6. 如图所示，在 $ □ ABCD $ 中， $ AE ⊥ BC $ 于点 $ E $， $ AF ⊥ CD $ 于点 $ F $，若 $ AE = 2 $， $ AF = 3 $，$ □ ABCD $ 的周长为 $ 20 $，则 $ □ ABCD $ 的面积为。

6. 12

解：设 $ BC = x $，$ CD = y $。
因为四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，所以 $ AB = CD = y $，$ AD = BC = x $。
平行四边形周长为 $ 2(x + y) = 20 $，则 $ x + y = 10 $。
平行四边形面积 $ S = BC · AE = CD · AF $，即 $ 2x = 3y $。
联立方程组：
$\begin{cases}x + y = 10 \\2x = 3y\end{cases}$
解得 $ x = 6 $，$ y = 4 $。
面积 $ S = 2x = 2 × 6 = 12 $。
12

三、解答题
7. 如图所示，在 $ □ ABCD $ 中， $ AB = 8 $， $ ∠ C = 60^{\circ} $，$ ∠ A $ 的平分线与 $ ∠ B $ 的平分线相交于点 $ E $， $ EF ⊥ AB $，求 $ EF $ 的长。

7. 2√{3}

解：在$□ABCD$中，$∠DAB + ∠ABC = 180°$，$∠DAB = ∠C = 60°$，故$∠ABC = 120°$。
因为$AE$平分$∠DAB$，$BE$平分$∠ABC$，所以$∠EAB = \frac{1}{2}∠DAB = 30°$，$∠EBA = \frac{1}{2}∠ABC = 60°$。
在$△ AEB$中，$∠AEB = 180° - 30° - 60° = 90°$，即$△ AEB$为直角三角形。
设$EF = x$，在$Rt△ EFB$中，$∠EBA = 60°$，则$BF = \frac{EF}{\tan 60°} = \frac{x}{\sqrt{3}}$。
在$Rt△ EFA$中，$∠EAB = 30°$，则$AF = \frac{EF}{\tan 30°} = x\sqrt{3}$。
因为$AF + BF = AB = 8$，所以$x\sqrt{3} + \frac{x}{\sqrt{3}} = 8$，解得$x = 2\sqrt{3}$。
故$EF$的长为$2\sqrt{3}$。

8. 如图所示，在四边形 $ ABCD $ 中， $ AB = DC $， $ AD = BC $，点 $ E $ 在 $ BC $ 上，点 $ F $ 在 $ AD $ 上， $ AF = CE $， $ EF $ 与对角线 $ BD $ 相交于点 $ O $。求证：点 $ O $ 是 $ BD $ 的中点。

8. 提示：连接 DE，BF

证明：连接 DE，BF。
∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵AF=CE，
∴AD - AF = BC - CE，即 FD=BE。
∵FD//BE，
∴四边形 BEDF 是平行四边形，
∴BO=OD，即点 O 是 BD 的中点。