1.抛物线$y = -3x^{2}+6x + 2$的对称轴是().

A.直线$x = 2$
B.直线$x = -2$
C.直线$x = 1$
D.直线$x = -1$

C

对于抛物线的一般式$y = ax^{2} + bx + c$，其对称轴的公式为$x = -\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y = -3x^{2} + 6x + 2$中，$a = -3$，$b = 6$，所以对称轴为：
$x = -\frac{6}{2 × (-3)} = 1$。
因此，抛物线的对称轴是直线$x = 1$。

2.已知二次函数$y = x^{2}-4x + 2$,关于该函数在$-1 \leq x \leq 3$的取值范围内,下列说法正确的是().

A.有最大值-1,有最小值-2
B.有最大值0,有最小值-1
C.有最大值7,有最小值-1
D.有最大值7,有最小值-2

D

将函数$y = x^{2} - 4x + 2$进行配方：
$y = x^{2} - 4x + 2 = (x - 2)^{2} - 2$，
由此可知，函数图象的对称轴为$x = 2$，且开口向上，顶点坐标为$(2, -2)$。
在区间$[-1, 3]$上，由于对称轴$x = 2$在该区间内，故最小值出现在顶点处，即$y_{ min} = -2$。
再计算区间端点的函数值：
当$x = -1$时，$y = (-1 - 2)^{2} - 2 = 9 - 2 = 7$；
当$x = 3$时，$y = (3 - 2)^{2} - 2 = 1 - 2 = -1$。
由于$7 ＞ -1$，故最大值出现在$x = -1$处，即$y_{ max} = 7$。
综上，函数在区间$[-1, 3]$上有最大值7，最小值-2。

3.抛物线$y = -3x^{2}-x + 4$与坐标轴的交点个数是().

A.3
B.2
C.1
D.0

A

1. 判断抛物线与$y$轴的交点：
令$x = 0$，则$y=-3×0^{2}-0 + 4=4$，所以抛物线与$y$轴的交点为$(0,4)$，即抛物线与$y$轴有$1$个交点。
2. 判断抛物线与$x$轴的交点：
令$y = 0$，则$-3x^{2}-x + 4 = 0$，即$3x^{2}+x - 4 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，在方程$3x^{2}+x - 4 = 0$中，$a = 3$，$b = 1$，$c=-4$，则$\Delta=1^{2}-4×3×(-4)=1 + 48 = 49＞0$，所以此一元二次方程有两个不同的实数根，即抛物线与$x$轴有$2$个交点。
3. 计算抛物线与坐标轴的交点个数：
抛物线与坐标轴的交点个数为抛物线与$x$轴和$y$轴交点个数之和，$1 + 2=3$（个）。

4.二次函数$y = x^{2}-2x + 3$的图象绕其顶点旋转$180°$,得到的二次函数解析式为().

A.$y = -x^{2}-2x + 3$
B.$y = -x^{2}+2x + 3$
C.$y = -x^{2}-2x + 1$
D.$y = -x^{2}+2x + 1$

D

原二次函数为$y=x^2-2x+3$，可化为顶点式$y=(x-1)^2+2$，顶点坐标为$(1,2)$。
将图象绕顶点旋转$180^{\circ}$后，开口方向相反，顶点坐标不变，所以$a=-1$，则有$y=-(x-1)^2+2$，展开得$y=-x^2+2x+1$。

5.已知函数$y = \begin{cases}-x^{2}+2x(x ＞ 0), \\ -x(x \leq 0)\end{cases}$的图象如图所示,若直线$y = x + m$与该图象恰有 3 个不同的交点,则$m$的取值范围为().

A.$-1 ＜ m ＜ 0$
B.$0 ＜ m ＜ \frac{1}{4}$
C.$0 ＜ m \leq \frac{1}{4}$
D.$0 \leq m ＜ \frac{1}{2}$

B

联立直线与分段函数各部分：
1. x≤0部分：函数为y=-x，联立y=x+m得-x=x+m，解得x=-m/2。需x≤0，即-m/2≤0⇒m≥0，此时有1个交点。
2. x＞0部分：函数为y=-x²+2x，联立y=x+m得-x²+2x=x+m，整理得x²-x+m=0。此方程在x＞0时有解需判别式Δ=1-4m≥0。
当Δ＞0（m＜1/4）且m＞0时，方程有2个不同正根，即2个交点；
当Δ=0（m=1/4）时，方程有1个重根，即1个交点。
要直线与图象恰有3个交点，需x≤0部分1个交点（m≥0）且x＞0部分2个交点（0＜m＜1/4）。综上，0＜m＜1/4。