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1. 分式方程的概念
分母中含
分母中含
未知数
的方程叫作分式方程。答案
1. 未知数
解析
【分析】
本题考查分式方程的基础概念，解题时首先回忆分式方程的定义要点：我们学过的整式方程分母中不含未知数，而分式方程的核心区分特征就是分母中含有未知数，直接对应定义内容补全空缺即可。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程。此处要注意区分，若分母中含有的是固定取值的字母（如π），不属于未知数，对应的方程也不是分式方程，因此空缺处应填入“未知数”。
【答案】
未知数
【知识点】
分式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，重点考查对分式方程核心特征的掌握，牢记概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题考查分式方程的基础概念，解题时首先回忆分式方程的定义要点：我们学过的整式方程分母中不含未知数，而分式方程的核心区分特征就是分母中含有未知数，直接对应定义内容补全空缺即可。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程。此处要注意区分，若分母中含有的是固定取值的字母（如π），不属于未知数，对应的方程也不是分式方程，因此空缺处应填入“未知数”。
【答案】
未知数
【知识点】
分式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，重点考查对分式方程核心特征的掌握，牢记概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
2. 分式方程的解法
解分式方程的一般步骤
(1)去分母:方程两边乘
成
(2)解这个
(3)检验:将
解分式方程的一般步骤
(1)去分母:方程两边乘
最简公分母
，化成
整式
方程；(2)解这个
整式
方程；(3)检验:将
整式
方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0
，则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。答案
2.(1)最简公分母 整式 (2)整式
(3)整式 0
(3)整式 0
解析
【分析】
这道题考查解分式方程的基本步骤，解题时可结合分式方程的求解逻辑推导：首先分式方程含分母，需要转化为我们已经掌握求解方法的整式方程，因此第一步去分母要乘各分母的最简公分母消去分母，得到整式方程；接下来只需要求解转化得到的整式方程；最后因为去分母过程可能产生使原方程分母为0的增根，必须检验，检验时把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，说明该解不会让原方程分母为0，是原分式方程的解，反之就是增根，需要舍去。
【解析】
根据解分式方程的标准步骤逐一填写：
(1) 去分母：方程两边乘最简公分母，消去所有分母，化成整式方程；
(2) 接下来解这个转化得到的整式方程；
(3) 检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解。
【答案】
(1)最简公分母 整式 (2)整式 (3)整式 0
【知识点】
解分式方程的步骤；分式方程验根规则；整式方程求解
【点评】
本题是基础概念题，核心考查解分式方程的标准流程，是求解各类分式方程的基础，熟练掌握相关步骤能有效避免求解分式方程时漏检验、出现增根的错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查解分式方程的基本步骤，解题时可结合分式方程的求解逻辑推导：首先分式方程含分母，需要转化为我们已经掌握求解方法的整式方程，因此第一步去分母要乘各分母的最简公分母消去分母，得到整式方程；接下来只需要求解转化得到的整式方程；最后因为去分母过程可能产生使原方程分母为0的增根，必须检验，检验时把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，说明该解不会让原方程分母为0，是原分式方程的解，反之就是增根，需要舍去。
【解析】
根据解分式方程的标准步骤逐一填写：
(1) 去分母：方程两边乘最简公分母，消去所有分母，化成整式方程；
(2) 接下来解这个转化得到的整式方程；
(3) 检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解。
【答案】
(1)最简公分母 整式 (2)整式 (3)整式 0
【知识点】
解分式方程的步骤；分式方程验根规则；整式方程求解
【点评】
本题是基础概念题，核心考查解分式方程的标准流程，是求解各类分式方程的基础，熟练掌握相关步骤能有效避免求解分式方程时漏检验、出现增根的错误。
【难度系数】
0.9
典例1 下列方程中，哪些是分式方程，哪些不是分式方程？
(1)$2x+\frac{x-1}{5}=10$；(2)$x-\frac{1}{x}=2$；
(3)$\frac{1}{2x+1}-3=0$；(4)$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$。
(1)$2x+\frac{x-1}{5}=10$；(2)$x-\frac{1}{x}=2$；
(3)$\frac{1}{2x+1}-3=0$；(4)$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$。
答案
解：分母中含有未知数的方程是分式方程。
方程(2)$x-\frac{1}{x}=2$和方程(3)$\frac{1}{2x+1}-3=0$的分母中含有未知数$x$，因此(2)(3)是分式方程；
方程(1)$2x+\frac{x-1}{5}=10$和方程(4)$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$的分母都是常数，不含有未知数，因此(1)(4)不是分式方程。
方程(2)$x-\frac{1}{x}=2$和方程(3)$\frac{1}{2x+1}-3=0$的分母中含有未知数$x$，因此(2)(3)是分式方程；
方程(1)$2x+\frac{x-1}{5}=10$和方程(4)$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$的分母都是常数，不含有未知数，因此(1)(4)不是分式方程。
解析
【分析】
要判断方程是否为分式方程，首先需明确分式方程的核心判定标准：方程的分母中是否含有未知数。解题时先牢记该判定依据，再逐一检查每个方程的分母，只要存在分母含有未知数的情况，该方程就是分式方程；若所有分母都是常数、不含未知数，则不属于分式方程。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程。
逐个分析4个方程：
1. 方程(1)$2x+\frac{x-1}{5}=10$的分母是5，为常数，不含未知数，因此不是分式方程；
2. 方程(2)$x-\frac{1}{x}=2$的分母是$x$，含有未知数$x$，因此是分式方程；
3. 方程(3)$\frac{1}{2x+1}-3=0$的分母是$2x+1$，含有未知数$x$，因此是分式方程；
4. 方程(4)$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$的分母是3和2，均为常数，不含未知数，因此不是分式方程。
【答案】
(2)(3)是分式方程，(1)(4)不是分式方程
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题是分式方程判定的基础题，解题关键是抓住“分母中含有未知数”这一核心判定条件，注意不要将分子含有未知数但分母为常数的方程误判为分式方程。
【难度系数】
0.9
要判断方程是否为分式方程，首先需明确分式方程的核心判定标准：方程的分母中是否含有未知数。解题时先牢记该判定依据，再逐一检查每个方程的分母，只要存在分母含有未知数的情况，该方程就是分式方程；若所有分母都是常数、不含未知数，则不属于分式方程。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程。
逐个分析4个方程：
1. 方程(1)$2x+\frac{x-1}{5}=10$的分母是5，为常数，不含未知数，因此不是分式方程；
2. 方程(2)$x-\frac{1}{x}=2$的分母是$x$，含有未知数$x$，因此是分式方程；
3. 方程(3)$\frac{1}{2x+1}-3=0$的分母是$2x+1$，含有未知数$x$，因此是分式方程；
4. 方程(4)$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$的分母是3和2，均为常数，不含未知数，因此不是分式方程。
【答案】
(2)(3)是分式方程，(1)(4)不是分式方程
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题是分式方程判定的基础题，解题关键是抓住“分母中含有未知数”这一核心判定条件，注意不要将分子含有未知数但分母为常数的方程误判为分式方程。
【难度系数】
0.9
举一反三 下列方程中，不是分式方程的是(
A.$\frac{x^2}{3} - x = 0$
B.$\frac{2}{x}=1$
C.$\frac{2}{3 - x}=x$
D.$\frac{1}{y}+y=2$
A
).A.$\frac{x^2}{3} - x = 0$
B.$\frac{2}{x}=1$
C.$\frac{2}{3 - x}=x$
D.$\frac{1}{y}+y=2$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，反之分母不含未知数的方程就不是分式方程。接下来只需要逐个检查每个选项的分母是否含有未知数，就能选出符合要求的答案。
【解析】
首先回忆分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程。
选项A：方程$\frac{x^2}{3} - x = 0$的分母是3，属于常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
选项B：方程$\frac{2}{x}=1$的分母是$x$，含有未知数，是分式方程；
选项C：方程$\frac{2}{3 - x}=x$的分母是$3-x$，含有未知数$x$，是分式方程；
选项D：方程$\frac{1}{y}+y=2$的分母是$y$，含有未知数$y$，是分式方程。
因此不是分式方程的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的定义；整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是抓住分式方程“分母含未知数”的判定特征，避免将分母仅含常数的整式方程误判为分式方程。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，反之分母不含未知数的方程就不是分式方程。接下来只需要逐个检查每个选项的分母是否含有未知数，就能选出符合要求的答案。
【解析】
首先回忆分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程。
选项A：方程$\frac{x^2}{3} - x = 0$的分母是3，属于常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
选项B：方程$\frac{2}{x}=1$的分母是$x$，含有未知数，是分式方程；
选项C：方程$\frac{2}{3 - x}=x$的分母是$3-x$，含有未知数$x$，是分式方程；
选项D：方程$\frac{1}{y}+y=2$的分母是$y$，含有未知数$y$，是分式方程。
因此不是分式方程的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的定义；整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是抓住分式方程“分母含未知数”的判定特征，避免将分母仅含常数的整式方程误判为分式方程。
【难度系数】
0.9
典例2 解分式方程：
(1)$\frac{5}{x+1}=\frac{3}{x-3}$；
(2)$\frac{x+1}{x-1}-1=\frac{4}{x^2-1}$。
温馨提示 (1)解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，注意方程两边的每一项都要乘最简公分母，切勿漏项；
(2)解分式方程可能产生使原方程中分母为0的情况，所以解分式方程必须验根。
(1)$\frac{5}{x+1}=\frac{3}{x-3}$；
(2)$\frac{x+1}{x-1}-1=\frac{4}{x^2-1}$。
温馨提示 (1)解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，注意方程两边的每一项都要乘最简公分母，切勿漏项；
(2)解分式方程可能产生使原方程中分母为0的情况，所以解分式方程必须验根。
答案
解：
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-3)$，得：
$5(x-3)=3(x+1)$
展开得：$5x-15=3x+3$
移项、合并同类项得：$2x=18$
解得：$x=9$
检验：当$x=9$时，$(x+1)(x-3)=(9+1)×(9-3)=60≠0$，
所以$x=9$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$
展开得：$x^2+2x+1-x^2+1=4$
合并同类项得：$2x+2=4$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=(1+1)×(1-1)=0$，
$x=1$是增根，因此原分式方程无解。
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-3)$，得：
$5(x-3)=3(x+1)$
展开得：$5x-15=3x+3$
移项、合并同类项得：$2x=18$
解得：$x=9$
检验：当$x=9$时，$(x+1)(x-3)=(9+1)×(9-3)=60≠0$，
所以$x=9$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$
展开得：$x^2+2x+1-x^2+1=4$
合并同类项得：$2x+2=4$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=(1+1)×(1-1)=0$，
$x=1$是增根，因此原分式方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径如下：①先确定最简公分母：观察各分母的形式，若可因式分解先因式分解，取各分母所有因式的最高次幂的乘积作为最简公分母；②去分母：方程两边每一项都乘最简公分母，消去分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；③按照整式方程的求解步骤计算出未知数的值；④必须验根：将求得的解代入最简公分母，若结果不为0，则是原分式方程的解，若结果为0，就是增根，原分式方程无解。本题中(1)的最简公分母为$(x+1)(x-3)$；(2)中$x^2-1$可分解为$(x+1)(x-1)$，故最简公分母为$(x+1)(x-1)$，去分母时左侧的常数项$-1$也要乘最简公分母，不可漏乘。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-3)$，得：
$5(x-3)=3(x+1)$
展开得：$5x-15=3x+3$
移项、合并同类项得：$2x=18$
解得：$x=9$
检验：当$x=9$时，$(x+1)(x-3)=(9+1)×(9-3)=60≠0$，
所以$x=9$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$
展开得：$x^2+2x+1-x^2+1=4$
合并同类项得：$2x+2=4$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=(1+1)×(1-1)=0$，
$x=1$是增根，因此原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=9$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，去分母法则
【点评】
本题是分式方程求解的基础常规题型，重点考查解分式方程的标准流程，易错点为去分母时漏乘不含分母的项、解后忘记验根，熟练掌握求解步骤即可准确作答。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径如下：①先确定最简公分母：观察各分母的形式，若可因式分解先因式分解，取各分母所有因式的最高次幂的乘积作为最简公分母；②去分母：方程两边每一项都乘最简公分母，消去分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；③按照整式方程的求解步骤计算出未知数的值；④必须验根：将求得的解代入最简公分母，若结果不为0，则是原分式方程的解，若结果为0，就是增根，原分式方程无解。本题中(1)的最简公分母为$(x+1)(x-3)$；(2)中$x^2-1$可分解为$(x+1)(x-1)$，故最简公分母为$(x+1)(x-1)$，去分母时左侧的常数项$-1$也要乘最简公分母，不可漏乘。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-3)$，得：
$5(x-3)=3(x+1)$
展开得：$5x-15=3x+3$
移项、合并同类项得：$2x=18$
解得：$x=9$
检验：当$x=9$时，$(x+1)(x-3)=(9+1)×(9-3)=60≠0$，
所以$x=9$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$
展开得：$x^2+2x+1-x^2+1=4$
合并同类项得：$2x+2=4$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=(1+1)×(1-1)=0$，
$x=1$是增根，因此原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=9$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，去分母法则
【点评】
本题是分式方程求解的基础常规题型，重点考查解分式方程的标准流程，易错点为去分母时漏乘不含分母的项、解后忘记验根，熟练掌握求解步骤即可准确作答。
【难度系数】
0.8
