5. （2024 武汉）如图 6-X-6，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在边 $BC$，$AD$ 上，$AF = CE$。
（1）求证：$△ ABE ≌ △ CDF$；
（2）连接 $EF$。请添加一个与线段相关的条件，使四边形 $ABEF$ 是平行四边形。（不需要说明理由）

5. 解：(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D.
∵AF=CE，
∴AD−AF=BC−CE，
即DF=BE.
在△ABE与△CDF中，
∵AB=CD，∠B=∠D，BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)答案不唯一，如添加条件BE=CE.

6. 如图 6-X-7，$A$，$B$ 两点被池塘隔开，$A$，$B$，$C$ 三点不共线。设 $AC$，$BC$ 的中点分别为 $M$，$N$。若 $MN = 3$ 米，则 $AB$ 的长为()


A.4 米
B.6 米
C.8 米
D.10 米

6. B

7. 如图 6-X-8，在 $△ ABC$ 中，点 $D$ 在 $BC$ 上，$BD = AB$，$BM ⊥ AD$ 于点 $M$，$N$ 是 $AC$ 的中点，连接 $MN$。若 $AB = 5$，$BC = 9$，则 $MN =$。

7. 2

8. 如图 6-X-9，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，$P$ 是 $△ ABC$ 所在平面内的一点，过点 $P$ 作 $PE // AC$ 交 $AB$ 于点 $E$，$PF // AB$ 交 $BC$ 于点 $D$，交 $AC$ 于点 $F$。
（1）当点 $P$ 在 $BC$ 边上时，如图（a）所示，此时点 $P$ 与点 $D$ 重合，则线段 $AB$ 与线段 $PE$，$PF$ 有何数量关系？并说明理由。
（2）当点 $P$ 在 $△ ABC$ 内部时，如图（b）所示，作 $DG // AC$ 交 $AB$ 于点 $G$，求证：
① 四边形 $AEPF$、四边形 $PDGE$ 都是平行四边形；
② $PE + PF + PD = AB$。
（3）当点 $P$ 在 $△ ABC$ 外部时，如图（c）所示，$AB$，$PE$，$PF$，$PD$ 这四条线段之间又有着怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由。

8. (1)AB=PE+PF.理由：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵PE//AC，
∴∠EPB=∠C，
∴∠EPB=∠B，
∴EP=EB.
∵PE//AC，PF//AB，
∴PE//AF，AE//PF，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴PF=AE.
∵AB=AE+BE，
∴AB=PE+PF.
(2)证明：①
∵PE//AC，PF//AB，
∴PE//AF，PF//AE，
∴四边形AEPF是平行四边形.
∵DG//AC，PE//AC，PF//AB交BC于点D，
∴PD//GE，DG//PE，
∴四边形PDGE是平行四边形.
②
∵四边形AEPF、四边形PDGE都是平行四边形，
∴PF=AE，PE=DG，PD=GE.
与(1)同理可得GD=GB，
∴PE=BG，
∴PE+PF+PD=BG+AE+GE=AB.
(3)猜想：PE+PF−PD=AB.
理由略