6.在$Rt\triangle ABC$中$,\angle A=90^{\circ}$,$\angle C:\angle B=1:2$,则$\mathrm{sin } B=$.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A=90^{\circ}$，则$\angle B+\angle C=90^{\circ}$。设$\angle C=x$，$\angle B=2x$，可得$x+2x=90^{\circ}$，解得$x=30^{\circ}$，所以$\angle B=60^{\circ}$，故$\sin B=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

7.已知锐角$A$的正弦$\mathrm{sin } A$是一元二次方程$2x^{2}-7x+3=0$的根,则$\mathrm{sin } A=$.

$ \frac12$（或 0.5，根据题目具体要求可转化为小数或分数形式，此处以分数形式为准。）

首先解一元二次方程$2x^{2}-7x+3=0$。
因为方程的解为$x=\frac{7\\pm\\sqrt{49-24}}{4}=\frac{7\\pm5}{4}$，
所以解得$x_1 = 3$（由于正弦值的范围在$[-1,1]$，舍去），$x_2= \frac12$。
又因为$A$为锐角，所以$\sin A$的范围在$(0,1)$，因此$\sin A = \frac12$。

8.如图,在$Rt\triangle ABC$中$,\angle C=90^{\circ}$,$AM$是$BC$边上的中线.若$\mathrm{sin} \angle CAM=\frac{3}{5}$,则$\mathrm{tan} B=$.

$\frac{2}{3}$

设 $ CM = 3k $，在 $ Rt\triangle ACM $ 中，$\sin\angle CAM = \frac{CM}{AM} = \frac{3}{5}$，则 $ AM = 5k $。由勾股定理得 $ AC = \sqrt{AM^2 - CM^2} = \sqrt{(5k)^2 - (3k)^2} = 4k $。
因为 $ AM $ 是 $ BC $ 边上的中线，所以 $ BC = 2CM = 6k $。
在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{4k}{6k} = \frac{2}{3}$。

9.在$\triangle ABC$中$,AB=6,BC=8,\angle B=120^{\circ}$,则$\triangle ABC$的面积为.

$12\sqrt{3}$（这里按照题目要求应将答案填在横线处，以填空题形式作答，若理解为按此值对应选项则假设对应正确选项，用符号表示为如选项中有$12\sqrt{3}$对应的选项则填该选项，若单独对本题而言，答案就是$12\sqrt{3}$ ）

已知在$\triangle ABC$中，$AB = 6$，$BC = 8$，$\angle B = 120^{\circ}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C$（这里$a = AB$，$b = BC$，$C=\angle B$），可得：
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC×\sin\angle B=\frac{1}{2}×6×8×\sin120^{\circ}$
因为$\sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×6×8×\frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$。

10.如图,正方形$ABCD$的边长为$4$,点$M$在边$DC$上$,M,N$两点关于对角线$AC$所在的直线对称.若$DM=1$,则$\mathrm{tan} \angle ADN=$.

4/3

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，A(0,0)，B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)。
∵DM=1，M在DC上，DC为(0,4)到(4,4)，∴M(1,4)。
AC为对角线，方程y=x。设N(x,y)与M(1,4)关于AC对称，
则MN中点((1+x)/2,(4+y)/2)在AC上，且MN⊥AC。
∴(1+x)/2=(4+y)/2且(y-4)/(x-1)=-1，解得x=4,y=1，即N(4,1)。
∠ADN顶点为D(0,4)，A(0,0)，N(4,1)。过N作DA垂线，垂足P(0,1)，
DP=4-1=3，PN=4-0=4。在Rt△DPN中，tan∠ADN=PN/DP=4/3。

11.(7分)计算.
$(1)6\mathrm{sin} 60^{\circ}-\sqrt{12}+(\frac{1}{2})^{0}+\vert\sqrt{3}-2\ 021\vert$
$(2)\mathrm{sin}^{2}45^{\circ}-\mathrm{cos} 60^{\circ}-\mathrm{cos} 30^{\circ}· \mathrm{tan} 45^{\circ}+2\mathrm{sin}^{2}60^{\circ}· \mathrm{tan} 60^{\circ}$

(1)原式$=6×\frac{\sqrt{3}}{2}-2\sqrt{3}+1+(2021-\sqrt{3})$
$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+1+2021-\sqrt{3}$
$=(3\sqrt{3}-2\sqrt{3}-\sqrt{3})+(1+2021)$
$=0+2022$
$=2022$
(2)原式$=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}×1+2×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2×\sqrt{3}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+2×\frac{3}{4}×\sqrt{3}$
$=0-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}$
$=(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2})$
$=\sqrt{3}$