典例1 计算：
(1)$a^7 · a^3 ÷ a^2$；
(2)$(-2m^2)^3 - (m^3)^2$；
(3)$3a^3 · 2a^3 + a^8 ÷ a^2 - (-2a^2)^3$。

典例1
解 (1)$a^7 · a^3 ÷ a^2 = a^{7+3-2} = a^8$。
(2)$(-2m^2)^3 - (m^3)^2 = -8m^6 - m^6 = -9m^6$。
(3)$3a^3 · 2a^3 + a^8 ÷ a^2 - (-2a^2)^3 = 6a^6 + a^6 +8a^6 =15a^6$。

【分析】
这三道题均考查整式的幂相关运算，解题时先明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，再对应使用幂的运算法则即可。
(1) 属于同底数幂的乘除混合运算，按从左到右的顺序计算，依据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减”计算即可。
(2) 先算乘方运算，分别用积的乘方法则、幂的乘方法则计算两个乘方式，再合并同类项即可，注意积的乘方的符号处理。
(3) 先分别计算单项式乘法、同底数幂除法、积的乘方三项，再合并同类项，注意减去负数要变号。
【解析】
(1) 按照同底数幂乘除运算法则计算：
$a^7 · a^3 ÷ a^2 = a^{7+3-2} = a^8$。
(2) 先计算乘方，再合并同类项：
$(-2m^2)^3 - (m^3)^2 = (-2)^3·(m^2)^3 - m^{3×2} = -8m^6 - m^6 = -9m^6$。
(3) 先分别计算各项运算，再合并同类项：
$3a^3 · 2a^3 + a^8 ÷ a^2 - (-2a^2)^3$
$= 3×2·a^{3+3} + a^{8-2} - [(-2)^3·(a^2)^3]$
$= 6a^6 + a^6 - (-8a^6)$
$= 6a^6 + a^6 +8a^6$
$=15a^6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^8}$；(2) $\boldsymbol{-9m^6}$；(3) $\boldsymbol{15a^6}$
【知识点】
同底数幂的运算；幂的乘方与积的乘方；整式混合运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考查对幂的运算法则的掌握程度和运算顺序的应用，解题时需注意符号的处理，避免因忽略负号或指数运算规则混淆出错。
【难度系数】
0.85

典例2 计算：
(1)$(-2x)^{3}(2x^{3}-\dfrac{1}{2}x-1)-2x·(2x^{3}+4x^{2});$
(2)$(x+3)(x-5)-x(x-1).$

典例2
解 (1)$(-2x)^3(2x^3 - \frac{1}{2}x -1) -2x(2x^3 +4x^2)$
$= -8x^3(2x^3 - \frac{1}{2}x -1) - (4x^4 +8x^3)$
$= -16x^6 +4x^4 +8x^3 -4x^4 -8x^3$
$= -16x^6$。
(2)$(x+3)(x-5) -x(x-1)$
$=x^2 -5x +3x -15 -x^2 +x$
$= -x -15$。

【分析】
本题考查整式的混合运算，解题遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
(1) 第一步先计算积的乘方$(-2x)^3$，再分别按照单项式乘多项式的法则展开两个乘法项，注意括号前是负号时去括号要变号，最后合并同类项即可得到结果；
(2) 第一步分别按照多项式乘多项式、单项式乘多项式的法则展开两个乘法项，再合并同类项，运算过程中注意符号的处理。
【解析】
(1) 先计算乘方，再展开乘法项合并同类项：
$\begin{aligned}&(-2x)^3(2x^3 - \frac{1}{2}x -1) -2x(2x^3 +4x^2)\\=& -8x^3(2x^3 - \frac{1}{2}x -1) - (4x^4 +8x^3)\\=& -16x^6 +4x^4 +8x^3 -4x^4 -8x^3\\=& -16x^6\end{aligned}$
(2) 先展开多项式乘法，再合并同类项：
$\begin{aligned}&(x+3)(x-5) -x(x-1)\\=&x^2 -5x +3x -15 -x^2 +x\\=& -x -15\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-16x^6}$；(2) $\boldsymbol{-x -15}$
【知识点】
整式混合运算、单项式乘多项式、多项式乘多项式
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是熟练掌握各类整式运算的法则，运算时需重点注意去括号的符号变化、同类项的判断与合并，养成按运算顺序逐步计算的习惯，可有效降低错误率。
【难度系数】
0.8