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7.若关于x的方程$4x+m+1=3x-1$的解是负数，则m的取值范围是 （
A.$m=0$
B.$m＞-2$
C.$m＜2$
D.$m≤2$
B
）A.$m=0$
B.$m＞-2$
C.$m＜2$
D.$m≤2$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先把参数m当作常数，先求解一元一次方程，得到用含m的代数式表示的x的解，再根据“解是负数”这一条件列出关于m的一元一次不等式，最后解不等式得到m的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：求解关于x的方程$4x+m+1=3x-1$
移项得：$4x - 3x = -1 - m - 1$
合并同类项得：$x = -m - 2$
第二步：根据方程的解是负数，即$x ＜ 0$，代入x的表达式列不等式：
$-m - 2 ＜ 0$
第三步：解不等式
移项得：$-m ＜ 2$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$m ＞ -2$
因此m的取值范围是$m ＞ -2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 一元一次不等式的解法
3. 含参方程解的应用
【点评】
本题属于方程与不等式的综合基础题，解题核心是先通过解方程用参数表示出未知量的取值，再结合限制条件列不等式求解，解题时要注意解不等式两边同时乘负数时，不等号方向需要改变，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先把参数m当作常数，先求解一元一次方程，得到用含m的代数式表示的x的解，再根据“解是负数”这一条件列出关于m的一元一次不等式，最后解不等式得到m的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：求解关于x的方程$4x+m+1=3x-1$
移项得：$4x - 3x = -1 - m - 1$
合并同类项得：$x = -m - 2$
第二步：根据方程的解是负数，即$x ＜ 0$，代入x的表达式列不等式：
$-m - 2 ＜ 0$
第三步：解不等式
移项得：$-m ＜ 2$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$m ＞ -2$
因此m的取值范围是$m ＞ -2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 一元一次不等式的解法
3. 含参方程解的应用
【点评】
本题属于方程与不等式的综合基础题，解题核心是先通过解方程用参数表示出未知量的取值，再结合限制条件列不等式求解，解题时要注意解不等式两边同时乘负数时，不等号方向需要改变，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.8
8.若关于$x$的分式方程$\dfrac{k-1}{x+1}=2$的解为负数，求$k$的取值范围.
答案
$k＜3$,且$k≠1$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先求解分式方程，用含参数k的代数式表示出方程的解x；第二步结合题目条件“解为负数”得到关于k的不等式，同时还要注意分式方程有意义的前提是分母不为0，即x≠-1，再得到一个关于k的限制条件，综合两个条件即可求出k的取值范围。
【解析】
解：先求解分式方程$\dfrac{k-1}{x+1}=2$，
方程两边同时乘以$(x+1)$（需满足$x+1≠0$，即$x≠-1$），得：
$k-1=2(x+1)$
展开并整理得：
$k-1=2x+2$
$2x=k-3$
解得$x=\dfrac{k-3}{2}$
∵ 方程的解为负数
∴ $\dfrac{k-3}{2}＜0$，解得$k＜3$
又
∵ 分式有意义的条件为$x≠-1$
∴ $\dfrac{k-3}{2}≠-1$，解得$k≠1$
综上，k的取值范围是$k＜3$且$k≠1$
【答案】
$k＜3$,且$k≠1$
【知识点】
1. 分式方程的解 2. 一元一次不等式求解 3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程与一元一次不等式的综合题，解题的关键是牢记分式方程有意义的前提，易错点是容易忽略分母不为0的限制条件，漏掉$k≠1$的情况，求解参数范围时要同时满足解的要求和分式有意义的要求。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步先求解分式方程，用含参数k的代数式表示出方程的解x；第二步结合题目条件“解为负数”得到关于k的不等式，同时还要注意分式方程有意义的前提是分母不为0，即x≠-1，再得到一个关于k的限制条件，综合两个条件即可求出k的取值范围。
【解析】
解：先求解分式方程$\dfrac{k-1}{x+1}=2$，
方程两边同时乘以$(x+1)$（需满足$x+1≠0$，即$x≠-1$），得：
$k-1=2(x+1)$
展开并整理得：
$k-1=2x+2$
$2x=k-3$
解得$x=\dfrac{k-3}{2}$
∵ 方程的解为负数
∴ $\dfrac{k-3}{2}＜0$，解得$k＜3$
又
∵ 分式有意义的条件为$x≠-1$
∴ $\dfrac{k-3}{2}≠-1$，解得$k≠1$
综上，k的取值范围是$k＜3$且$k≠1$
【答案】
$k＜3$,且$k≠1$
【知识点】
1. 分式方程的解 2. 一元一次不等式求解 3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程与一元一次不等式的综合题，解题的关键是牢记分式方程有意义的前提，易错点是容易忽略分母不为0的限制条件，漏掉$k≠1$的情况，求解参数范围时要同时满足解的要求和分式有意义的要求。
【难度系数】
0.7
▲9.若关于x的不等式$(3-2k)x≤6-4k$的解是$x≤2$，求自然数k的值.
答案
解得$k＜\frac{3}{2}$,
∴自然数$k=0,1$
∴自然数$k=0,1$
解析
【分析】
解本题的核心思路是结合一元一次不等式系数化1时不等号的变化规律判断系数的正负：当不等式两边除以同一个正数时，不等号方向不变；除以同一个负数时，不等号方向改变。本题给出的解集$x≤2$和原不等式的不等号方向一致，说明未知数的系数$3-2k$是正数，我们先据此列出关于k的不等式，求出k的取值范围后，再从中筛选出自然数即可。
【解析】
解：
∵ 不等式$(3-2k)x ≤ 6-4k$的解集是$x ≤ 2$，不等号方向未发生改变
∴ 未知数的系数$3-2k ＞ 0$（依据：不等式的基本性质2）
解不等式$3-2k ＞ 0$：
移项得：$-2k ＞ -3$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$k ＜ \frac{3}{2}$
∵ k是自然数（自然数包含0和正整数）
∴ 满足$k ＜ \frac{3}{2}$的自然数为0，1
【答案】
$k=0,1$
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 一元一次不等式的解法
3. 自然数的定义
【点评】
本题重点考查不等式性质的灵活应用，解题的关键是根据解集的不等号方向准确判断未知数系数的正负，要注意若系数为0时，不等式的解集为全体实数，不符合本题要求，同时要牢记自然数包含0，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
解本题的核心思路是结合一元一次不等式系数化1时不等号的变化规律判断系数的正负：当不等式两边除以同一个正数时，不等号方向不变；除以同一个负数时，不等号方向改变。本题给出的解集$x≤2$和原不等式的不等号方向一致，说明未知数的系数$3-2k$是正数，我们先据此列出关于k的不等式，求出k的取值范围后，再从中筛选出自然数即可。
【解析】
解：
∵ 不等式$(3-2k)x ≤ 6-4k$的解集是$x ≤ 2$，不等号方向未发生改变
∴ 未知数的系数$3-2k ＞ 0$（依据：不等式的基本性质2）
解不等式$3-2k ＞ 0$：
移项得：$-2k ＞ -3$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$k ＜ \frac{3}{2}$
∵ k是自然数（自然数包含0和正整数）
∴ 满足$k ＜ \frac{3}{2}$的自然数为0，1
【答案】
$k=0,1$
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 一元一次不等式的解法
3. 自然数的定义
【点评】
本题重点考查不等式性质的灵活应用，解题的关键是根据解集的不等号方向准确判断未知数系数的正负，要注意若系数为0时，不等式的解集为全体实数，不符合本题要求，同时要牢记自然数包含0，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
10. 阅读下面的材料.
对于实数 $a,b$，我们定义符号 $\min\{a,b\}$ 的意义为：当 $a ＜ b$ 时，$\min\{a,b\} = a$；当 $a ≥ b$ 时，$\min\{a,b\} = b$。如：$\min\{4,2\} = 2$，$\min\{5,5\} =5$。
根据上面的材料回答下列问题.
(1) $\min\{1,3\} = \_\_\_\_\_\_$.
★(2) 当 $\min\{\dfrac{2x - 3}{2}, \dfrac{x + 2}{3}\} = \dfrac{x + 2}{3}$ 时，求 $x$ 的取值范围.
对于实数 $a,b$，我们定义符号 $\min\{a,b\}$ 的意义为：当 $a ＜ b$ 时，$\min\{a,b\} = a$；当 $a ≥ b$ 时，$\min\{a,b\} = b$。如：$\min\{4,2\} = 2$，$\min\{5,5\} =5$。
根据上面的材料回答下列问题.
(1) $\min\{1,3\} = \_\_\_\_\_\_$.
★(2) 当 $\min\{\dfrac{2x - 3}{2}, \dfrac{x + 2}{3}\} = \dfrac{x + 2}{3}$ 时，求 $x$ 的取值范围.
答案
(1)1
(2)由题意得$\frac{2x-3}{2}≥\frac{x+2}{3}$,去分母得$3(2x-3)≥2(x+2)$,去括号得$6x-9≥2x+4$,移项、合并同类项得$4x≥13$,解得$x≥\frac{13}{4}$,
∴x的取值范围为$x≥\frac{13}{4}$
(2)由题意得$\frac{2x-3}{2}≥\frac{x+2}{3}$,去分母得$3(2x-3)≥2(x+2)$,去括号得$6x-9≥2x+4$,移项、合并同类项得$4x≥13$,解得$x≥\frac{13}{4}$,
∴x的取值范围为$x≥\frac{13}{4}$
解析
【分析】
(1) 先明确新定义符号$\min\{a,b\}$的含义：取两个实数中较小的数，若两数相等则取该数本身。只需比较1和3的大小，即可直接得出结果。
(2) 根据$\min\{a,b\}$的规则，若$\min\{a,b\}=b$，说明$a≥ b$，据此可列出关于$x$的一元一次不等式，再按照解一元一次不等式的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解，就能得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 因为$1＜3$，根据$\min\{a,b\}$的定义，可得$\min\{1,3\}=1$。
(2) 由题意得$\frac{2x-3}{2}≥\frac{x+2}{3}$，
去分母（两边同乘6）得：$3(2x-3)≥2(x+2)$，
去括号得：$6x-9≥2x+4$，
移项、合并同类项得：$4x≥13$，
系数化为1得：$x≥\frac{13}{4}$，
∴$x$的取值范围为$x≥\frac{13}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$
(2) $\boxed{x≥\dfrac{13}{4}}$
【知识点】
新定义运算、一元一次不等式的解法
【点评】
本题结合新定义考查知识迁移能力和一元一次不等式的求解能力，解题关键是准确理解新定义规则，将陌生问题转化为熟悉的不等式求解问题，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 先明确新定义符号$\min\{a,b\}$的含义：取两个实数中较小的数，若两数相等则取该数本身。只需比较1和3的大小，即可直接得出结果。
(2) 根据$\min\{a,b\}$的规则，若$\min\{a,b\}=b$，说明$a≥ b$，据此可列出关于$x$的一元一次不等式，再按照解一元一次不等式的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解，就能得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 因为$1＜3$，根据$\min\{a,b\}$的定义，可得$\min\{1,3\}=1$。
(2) 由题意得$\frac{2x-3}{2}≥\frac{x+2}{3}$，
去分母（两边同乘6）得：$3(2x-3)≥2(x+2)$，
去括号得：$6x-9≥2x+4$，
移项、合并同类项得：$4x≥13$，
系数化为1得：$x≥\frac{13}{4}$，
∴$x$的取值范围为$x≥\frac{13}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$
(2) $\boxed{x≥\dfrac{13}{4}}$
【知识点】
新定义运算、一元一次不等式的解法
【点评】
本题结合新定义考查知识迁移能力和一元一次不等式的求解能力，解题关键是准确理解新定义规则，将陌生问题转化为熟悉的不等式求解问题，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
