\dfrac{4}{x^2-4}$，对比可得$A=-B$。
【答案】
B
【知识点】
分式加减法；分式通分；分式符号变换
【点评】
本题属于基础题型，重点考查异分母分式的加减运算，解题的关键是正确处理互为相反数的分母的符号，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
要判断A和B的关系，首先需要将B化简为和A同分母的形式。首先观察B的两个分母：x+2和2-x互为相反数，可先把$\dfrac{1}{2-x}$变形为$-\dfrac{1}{x-2}$，将B转化为两个异分母分式的减法；再确定最简公分母为$(x+2)(x-2)=x^2-4$，对B通分后计算分子，将化简后的B和A作对比，就能得到二者的关系。
【解析】
先化简分式B：
$\begin{aligned}B&=\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{2-x}\\&=\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x-2}\\&=\dfrac{x-2}{(x+2)(x-2)} - \dfrac{x+2}{(x+2)(x-2)}\\&=\dfrac{(x-2)-(x+2)}{x^2-4}\\&=\dfrac{x-2-x-2}{x^2-4}\\&=\dfrac{-4}{x^2-4}\end{aligned}$
已知$A=\dfrac{4}{x^2-4}$，对比可得$A=-B$。
【答案】
B
【知识点】
分式加减法；分式通分；分式符号变换
【点评】
本题属于基础题型，重点考查异分母分式的加减运算，解题的关键是正确处理互为相反数的分母的符号，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
