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已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{x-2}+\frac{mx}{x^2-4}=\frac{2}{x+2}.$
（1）当方程的解为$x=4$时，求$m$的值；
（2）当方程无解时，求$m$的值.
解（1）原方程整理得$mx=-8.$
当方程的解为$x=4$时，$4m=-8.$ 解得$m=-2.$
（2）当原分式方程无解时，$(x+2)·(x-2)=0$或$m=0.$ 解得$x=-2$或$x=2.$
若$x=-2$，则$-2m=-8.$
解得$m=4.$
若$x=2$，则$2m=-8.$ 解得$m=-4.$
所以当原分式方程无解时，$m$的值为$\pm4$或$0.$
（1）当方程的解为$x=4$时，求$m$的值；
（2）当方程无解时，求$m$的值.
解（1）原方程整理得$mx=-8.$
当方程的解为$x=4$时，$4m=-8.$ 解得$m=-2.$
（2）当原分式方程无解时，$(x+2)·(x-2)=0$或$m=0.$ 解得$x=-2$或$x=2.$
若$x=-2$，则$-2m=-8.$
解得$m=4.$
若$x=2$，则$2m=-8.$ 解得$m=-4.$
所以当原分式方程无解时，$m$的值为$\pm4$或$0.$
答案
解：
（1）原分式方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$2(x+2)+mx=2(x-2)$
去括号得：$2x+4+mx=2x-4$
整理得：$mx=-8$
将$x=4$代入$mx=-8$，得：
$4m=-8$
解得$m=-2$。
（2）分两种情况讨论：
① 当整式方程$mx=-8$无解时，$m=0$，此时等式$0=-8$不成立，原分式方程无解。
② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，增根满足$(x+2)(x-2)=0$，解得$x=2$或$x=-2$。
将$x=2$代入$mx=-8$，得$2m=-8$，解得$m=-4$；
将$x=-2$代入$mx=-8$，得$-2m=-8$，解得$m=4$。
综上，当原方程无解时，$m$的值为$0$或$4$或$-4$。
（1）原分式方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$2(x+2)+mx=2(x-2)$
去括号得：$2x+4+mx=2x-4$
整理得：$mx=-8$
将$x=4$代入$mx=-8$，得：
$4m=-8$
解得$m=-2$。
（2）分两种情况讨论：
① 当整式方程$mx=-8$无解时，$m=0$，此时等式$0=-8$不成立，原分式方程无解。
② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，增根满足$(x+2)(x-2)=0$，解得$x=2$或$x=-2$。
将$x=2$代入$mx=-8$，得$2m=-8$，解得$m=-4$；
将$x=-2$代入$mx=-8$，得$-2m=-8$，解得$m=4$。
综上，当原方程无解时，$m$的值为$0$或$4$或$-4$。
解析
【分析】
（1）解决第一问时，先通过去分母将分式方程转化为整式方程，化简得到关于m和x的整式等式，再将已知的解x=4代入该等式，即可解出m的值。
（2）解决第二问分式方程无解的问题，需分两种情况讨论：①化简得到的整式方程本身无解，即x的系数为0且常数项不为0；②整式方程的解是原分式方程的增根，增根是使原分式方程分母为0的x值，先求出增根，再分别代入整式方程求出对应的m值，最后汇总所有符合条件的m即可。
【解析】
（1）原分式方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$2(x+2)+mx=2(x-2)$
去括号得：$2x+4+mx=2x-4$
整理得：$mx=-8$
将$x=4$代入$mx=-8$，得：
$4m=-8$
解得$m=-2$。
（2）分两种情况讨论：
① 当整式方程$mx=-8$无解时，$m=0$，此时等式$0=-8$不成立，原分式方程无解。
② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，增根满足$(x+2)(x-2)=0$，解得$x=2$或$x=-2$。
将$x=2$代入$mx=-8$，得$2m=-8$，解得$m=-4$；
将$x=-2$代入$mx=-8$，得$-2m=-8$，解得$m=4$。
综上，当原方程无解时，$m$的值为$0$或$4$或$-4$。
【答案】
（1）$m=-2$；（2）$m$的值为$0$、$4$或$-4$
【知识点】
分式方程的解，增根的定义，分类讨论思想
【点评】
本题考查分式方程的相关性质，解题时要注意分式方程无解包含整式方程本身无解、整式方程的解为增根两种情况，避免出现漏解的问题，熟练掌握增根的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
（1）解决第一问时，先通过去分母将分式方程转化为整式方程，化简得到关于m和x的整式等式，再将已知的解x=4代入该等式，即可解出m的值。
（2）解决第二问分式方程无解的问题，需分两种情况讨论：①化简得到的整式方程本身无解，即x的系数为0且常数项不为0；②整式方程的解是原分式方程的增根，增根是使原分式方程分母为0的x值，先求出增根，再分别代入整式方程求出对应的m值，最后汇总所有符合条件的m即可。
【解析】
（1）原分式方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$2(x+2)+mx=2(x-2)$
去括号得：$2x+4+mx=2x-4$
整理得：$mx=-8$
将$x=4$代入$mx=-8$，得：
$4m=-8$
解得$m=-2$。
（2）分两种情况讨论：
① 当整式方程$mx=-8$无解时，$m=0$，此时等式$0=-8$不成立，原分式方程无解。
② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，增根满足$(x+2)(x-2)=0$，解得$x=2$或$x=-2$。
将$x=2$代入$mx=-8$，得$2m=-8$，解得$m=-4$；
将$x=-2$代入$mx=-8$，得$-2m=-8$，解得$m=4$。
综上，当原方程无解时，$m$的值为$0$或$4$或$-4$。
【答案】
（1）$m=-2$；（2）$m$的值为$0$、$4$或$-4$
【知识点】
分式方程的解，增根的定义，分类讨论思想
【点评】
本题考查分式方程的相关性质，解题时要注意分式方程无解包含整式方程本身无解、整式方程的解为增根两种情况，避免出现漏解的问题，熟练掌握增根的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
（1）当方程两边同乘最简公分母时，注意常数项也要乘最简公分母；
（2）将整式方程的解代入最简公分母时，若结果为0，则分式方程无解，此时不要忽略去分母后得到的整式方程本身就无解的情况。
（2）将整式方程的解代入最简公分母时，若结果为0，则分式方程无解，此时不要忽略去分母后得到的整式方程本身就无解的情况。
答案
解析
【分析】
解分式方程的核心逻辑是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，再通过验根排除不符合原分式方程的解，这两个注意点分别对应解分式方程两个核心步骤的易错点：
1. 去分母的依据是等式的性质，即等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。常数项是等式的组成部分，因此去分母时所有项（包括常数项）都要乘最简公分母，否则得到的整式方程和原分式方程不等价，会出现错解。
2. 分式方程无解分两类情况：一是去分母得到的整式方程本身就不存在解，比如化简后出现0=非零常数的矛盾式，此时分式方程必然无解；二是整式方程有解，但该解使得原分式方程的分母为0，也就是最简公分母为0，属于增根，分式方程也无解，因此判断无解时两类情况都要考虑，不能只验证增根。
【解析】
我们可以结合实例理解两个注意点：
（1）针对“去分母时常数项也要乘最简公分母”：
以分式方程$\frac{1}{x}+1=\frac{2}{x}$为例，两边同时乘最简公分母$x$时，常数项$1$也要乘$x$，可得$1 + x = 2$，解得$x=1$，验根后$x=1$是原方程的解；如果漏乘常数项，会错误得到$1=2$的矛盾式，和正确结果不符。
（2）针对“不要忽略整式方程本身无解的情况”：
以“若关于$x$的分式方程$\frac{2x+1}{x-3}=2+\frac{m}{x-3}$无解，求$m$的取值”为例：
去分母得$2x + 1 = 2(x-3) + m$，化简得$0x = m -7$。
①当$m≠7$时，整式方程为$0x=$非零常数，本身无解，因此分式方程也无解；
②当$m=7$时，整式方程的解为任意实数，此时$x=3$会让最简公分母为0，属于增根，分式方程无解。
可见整式方程本身无解也是分式方程无解的一类情况，不能忽略。
【答案】
解分式方程需牢记两个要点：①去分母时所有项（含常数项）都要乘最简公分母；②分式方程无解包含整式方程本身无解、整式方程的解为增根两种情况，需全面考虑。
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根，等式的性质
【点评】
这两个注意点是解分式方程的高频易错点，很多同学解题时容易漏乘常数项，或者判断分式方程无解时只考虑增根的情况，导致出错。解题时要严格按照步骤操作，去分母后逐项核对是否漏乘，判断无解时两类情况都要逐一排查。
【难度系数】
0.6
解分式方程的核心逻辑是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，再通过验根排除不符合原分式方程的解，这两个注意点分别对应解分式方程两个核心步骤的易错点：
1. 去分母的依据是等式的性质，即等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。常数项是等式的组成部分，因此去分母时所有项（包括常数项）都要乘最简公分母，否则得到的整式方程和原分式方程不等价，会出现错解。
2. 分式方程无解分两类情况：一是去分母得到的整式方程本身就不存在解，比如化简后出现0=非零常数的矛盾式，此时分式方程必然无解；二是整式方程有解，但该解使得原分式方程的分母为0，也就是最简公分母为0，属于增根，分式方程也无解，因此判断无解时两类情况都要考虑，不能只验证增根。
【解析】
我们可以结合实例理解两个注意点：
（1）针对“去分母时常数项也要乘最简公分母”：
以分式方程$\frac{1}{x}+1=\frac{2}{x}$为例，两边同时乘最简公分母$x$时，常数项$1$也要乘$x$，可得$1 + x = 2$，解得$x=1$，验根后$x=1$是原方程的解；如果漏乘常数项，会错误得到$1=2$的矛盾式，和正确结果不符。
（2）针对“不要忽略整式方程本身无解的情况”：
以“若关于$x$的分式方程$\frac{2x+1}{x-3}=2+\frac{m}{x-3}$无解，求$m$的取值”为例：
去分母得$2x + 1 = 2(x-3) + m$，化简得$0x = m -7$。
①当$m≠7$时，整式方程为$0x=$非零常数，本身无解，因此分式方程也无解；
②当$m=7$时，整式方程的解为任意实数，此时$x=3$会让最简公分母为0，属于增根，分式方程无解。
可见整式方程本身无解也是分式方程无解的一类情况，不能忽略。
【答案】
解分式方程需牢记两个要点：①去分母时所有项（含常数项）都要乘最简公分母；②分式方程无解包含整式方程本身无解、整式方程的解为增根两种情况，需全面考虑。
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根，等式的性质
【点评】
这两个注意点是解分式方程的高频易错点，很多同学解题时容易漏乘常数项，或者判断分式方程无解时只考虑增根的情况，导致出错。解题时要严格按照步骤操作，去分母后逐项核对是否漏乘，判断无解时两类情况都要逐一排查。
【难度系数】
0.6
