5.如图,在$\bigtriangleup ABC$中,点$D$为$BC$边上的一点,且$AD=AB=2$,$AD\bot AB$,过点$D$作$DE\bot AD$,$DE$交$AC$于点$F$.若$DE=1$,则$\bigtriangleup ABC$的面积为().


A.$4\sqrt{2}$
B.4
C.$2\sqrt{5}$
D.8

B

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)。DE⊥AD，AD为y轴，故DE//x轴，D(0,2)，DE=1，E(-1,2)（E在AC上）。AC过A(0,0)和E(-1,2)，方程为y=-2x。BC过B(2,0)和D(0,2)，方程为y=-x+2。联立AC与BC方程：-2x=-x+2，解得x=-2，y=4，即C(-2,4)。△ABC面积=1/2×AB×|y_C|=1/2×2×4=4。

6.如图,在$\bigtriangleup ABC$中,$D,E$分别是边$AB,AC$的中点.若$\bigtriangleup ADE$的面积为$\frac{1}{2}$,则四边形$DBCE$的面积为.

$\frac{3}{2}$

由于$D$和$E$分别是边$AB$和$AC$的中点，因此$DE$是$\bigtriangleup ABC$的中位线，根据中位线性质，$DE // BC$，且$DE = \frac{1}{2} BC$。
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，$\bigtriangleup ADE$与$\bigtriangleup ABC$相似，且相似比为$1:2$，因此面积比为$1:4$。
设$\bigtriangleup ADE$的面积为$S_{\bigtriangleup ADE}$，$\bigtriangleup ABC$的面积为$S_{\bigtriangleup ABC}$，四边形$DBCE$的面积为$S_{DBCE}$，则有：
$S_{\bigtriangleup ADE} = \frac{1}{2}$，
$S_{\bigtriangleup ABC} = 4 × S_{\bigtriangleup ADE} = 4 × \frac{1}{2} = 2$，
四边形$DBCE$的面积为：
$S_{DBCE} = S_{\bigtriangleup ABC} - S_{\bigtriangleup ADE} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。

7.如图,某校数学兴趣小组利用标杆$BE$测量建筑物的高度,已知标杆$BE$高$1.5$m,测得$AB=1.2$m,$BC=12.8$m,则建筑物$CD$的高是.

17.5

因为$BE \perp AC$，$CD \perp AC$，所以$\angle ABE = \angle ACD = 90°$。又因为$\angle A = \angle A$，所以$\triangle ABE \sim \triangle ACD$。则$\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD}$。已知$AB = 1.2$m，$BC = 12.8$m，所以$AC = AB + BC = 1.2 + 12.8 = 14$m。$BE = 1.5$m，代入得$\frac{1.2}{14} = \frac{1.5}{CD}$，解得$CD = \frac{1.5 × 14}{1.2} = 17.5$m。

8.如图,在$\bigtriangleup ABC$中,$AC=2$,$BC=4$,$D$为$BC$边上的一点,且$\angle CAD=\angle B$.若$\bigtriangleup ADC$的面积为$a$,则$\bigtriangleup ABD$的面积为.

$3a$

$\because \angle CAD = \angle B$，$\angle C = \angle C$，
$\therefore \triangle ACD \sim \triangle BCA$，
$\therefore \frac{AC}{BC} = \frac{CD}{AC} =\frac{AD}{AB}$，
$\because AC = 2$，$BC = 4$，
$\therefore \frac{2}{4} = \frac{CD}{2}$，
$\therefore CD = 1$，
$\therefore BD = BC - CD = 4 - 1 = 3$，
$\because \triangle ACD$与$\triangle BCA$的相似比为$\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle BCA}} =(\frac{1}{2})^2= \frac{1}{4}$，
$\because \triangle ADC$的面积为$a$，
$\therefore S_{\triangle BCA} = 4a$，
$\therefore S_{\triangle ABD} = S_{\triangle BCA} - S_{\triangle ACD} = 4a - a = 3a$。

9.如图,已知$□ ABCD$,$F$为$BC$中点,延长$AD$至$E$,使$DE:AD=1:3$,连接$EF$,交$DC$于点$G$,则$S_{\bigtriangleup DEG}:S_{\bigtriangleup CFG}=$.

1. 首先，设$DE = x$：
因为$DE:AD = 1:3$，所以$AD = 3x$。
由于四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC = 3x$，$AD// BC$。
又因为$F$为$BC$中点，所以$CF=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}x$。
2. 然后，证明$\triangle DEG\sim\triangle CFG$：
因为$AD// BC$，根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，所以$\triangle DEG\sim\triangle CFG$。
根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，即$S_{\triangle DEG}:S_{\triangle CFG}=(\frac{DE}{CF})^{2}$。
3. 最后，计算面积比：
把$DE = x$，$CF=\frac{3}{2}x$代入$(\frac{DE}{CF})^{2}$中，$\frac{DE}{CF}=\frac{x}{\frac{3}{2}x}=\frac{2}{3}$。
则$S_{\triangle DEG}:S_{\triangle CFG}=(\frac{2}{3})^{2}=\frac{4}{9}$。
故$S_{\triangle DEG}:S_{\triangle CFG}=4:9$。

10.如图,在$\bigtriangleup ABC$中,$BC=120$,高$AD=60$,正方形$EFGH$一边在$BC$上,点$E,F$分别在$AB,AC$上,$AD$交$EF$于点$N$,则$AN$的长为.

20

设正方形 $ EFGH $ 的边长为 $ a $。
由题意可知，$ AD $ 为高，且 $ AD = 60 $，所以 $ AN = 60 - a $。
因为 $ EFGH $ 是正方形，$ EF = a $，且 $ EF // BC $。
考虑三角形 $ ABC $ 和三角形 $ AEF $：
$ \triangle AEF \sim \triangle ABC $（AA相似）。
根据相似三角形的性质，有：
$ \frac{EF}{BC} = \frac{AN}{AD} $
即：
$ \frac{a}{120} = \frac{60 - a}{60} $
解这个方程：
$ 60a = 120(60 - a) $
$ 60a = 7200 - 120a $
$ 180a = 7200 $
$ a = 40 $
所以 $ AN = 60 - a = 60 - 40 = 20 $。