4. 已知：如图，BD，AH分别是$△ ABC$的高. 求证：A，B，D，H四点在同一个圆上. 第4题

4. 证明：如图，取AB的中点O，连接DO，HO.

∵BD，AH分别是△ABC的高，
∴△DAB和△HAB都是直角三角形，且它们的斜边都是AB.
∵O为斜边AB的中点，
∴$DO=HO=\frac{1}{2}AB=AO=BO$，
即点A，B，D，H在以点O为圆心、OA长为半径的圆上.
因此A，B，D，H四点在同一个圆上.

5. 已知：如图，在$\odot O$中，C，D分别是半径OA，OB的中点. 求证：$AD=BC.$ 第5题

5. 证明：
∵OA，OB是⊙O的两条半径，
∴OA=OB.
∵C，D分别是半径OA，OB的中点，
∴OC=OD.
在△ODA和△OCB中，
∵$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠O=∠O, \\ OD=OC, \end{cases}$
∴△ODA≌△OCB.
∴AD=BC.

6. 如图，图中五个半圆的直径都在直线AB上，相邻的两个半圆之间都只有一个公共点，两只小虫同时出发，以相同的速度从点A到点B，甲虫沿$\overset{\frown}{ADA_1}$，$\overset{\frown}{A_1EA_2}$，$\overset{\frown}{A_2FA_3}$，$\overset{\frown}{A_3GB}$路线爬行，乙虫沿$\overset{\frown}{ACB}$路线爬行，则两只小虫谁先到达点B？

6. 解：设大半圆的半径为r，四个小半圆的半径分别为$r_1，r_2，r_3，r_4$.
∵甲虫沿 $\overset{\frown}{ADA_1}$，$\overset{\frown}{A_1EA_2}$，$\overset{\frown}{A_2FA_3}$，$\overset{\frown}{A_3GB}$路线爬行，
∴甲虫爬行的路程$=\frac{1}{2}×(2πr_1+2πr_2+2πr_3+2πr_4)=π(r_1+r_2+r_3+r_4)$.
∵乙虫沿 $\overset{\frown}{ACB}$ 路线爬行，
∴乙虫爬行的路程$=\frac{1}{2}×2πr=πr$.
又
∵$2r=2(r_1+r_2+r_3+r_4)$，
即$r=r_1+r_2+r_3+r_4$，
∴$πr=π(r_1+r_2+r_3+r_4)$.
∴甲虫和乙虫同时到达点B.