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5. 如图所示的是某几何体的三种视图,已知主视图和左视图是两个全等的等腰三角形。若主视图中等腰三角形的腰长为6,俯视图是直径等于4的圆,则这个几何体的体积为
$\frac{16\sqrt{2}}{3}π$
。(结果保留π)答案
5. $\frac{16\sqrt{2}}{3}π$
解析
【分析】
首先根据三视图特征判断几何体：主视图和左视图为等腰三角形、俯视图为圆的几何体是圆锥。要计算圆锥体积，需用到圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，因此要先确定两个参数：底面半径$r$和高$h$。由俯视图的直径可直接求出底面半径，主视图的腰长对应圆锥的母线长，再结合勾股定理就能求出圆锥的高，最后代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由三视图可知该几何体为圆锥。
根据题意可得：
圆锥底面直径为4，因此底面半径$r=4÷2=2$，
主视图中等腰三角形的腰长为圆锥的母线长$l=6$，
由勾股定理可求得圆锥的高：$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
代入圆锥体积公式计算：
$V=\frac{1}{3}π r^2h=\frac{1}{3}π×2^2×4\sqrt{2}=\frac{16\sqrt{2}}{3}π$。
【答案】
$\frac{16\sqrt{2}}{3}π$
【知识点】
三视图还原几何体，圆锥体积计算，勾股定理应用
【点评】
本题考查三视图与几何体的对应关系及圆锥体积的计算，解题核心是准确判断几何体类型，找准圆锥母线、底面半径、高对应的数值，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
首先根据三视图特征判断几何体：主视图和左视图为等腰三角形、俯视图为圆的几何体是圆锥。要计算圆锥体积，需用到圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，因此要先确定两个参数：底面半径$r$和高$h$。由俯视图的直径可直接求出底面半径，主视图的腰长对应圆锥的母线长，再结合勾股定理就能求出圆锥的高，最后代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由三视图可知该几何体为圆锥。
根据题意可得：
圆锥底面直径为4，因此底面半径$r=4÷2=2$，
主视图中等腰三角形的腰长为圆锥的母线长$l=6$，
由勾股定理可求得圆锥的高：$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
代入圆锥体积公式计算：
$V=\frac{1}{3}π r^2h=\frac{1}{3}π×2^2×4\sqrt{2}=\frac{16\sqrt{2}}{3}π$。
【答案】
$\frac{16\sqrt{2}}{3}π$
【知识点】
三视图还原几何体，圆锥体积计算，勾股定理应用
【点评】
本题考查三视图与几何体的对应关系及圆锥体积的计算，解题核心是准确判断几何体类型，找准圆锥母线、底面半径、高对应的数值，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图所示的是一个几何体的三种视图，其中主视图与左视图完全相同，则该几何体的体积是
48-3π
。（结果保留π）答案
6. 48-3π
解析
【分析】
首先观察三视图：俯视图为正方形内有一个圆形，主视图和左视图为长方形内有虚线，可判断该几何体是底面为正方形的长方体（正四棱柱）中间挖去一个圆柱的组合体。解题思路为：先分别计算长方体的体积和挖去的圆柱的体积，再用长方体体积减去圆柱体积即可得到该几何体的体积。首先从三视图中提取数据：长方体的底面边长为4、高为3；挖去的圆柱底面直径为2、高等于长方体的高3，再代入对应体积公式计算即可。
【解析】
由三视图可知，该几何体是底面边长为4，高为3的长方体，中间挖去一个底面直径为2，高为3的圆柱。
1. 计算长方体体积：
$V_{\mathrm{长方体}} = 长×宽×高 = 4×4×3 = 48$
2. 计算挖去的圆柱体积：
圆柱底面半径$r = 2÷2 = 1$，
$V_{\mathrm{圆柱}} = π r^2 h = π×1^2×3 = 3π$
3. 该几何体的体积为长方体体积减去圆柱体积：
$V = V_{\mathrm{长方体}} - V_{\mathrm{圆柱}} = 48 - 3π$
【答案】
$48-3π$
【知识点】
三视图识别几何体；长方体体积计算；圆柱体积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先根据三视图准确还原几何体的构成，再结合常见立体图形的体积公式计算组合体体积，注意挖去部分的体积要减去，计算时不要弄错圆柱的半径即可。
【难度系数】
0.7
首先观察三视图：俯视图为正方形内有一个圆形，主视图和左视图为长方形内有虚线，可判断该几何体是底面为正方形的长方体（正四棱柱）中间挖去一个圆柱的组合体。解题思路为：先分别计算长方体的体积和挖去的圆柱的体积，再用长方体体积减去圆柱体积即可得到该几何体的体积。首先从三视图中提取数据：长方体的底面边长为4、高为3；挖去的圆柱底面直径为2、高等于长方体的高3，再代入对应体积公式计算即可。
【解析】
由三视图可知，该几何体是底面边长为4，高为3的长方体，中间挖去一个底面直径为2，高为3的圆柱。
1. 计算长方体体积：
$V_{\mathrm{长方体}} = 长×宽×高 = 4×4×3 = 48$
2. 计算挖去的圆柱体积：
圆柱底面半径$r = 2÷2 = 1$，
$V_{\mathrm{圆柱}} = π r^2 h = π×1^2×3 = 3π$
3. 该几何体的体积为长方体体积减去圆柱体积：
$V = V_{\mathrm{长方体}} - V_{\mathrm{圆柱}} = 48 - 3π$
【答案】
$48-3π$
【知识点】
三视图识别几何体；长方体体积计算；圆柱体积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先根据三视图准确还原几何体的构成，再结合常见立体图形的体积公式计算组合体体积，注意挖去部分的体积要减去，计算时不要弄错圆柱的半径即可。
【难度系数】
0.7
1. 如图所示的是某几何体的三种视图,则该几何体是(
D
)。答案
1. D
解析
【分析】
解题时先明确三视图的对应规则：主视图是从正面观察几何体得到的图形，左视图是从左面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，其中看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线。首先结合俯视图的特征筛选选项：题目俯视图为凸字形，说明几何体从上往下看的轮廓是向外凸出的，先排除轮廓不符的选项；再结合主视图的虚线、左视图的实线特征验证剩余选项，即可得出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：为普通长方体，三视图均为矩形，与题目中带虚线的主视图、凸字形俯视图不符，排除；
2. 选项B：顶部有向下凹陷的槽，俯视图应为凹字形，与题目给出的凸字形俯视图不符，排除；
3. 选项C：正面有向内的通槽，俯视图为凹字形，且主视图中槽的棱为可见的实线，与题目主视图的虚线特征不符，排除；
4. 选项D：顶部靠后位置有突出块，从上往下看轮廓为凸字形，符合俯视图特征；从正面观察时，突出块的左右棱被主体遮挡，主视图呈现两条竖直虚线，符合主视图特征；从左面观察时，突出块的前棱可见，左视图为两个相邻矩形，符合左视图特征。
【答案】
D
【知识点】
三视图的识别、三视图虚实线规则、由三视图还原几何体
【点评】
本题考查几何体三视图的逆向判断，解题核心是抓住俯视图的形状确定几何体的凹凸特征，再结合虚实线的含义验证视图是否匹配，需要注意区分可见与不可见轮廓的表达规则。
【难度系数】
0.7
解题时先明确三视图的对应规则：主视图是从正面观察几何体得到的图形，左视图是从左面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，其中看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线。首先结合俯视图的特征筛选选项：题目俯视图为凸字形，说明几何体从上往下看的轮廓是向外凸出的，先排除轮廓不符的选项；再结合主视图的虚线、左视图的实线特征验证剩余选项，即可得出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：为普通长方体，三视图均为矩形，与题目中带虚线的主视图、凸字形俯视图不符，排除；
2. 选项B：顶部有向下凹陷的槽，俯视图应为凹字形，与题目给出的凸字形俯视图不符，排除；
3. 选项C：正面有向内的通槽，俯视图为凹字形，且主视图中槽的棱为可见的实线，与题目主视图的虚线特征不符，排除；
4. 选项D：顶部靠后位置有突出块，从上往下看轮廓为凸字形，符合俯视图特征；从正面观察时，突出块的左右棱被主体遮挡，主视图呈现两条竖直虚线，符合主视图特征；从左面观察时，突出块的前棱可见，左视图为两个相邻矩形，符合左视图特征。
【答案】
D
【知识点】
三视图的识别、三视图虚实线规则、由三视图还原几何体
【点评】
本题考查几何体三视图的逆向判断，解题核心是抓住俯视图的形状确定几何体的凹凸特征，再结合虚实线的含义验证视图是否匹配，需要注意区分可见与不可见轮廓的表达规则。
【难度系数】
0.7
2.如图所示的是一个几何体的三种视图,则该几何体的表面积是
16+12π
。(结果保留π)答案
2. 16+12π 提示:由题图可知,该几何体为圆柱的一半(沿底面直径分),底面半径为2,高为4,侧面积为π×2×4 +4×4 =8π +16,底面积为π×2²=4π
解析
【分析】
解题首先要根据三种视图还原几何体，判断出该几何体是沿底面直径切开的半圆柱；接下来确定半圆柱的关键参数：底面半径和高；最后明确半圆柱的表面积包含三部分：曲面侧面积、切面的矩形面积、两个半圆底面拼成的整圆面积，分别计算后求和即可。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体是底面半径$ r=2 $，高$ h=4 $的半圆柱。
1. 计算曲面部分的侧面积：半圆柱的曲面侧面积是完整圆柱侧面积的一半，完整圆柱侧面积为$ 2π rh $，因此曲面侧面积为$ π rh = π × 2 × 4 = 8π $；
2. 计算切面矩形的面积：切面的长等于半圆柱的高4，宽等于底面直径$ 2r=4 $，因此矩形面积为$ 4 × 4 = 16 $；
3. 计算底面总面积：上下两个底面均为半圆，拼接后为1个完整的圆，面积为$ π r^2 = π × 2^2 = 4π $；
4. 总表面积为三部分面积之和：$ 8π + 16 + 4π = 16 + 12π $。
【答案】
$ 16+12π $
【知识点】
三视图还原几何体；圆柱表面积计算；组合体表面积计算
【点评】
本题是三视图与几何体表面积计算的综合题型，解题的核心是准确还原几何体，易错点是计算半圆柱表面积时遗漏切面的矩形面积，或错误计算底面面积。
【难度系数】
0.6
解题首先要根据三种视图还原几何体，判断出该几何体是沿底面直径切开的半圆柱；接下来确定半圆柱的关键参数：底面半径和高；最后明确半圆柱的表面积包含三部分：曲面侧面积、切面的矩形面积、两个半圆底面拼成的整圆面积，分别计算后求和即可。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体是底面半径$ r=2 $，高$ h=4 $的半圆柱。
1. 计算曲面部分的侧面积：半圆柱的曲面侧面积是完整圆柱侧面积的一半，完整圆柱侧面积为$ 2π rh $，因此曲面侧面积为$ π rh = π × 2 × 4 = 8π $；
2. 计算切面矩形的面积：切面的长等于半圆柱的高4，宽等于底面直径$ 2r=4 $，因此矩形面积为$ 4 × 4 = 16 $；
3. 计算底面总面积：上下两个底面均为半圆，拼接后为1个完整的圆，面积为$ π r^2 = π × 2^2 = 4π $；
4. 总表面积为三部分面积之和：$ 8π + 16 + 4π = 16 + 12π $。
【答案】
$ 16+12π $
【知识点】
三视图还原几何体；圆柱表面积计算；组合体表面积计算
【点评】
本题是三视图与几何体表面积计算的综合题型，解题的核心是准确还原几何体，易错点是计算半圆柱表面积时遗漏切面的矩形面积，或错误计算底面面积。
【难度系数】
0.6
3. 如图所示的是一个几何体的三种视图,请写出该几何体的名称,并根据图中所给的数据分别求出它的表面积和体积。
答案
3. 如图,根据三种视图可以得此几何体是三棱柱。表面积:S=2×1/2×6×8 +4×6 +4×8 +4×√(8²+6²) = 144(cm²),体积:V=1/2×6×8×4=96(cm³)
解析
【分析】
首先结合三视图的特征判断几何体：主视图为直角三角形，左视图、俯视图均为矩形，可确定该几何体是直三棱柱，底面为直角三角形，侧棱垂直于底面。接下来求表面积：三棱柱的表面积等于2个底面直角三角形的面积加上3个侧面矩形的面积，先利用勾股定理求出底面直角三角形的斜边长，再分别计算各部分面积求和即可。求体积：直三棱柱的体积等于底面积（直角三角形面积）乘侧棱长（即俯视图所示的4cm），代入数据计算即可。
【解析】
解：1. 判断几何体：由三视图可知，该几何体是直三棱柱，底面为直角边分别为6cm、8cm的直角三角形，棱柱的侧棱长为4cm。
2. 计算底面直角三角形的斜边长：
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}$。
3. 计算表面积：
表面积 = 2个底面三角形面积 + 3个侧面矩形面积
$S=2×(\frac{1}{2}×6×8) + 6×4 + 8×4 + 10×4$
$=48 + 24 + 32 + 40$
$=144\mathrm{cm}^2$
4. 计算体积：
体积 = 底面三角形面积 × 侧棱长
$V=\frac{1}{2}×6×8×4=96\mathrm{cm}^3$
【答案】
3. 如图,根据三种视图可以得此几何体是三棱柱。表面积:$S=2×\frac{1}{2}×6×8 +4×6 +4×8 +4×\sqrt{8^2+6^2} = 144(\mathrm{cm}^2)$,体积:$V=\frac{1}{2}×6×8×4=96(\mathrm{cm}^3)$
【知识点】
三视图识别几何体；三棱柱表面积计算；三棱柱体积计算
【点评】
本题核心是通过三视图还原几何体形状，需要熟练掌握常见几何体的三视图特征，计算时要注意直三棱柱的表面积包含两个底面的面积，不要漏算，同时要正确利用勾股定理求出底面三角形的斜边长度，才能准确计算侧面总面积。
【难度系数】
0.7
首先结合三视图的特征判断几何体：主视图为直角三角形，左视图、俯视图均为矩形，可确定该几何体是直三棱柱，底面为直角三角形，侧棱垂直于底面。接下来求表面积：三棱柱的表面积等于2个底面直角三角形的面积加上3个侧面矩形的面积，先利用勾股定理求出底面直角三角形的斜边长，再分别计算各部分面积求和即可。求体积：直三棱柱的体积等于底面积（直角三角形面积）乘侧棱长（即俯视图所示的4cm），代入数据计算即可。
【解析】
解：1. 判断几何体：由三视图可知，该几何体是直三棱柱，底面为直角边分别为6cm、8cm的直角三角形，棱柱的侧棱长为4cm。
2. 计算底面直角三角形的斜边长：
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}$。
3. 计算表面积：
表面积 = 2个底面三角形面积 + 3个侧面矩形面积
$S=2×(\frac{1}{2}×6×8) + 6×4 + 8×4 + 10×4$
$=48 + 24 + 32 + 40$
$=144\mathrm{cm}^2$
4. 计算体积：
体积 = 底面三角形面积 × 侧棱长
$V=\frac{1}{2}×6×8×4=96\mathrm{cm}^3$
【答案】
3. 如图,根据三种视图可以得此几何体是三棱柱。表面积:$S=2×\frac{1}{2}×6×8 +4×6 +4×8 +4×\sqrt{8^2+6^2} = 144(\mathrm{cm}^2)$,体积:$V=\frac{1}{2}×6×8×4=96(\mathrm{cm}^3)$
【知识点】
三视图识别几何体；三棱柱表面积计算；三棱柱体积计算
【点评】
本题核心是通过三视图还原几何体形状，需要熟练掌握常见几何体的三视图特征，计算时要注意直三棱柱的表面积包含两个底面的面积，不要漏算，同时要正确利用勾股定理求出底面三角形的斜边长度，才能准确计算侧面总面积。
【难度系数】
0.7
