(1) $(-5a^2 + \frac{3}{2}a)(-2a^3) =$ ; (2) $2x(-3x^2 - 4x - 5) =$ ;

5. (1) $10a^5 - 3a^4$ 5. (2) $-6x^3 - 8x^2 - 10x$

【分析】
这两道题均为单项式与多项式相乘的整式乘法运算，解题思路遵循单项式乘多项式的运算法则：①用单项式分别乘多项式的每一项，运算时先确定每一项乘积的符号（同号得正，异号得负）；②计算系数的乘积，再结合同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）计算字母部分的乘积；③最后把所有乘积相加得到最终结果，计算时注意不要漏乘多项式的任意一项。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}(-5a^2 + \frac{3}{2}a)(-2a^3)&= (-5a^2)×(-2a^3) + \frac{3}{2}a×(-2a^3)\\&= 10a^{2+3} - 3a^{1+3}\\&= 10a^5 - 3a^4\end{aligned}$
(2) 同理展开计算：
$\begin{aligned}2x(-3x^2 - 4x - 5)&= 2x×(-3x^2) + 2x×(-4x) + 2x×(-5)\\&= -6x^{1+2} -8x^{1+1} -10x\\&= -6x^3 -8x^2 -10x\end{aligned}$
【答案】
(1) $10a^5 - 3a^4$；(2) $-6x^3 - 8x^2 - 10x$
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法、整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题的易错点是容易弄错乘积的符号、漏乘多项式的常数项，或者将同底数幂的指数运算错误记为相乘，运算时细心逐项计算即可避免出错。
【难度系数】
0.8

(3) $\frac{1}{2}mn(4m^2 - 3m + 2n) =$ ;(4) $2xy(-x^2 + \frac{1}{2}xy - 1) =$ ;

5. (3) $2m^3n - \frac{3}{2}m^2n + mn^2$ 5. (4) $-2x^3y + x^2y^2 - 2xy$

【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。运算时需注意三点：一是要连同符号一起计算，避免符号错误；二是同底数幂相乘遵循“底数不变，指数相加”的规则；三是不要漏乘多项式里的常数项。第(3)题用$\frac{1}{2}mn$分别乘$4m^2$、$-3m$、$2n$，计算每一项的结果后相加；第(4)题用$2xy$分别乘$-x^2$、$\frac{1}{2}xy$、$-1$，同理计算后合并即可。
【解析】
(3) 按照单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}mn(4m^2 - 3m + 2n)&=\frac{1}{2}mn·4m^2 + \frac{1}{2}mn·(-3m) + \frac{1}{2}mn·2n\\&=2m^3n - \frac{3}{2}m^2n + mn^2\end{aligned}$
(4) 同理展开计算：
$\begin{aligned}2xy(-x^2 + \frac{1}{2}xy - 1)&=2xy·(-x^2) + 2xy·\frac{1}{2}xy + 2xy·(-1)\\&=-2x^3y + x^2y^2 - 2xy\end{aligned}$
【答案】
(3) $2m^3n - \frac{3}{2}m^2n + mn^2$；(4) $-2x^3y + x^2y^2 - 2xy$
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法、整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础计算题，重点考查对单项式乘多项式运算法则的掌握程度，计算时容易出现符号错误、漏乘常数项的问题，养成逐项计算、边算边检查的习惯可以有效提升正确率。
【难度系数】
0.8

(5) $-(2x - 3x^2 - 8)(-\frac{1}{2}x^3)=$ ;(6) $(-2m)^2(\frac{1}{4}m^2 - 5m - 3)=$ .

5. (5) $x^4 - \frac{3}{2}x^5 - 4x^3$ 5. (6) $m^4 - 20m^3 - 12m^2$

【分析】
这两道题均考查单项式与多项式相乘的运算，解题核心是遵循单项式乘多项式的运算法则：用单项式依次乘以多项式的每一项，再将所有乘积相加。运算时需注意两点：一是符号的正确判断，二是熟练运用幂的运算规则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）。第(5)题可先通过负负得正简化符号，再进行乘法运算；第(6)题先计算单项式的乘方，再与多项式相乘即可。
【解析】
(5) 先化简原式符号，再进行单项式乘多项式运算：
$\begin{aligned}-(2x - 3x^2 - 8)(-\frac{1}{2}x^3)&=(2x - 3x^2 - 8) × \frac{1}{2}x^3\\&=2x · \frac{1}{2}x^3 + (-3x^2) · \frac{1}{2}x^3 + (-8) · \frac{1}{2}x^3\\&=x^4 - \frac{3}{2}x^5 - 4x^3\end{aligned}$
(6) 先计算乘方得到单项式，再进行单项式乘多项式运算：
$\begin{aligned}(-2m)^2(\frac{1}{4}m^2 - 5m - 3)&=4m^2 · (\frac{1}{4}m^2 - 5m - 3)\\&=4m^2 · \frac{1}{4}m^2 + 4m^2 · (-5m) + 4m^2 · (-3)\\&=m^4 - 20m^3 - 12m^2\end{aligned}$
【答案】
(5) $x^4 - \frac{3}{2}x^5 - 4x^3$；(6) $m^4 - 20m^3 - 12m^2$
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法、积的乘方
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，重点考查运算规则的应用能力和符号处理能力，运算时需注意不要漏乘多项式的任意一项，准确判断每一项乘积的符号，熟练掌握幂的运算性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

6. 一个长方体的长、宽、高分别为$2x - 1$、$2x$、$x^2$，则它的体积等于。

6. $4x^4 - 2x^3$

【分析】
解题首先回忆长方体体积的计算公式：体积=长×宽×高。我们先把题目给出的长、宽、高代入公式列出算式，先计算算式中单项式相乘的部分，再根据单项式与多项式相乘的运算法则展开计算，即可得到最终结果。
【解析】
根据长方体体积公式，可得体积为：
$\begin{aligned}V&=(2x-1)×2x× x^2\\&=(2x-1)×(2x· x^2)\\&=(2x-1)×2x^3\\&=2x·2x^3 - 1×2x^3\\&=4x^4 - 2x^3\end{aligned}$
【答案】
$4x^4 - 2x^3$
【知识点】
长方体体积计算、单项式乘单项式、单项式乘多项式
【点评】
本题属于整式乘法的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握几何体积公式和整式乘法的运算法则，计算时需注意同底数幂相乘的指数运算规则，避免出现符号错误或者漏乘的问题。
【难度系数】
0.8

7. 已知$x^2 + 2x = -8$，则代数式$10 + x(x + 2)$的值为。$a$ $a^2$ $\boxed{ab}$ $b$

7. 2

【分析】
解题时先观察待求代数式的结构，发现其中的$x(x+2)$可利用单项式与多项式相乘的法则展开，展开后刚好是已知等式左边的$x^2+2x$，因此不需要求解$x$的具体值，直接将已知的$x^2+2x=-8$整体代入化简后的代数式计算即可。
【解析】
解：先化简代数式$10 + x(x + 2)$，根据单项式乘多项式的运算法则：
$x(x+2)=x^2 + 2x$
因此原式可变形为：
$10 + (x^2 + 2x)$
已知$x^2 + 2x = -8$，将其代入上式得：
$10 + (-8) = 2$
【答案】
2
【知识点】
单项式乘多项式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题解题的核心是发现待求代数式与已知条件的内在联系，通过整体代入的方法简化计算，无需解出$x$的具体值就能快速得到结果，是代数式求值类题型的基础考法。
【难度系数】
0.8

8. 几何图形的面积可表示一些代数恒等式(一定成立的等式),请根据如图所示的图形写出一个代数恒等式：。
b
ab
$a^2$
a

8. $2a(a + b) = 2a^2 + 2ab$

【分析】
本题可利用面积法推导代数恒等式，核心思路是同一个图形的面积用两种不同方法计算，所得结果相等。第一步先观察整个图形的形状，确定其作为整体的长和宽，用长方形面积公式算出总面积；第二步将图形分割成若干个小的规则图形，分别计算每个小图形的面积后求和得到总面积；最后令两个面积表达式相等即可得到恒等式。
【解析】
解：方法1：将整个图形看作大长方形，观察可得大长方形的宽为$2a$，长为$(a+b)$，根据长方形面积=长×宽，可得总面积为：
$S=2a(a+b)$
方法2：将图形分割为4个小规则图形，包含2个边长为$a$的正方形，2个长为$a$、宽为$b$的长方形，分别计算各部分面积再求和：
2个正方形的面积和为$a^2+a^2=2a^2$，2个长方形的面积和为$ab+ab=2ab$，因此总面积为：
$S=2a^2+2ab$
因为两种方法计算的是同一图形的面积，所以结果相等，可得恒等式：
$2a(a + b) = 2a^2 + 2ab$
【答案】
$2a(a + b) = 2a^2 + 2ab$
【知识点】
单项式与多项式相乘；面积法推导恒等式
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形面积的不同计算方式可以直观验证整式乘法的运算规则，解题时需准确识别图形各部分的边长，避免因看错长宽导致面积计算错误。
【难度系数】
0.8

9. 若$A=3x-2$，$B=1-2x$，$C=-6x$，则$C· B + A· C =$ .
$^a$ $^a$

9. $-6x^2 + 6x$

【分析】
拿到题目后先观察所求代数式的结构：$C·B + A·C$的两项都含有公因式$C$，因此可以选择先提取公因式$C$将式子化简为$C(A+B)$，先计算$A+B$的值再进行乘法运算，能减少计算量；也可以先分别计算两个单项式乘多项式的结果，再合并同类项得到最终答案。计算过程中要注意符号运算，严格遵循单项式乘多项式的运算法则。
【解析】
方法一：提取公因式法
$\begin{aligned}C·B + A·C&=C(A+B)\\\because A+B&=(3x-2)+(1-2x)\\&=3x-2+1-2x\\&=x-1\\\therefore \mathrm{原式}&=-6x·(x-1)\\&=-6x·x + (-6x)·(-1)\\&=-6x^2 + 6x\end{aligned}$
方法二：分步计算再合并
$\begin{aligned}C·B&=(-6x)·(1-2x)\\&=-6x + 12x^2\\A·C&=(3x-2)·(-6x)\\&=-18x^2 + 12x\\\therefore C·B + A·C&=(-6x + 12x^2)+(-18x^2 + 12x)\\&=(12x^2-18x^2)+(-6x+12x)\\&=-6x^2 + 6x\end{aligned}$
【答案】
$-6x^2 + 6x$
【知识点】
单项式乘多项式，合并同类项，提公因式法
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，解题时优先观察代数式结构选择简便方法可降低出错概率，计算时要注意单项式乘多项式的符号规则，避免漏乘或符号错误。
【难度系数】
0.8

10. 计算：
(1) $(a^2)^3 · (a^2 - 2ab + 1)$；
(2) $6x(-x^2 - xy + y^2)(-xy)$；
(3) $2x^2y(3 - x^4y) - (5x^3y)^2$；
(4) $x^2(x - 1) - x(x^2 + x - 1)$；
(5) $(-2xy^2)^2 · ( \frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}xy )$；
(6) $3a(2a^2 - 4a + 3) - 2a^2(3a - 4)$。

(1) $a^8 - 2a^7b + a^6$ (2) $6x^4y + 6x^3y^2 - 6x^2y^3$ (3) $6x^2y - 27x^6y^2$ (4) $-2x^2 + x$ (5) $x^2y^6 - 2x^4y^4 - 6x^3y^5$ (6) $-4a^2 + 9a$

【分析】
这组题目属于整式混合运算类基础题，解题需遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序：第一步先处理所有幂运算（幂的乘方、积的乘方），依据幂的运算性质得到单项式因式；第二步运用单项式乘多项式法则，用单项式乘多项式的每一项，注意不要漏乘，同时准确判断每一项乘积的符号；第三步合并所有同类项，化简得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方：$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$，
再计算单项式乘多项式：
$a^6·(a^2-2ab+1)=a^6· a^2+a^6·(-2ab)+a^6·1=a^8-2a^7b+a^6$
(2) 利用乘法交换律先算单项式乘法：$6x·(-xy)=-6x^2y$，
再计算单项式乘多项式：
$-6x^2y·(-x^2-xy+y^2)=(-6x^2y)·(-x^2)+(-6x^2y)·(-xy)+(-6x^2y)· y^2=6x^4y+6x^3y^2-6x^2y^3$
(3) 分别展开乘积项、计算乘方：
$2x^2y(3-x^4y)=2x^2y·3-2x^2y· x^4y=6x^2y-2x^6y^2$，
$(5x^3y)^2=25x^6y^2$，
合并同类项：
原式$=6x^2y-2x^6y^2-25x^6y^2=6x^2y-27x^6y^2$
(4) 分别展开两个乘积项：
$x^2(x-1)=x^3-x^2$，
$x(x^2+x-1)=x^3+x^2-x$，
去括号合并同类项：
原式$=x^3-x^2-(x^3+x^2-x)=x^3-x^2-x^3-x^2+x=-2x^2+x$
(5) 先计算积的乘方：$(-2xy^2)^2=4x^2y^4$，
再计算单项式乘多项式：
$4x^2y^4·(\frac{1}{4}y^2-\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}xy)=4x^2y^4·\frac{1}{4}y^2+4x^2y^4·(-\frac{1}{2}x^2)+4x^2y^4·(-\frac{3}{2}xy)=x^2y^6-2x^4y^4-6x^3y^5$
(6) 分别展开两个乘积项：
$3a(2a^2-4a+3)=6a^3-12a^2+9a$，
$2a^2(3a-4)=6a^3-8a^2$，
去括号合并同类项：
原式$=6a^3-12a^2+9a-(6a^3-8a^2)=6a^3-12a^2+9a-6a^3+8a^2=-4a^2+9a$
【答案】
(1) $a^8 - 2a^7b + a^6$ (2) $6x^4y + 6x^3y^2 - 6x^2y^3$ (3) $6x^2y - 27x^6y^2$ (4) $-2x^2 + x$ (5) $x^2y^6 - 2x^4y^4 - 6x^3y^5$ (6) $-4a^2 + 9a$
【知识点】
1. 幂的运算性质 2. 单项式乘多项式法则 3. 合并同类项
【点评】
这组题目是整式运算的基础练习题，重点考查运算规则的掌握程度，解题时需严格遵循运算顺序，尤其要注意负号参与运算时的符号变化，避免漏乘、错算同类项等问题，通过练习可有效提升整式运算的熟练度。
【难度系数】
0.8